2027届高三物理一轮复习讲义 第十七讲 动量守恒定律的应用

该高中物理高考复习讲义聚焦动量守恒定律应用核心考点，涵盖爆炸反冲、人船模型、弹簧碰撞、子弹打物块与板块模型及单一方向动量守恒等高考高频模型，按从基础到复杂的逻辑层次构建知识体系。通过模型概述明确本质，核心规律梳理强化物理观念，经典例题精讲示范方法，巩固练习分层训练，形成“认知-理解-应用”完整教学流程，帮助学生系统突破难点。 讲义突出模型建构与科学推理特色，如弹簧碰撞模型中对比原长、压缩最短、恢复原长的速度关系及碰撞类比，引导学生建立模型并掌握守恒条件应用。设置基础巩固题夯实概念、综合应用题提升能力，配合即时反馈，有效培养科学思维和解题能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考效率提供有力支持。

高中物理Cosmin 动量守恒定律的应用 1、 基础模型 1. 爆炸和反冲 经典例题 1．一辆小车停在光滑的水平面上，一个士兵坐在小车上，他连同装备和小车的总质量为M，这个士兵用自动步枪沿水平方向连续射出子弹，每个子弹的质量为m，子弹离开枪口时，相对于步枪的速度大小为，当第三发子弹射出后，小车的速度大小为（　　） A． B． C． D． 2．冲天炮飞上天后会在天空中爆炸。当冲天炮从水平地面斜飞向天空后且恰好沿水平方向运动的瞬间，突然炸裂成一大一小P、Q两块，且质量较大的P仍沿原来方向飞出去，则（　　） A．质量较大的P先落回地面 B．炸裂前后瞬间，总动量守恒 C．炸裂后，P飞行的水平距离较大 D．炸裂时，P、Q两块受到的内力的冲量相等 巩固练习 3．乌贼喷墨是一种防御行为，用于迷惑天敌，制造逃生机会，此过程伴随水流的喷射。一吸满水后质量为0.6kg的乌贼初始时静止，某时刻开始以相对于地面恒为45m/s的速度水平喷水，不计水的阻力且不考虑竖直方向的运动和受力变化，则（　　） A．喷出的水对周围的水产生一个作用力，周围的水对喷出的水的反作用力使乌贼向前 B．若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.15kg的水 C．若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.20kg的水 D．要极短时间内达到15m/s的速度，此过程中它受到喷出水的作用力的冲量为9N·s 4．一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量是。这个士兵用自动步枪在沿水平方向发射子弹，每发子弹的质量是，子弹离开枪口时相对步枪的速度是。射击前皮划艇是静止的，不考虑水的阻力，射出一颗子弹后，皮划艇的速度大小约为（　　） A． B． C．10m/s D．100m/s 5．如图所示，一枚炮弹发射的初速度为，发射角为。它飞行到最高点时炸裂成质量均为m的A、B两部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为g，不计空气阻力，不计炸裂过程中炮弹质量的变化及炮口到地面高度。求： (1)炸裂前瞬间炮弹速度v； (2)炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向； (3)炸裂前后，A、B系统机械能的变化量； (4)A、B两部分落地点之间的水平距离。 2. 人船模型 经典例题 6．如图所示，质量的人，站在质量的车的一端，车长，相对于地面静止。当车与地面间的摩擦可以忽略不计时，人由车的一端走到另一端的过程中，车将（　　） A．后退 B．后退 C．后退 D．后退1m 7.如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）（　　） A． B． C． D． 巩固练习 8．如图所示，小车静置于光滑的水平面上，将小球用细线悬挂在小车上，从图示位置无初速度地释放小球，不计空气阻力。关于释放小球后的运动过程，下列说法正确的是（     ） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小球和小车组成的系统机械能守恒 C．小球摆到最高点时，小球的速度为零而小车的速度不为零 D．小球摆到最低点时，小球和小车速度相同且最大 9．甲乙两人做抛球游戏，如图，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间的摩擦不计。甲与车的总质量，另有一质量的球，乙站在车对面的地上，身旁有若干质量不等的球。开始车静止，甲将球以速度（相对于地面）水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一只质量为的球以相同速率水平抛回给甲，甲接到球后，再以速率将此球水平抛给乙，这样反复进行，乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接到球的质量的2倍，求： (1)甲第一次抛出球后，车的速度多大？ (2)甲第二次抛出球后，车的速度多大？ (3)从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球。 10．（多选）如图所示，甲和他的冰车总质量，甲推着质量的小木箱一起以速度向右滑行。乙和他的冰车总质量也为，乙以同样大小的速度迎面而来。为了避免相撞，甲将小木箱以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，则小木箱的速度v可能为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，有A、B两质量均为30kg的小车，在光滑的水平面上以相同的速率2m/s在同一直线上相向运动，A车上有一质量为40kg的人，他至少要以多大的水平速度（相对地）从A车跳到B车上，才能避免两车相撞？ 2、 有弹簧的碰撞 ·模型概述：在光滑水平面上，两个物块（或小球）之间用轻弹簧相连，通过弹簧的弹力实现相互作用； ·特点：弹簧弹力为系统内力，若水平面光滑，系统所受合外力为零，动量守恒；若只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒； 状态 速度关系 碰撞类比 弹簧原长（自然状态） 通常速度不相同 相当于 弹簧压缩最短（或者伸长到最长） 共速 相当于 从压缩到恢复原长 如果质量相同，则速度交换 相当于 经典例题 12．如图所示，物体、的质量均为，的左端固定一根轻质弹簧。两物体在光滑水平地面上相向运动，的速率为，的速率为。在与弹簧接触到弹簧压缩量最大的过程中（弹簧始终在弹性限度内），下列说法正确的是（　　） A．弹簧对的冲量大小为 B．弹簧对的冲量大小为 C．弹簧对做的功与对做的功相同 D．当的速度为零时，弹簧的弹性势能最大 13．（多选）一水平轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度，此后两物块的速度随时间变化的规律如图所示，从图像可知（     ） A．在、时刻弹簧都是处于压缩状态 B．从到时刻弹簧由压缩状态恢复到原长 C．在时刻A与B的动量大小之比为 D．在时刻A与B的动能之比为 巩固练习 14．如图甲，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上。现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的v-t图像如图乙所示，则（　　） A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态 B．从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长 C．两物块的质量之比为m1:m2=2:1 D．在t2时刻A与B的动能之比Ek1:Ek2=1:8 15．如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求： (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能Ep1； (3)小球第一次与弹簧分离时的速度。 16．（多选）如图所示，质量均为0.5M的小球B、C静置在光滑水平面上，两小球通过一轻质弹簧相连，质量为m的小球A以速度v0向右运动，与小球B发生弹性碰撞，该过程中弹簧的弹性势能Ep与系统初始动能Ek0之比和的关系图如图所示，则弹簧的弹性势能最大时（　　） A．小球A的速度为0 B．小球A的速度为v0 C．小球B的速度为v0 D．小球B的速度为 3、 子弹打物块模型与板块模型 （一）子弹打木块模型 （1）定义：子弹以一定初速度射入静止在光滑水平面上的木块，子弹与木块之间存在摩擦力（或阻力）作用； （2）特点：子弹射入木块的时间极短，内力（摩擦力）远大于外力（重力、支持力），系统（子弹+木块）动量守恒； （3）本质：子弹留在木块中（未穿出）时，属于完全非弹性碰撞，碰后二者共速；、 ·核心规律 设子弹质量为、初速度为，碰撞后速度为，静止在光滑水平面上，碰后速度为 ， ①子弹未穿出木块（留在木块中）： 动量守恒： 能量关系： ②子弹穿出木块： 根据动量守恒： 根据能量守恒： （二）板块模型 ·模型概述 （1）定义：质量为 m 的滑块以一定初速度滑上静止在水平面上的木板，滑块与木板之间存在滑动摩擦力，木板质量为 M； （2）特点：滑块受向左的摩擦力减速，木板受向右的摩擦力加速，直至二者达到共同速度（若木板足够长）；系统水平方向动量是否守恒，取决于地面是否光滑； ·核心规律 设木块质量为，初速度为，木板质量为，速度为0，木块与木板之间的动摩擦因数为，木板与地面之间的动摩擦因数为 （1）地面光滑时（系统水平方向动量守恒）： 动量守恒： 能量关系： 【牛顿第二定律的复习】 （2）地面粗糙时（系统水平方向动量不守恒） • 滑块初速度向右，木板受地面摩擦力 （向左）， 滑块受木板摩擦力 （向左） • 需分别对滑块和木板列牛顿第二定律求加速度，再用运动学公式求共速时间、相对位移； • 共速后，若，二者一起减速；若，二者各自减速。 （3）"恰好不滑出"临界条件： 滑块到达木板最右端时，二者恰好达到共同速度； 此时相对位移等于木板长度： = L 联立动量守恒 + 能量守恒可求临界板长或临界摩擦因数。 经典例题 17．如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（视为质点）以的速度水平向右射入木板，刚好未穿出。两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．子弹与木板的质量之比为 B．木板的长度为 C．若子弹的质量为，则木板在加速过程中子弹对木板的推力大小为 D．若子弹的质量为，则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为 18．质量为的矩形木板，放在光滑水平面上，、、是的4等分点。质量为的物块以一定的初速度从点水平滑上粗糙木板，物块的宽度不计，且。经过一段时间物块停在木板上。若选项中上图为物块刚滑上木板时物块与木板的位置状态，下图是物块刚与木板达到共同速度时的位置状态，则下列示意图正确的是（　　） A． B． C． D． 巩固练习 19．（多选）矩形滑块由不同的材料上、下两层粘在一起组成，放在光滑的水平面上，子弹水平射向滑块，若射击上层，子弹刚好不穿出，若射击下层，子弹刚好完全嵌入，如图所示，从子弹击中滑块到与滑块相对静止过程中，下列说法正确的是（　　） A．两次子弹对滑块做的功一样多 B．子弹嵌入上层过程中对滑块做的功多 C．两次滑块所受的水平方向的冲量一样大 D．两次子弹击中木块过程中系统产生的热量一样多 20．如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度，则（　　） A．子弹A、B与木块组成的系统动量和机械能都守恒 B．入射过程中子弹A受到的阻力与子弹B受到的阻力大小相等 C．子弹A的动能一定比子弹B的动能小 D．子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长 21．（多选）如图所示，质量为3kg的木板静止在光滑的水平地面上，质量为1.98kg，可视为质点的木块静止在木板左端。质量为0.02kg的子弹以500m/s的速度水平向右击中木块并留在木块中（子弹击中木块的时间极短），木块最终未滑离木板，已知木块与木板间的动摩擦因数为0.5，取重力加速度大小，则下列说法正确的是（　　） A．木块做匀速直线运动的速度大小为2m/s B．全过程子弹、木块、木板组成的系统损失的动能为2490J C．木块与木板间因摩擦产生的热量为10J D．木板的长度至少为1.5m 22．如图，质量的木块和质量的L形钢板静置于光滑水平面上。一水平轻质弹簧的左端与钢板连接，右端和一个质量的光滑滑块刚好接触但不粘连。现一质量的子弹以大小的初速度水平向右射入木块并留在木块内，一段时间后，木块与钢板发生弹性正碰。求∶ (1)子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统损失的机械能。 (2)此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。 (3)滑块滑离钢板时，钢板的速度大小。 23．如图所示，质量M=6kg的木板静置于足够大的水平地面上，其下表面与地面间的动摩擦因数，上表面P点左侧粗糙、右侧光滑，木板右端凸起形成挡板。两个完全相同，质量均为m=1kg的滑块A、B（均可视为质点）放在木板上，其中滑块A放置于木板左端，滑块B放置于P点。现给滑块A一向右的瞬时冲量I=10N·s，滑块A开始向右运动，A、B碰后粘在一起，最终恰好能回到滑块B相对地面的初始位置。已知P点到木板左端的距离L=4.5m，滑块与木板P点左侧的动摩擦因数，滑块与木板右端挡板的碰撞为弹性碰撞，滑块A、B与挡板的碰撞时间均极短，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。求： (1)滑块B的最大速度v大小； (2)AB与挡板发生弹性碰撞后AB的速度大小、木板的速度大小； (3)木板的长度。 24．质量为的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量为，停在B的左端。质量为的小球用长为的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失，物块与小球可视为质点，不计空气阻力。已知A、B间的动摩擦因数，重力加速度，求： (1)小球与A碰撞前的瞬间，绳子对小球的拉力F的大小； (2)小球与A碰撞后的瞬间，获得的速度的大小； (3)为使A、B达到共同速度前A不滑离木板，木板长L至少多长。 4、 单一方向的动量守恒 经典例题 25．如图所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。今让一小球自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与半圆槽相切自A点进入槽内，则以下结论中正确的是（　　） A．小球在半圆槽内由A向B做圆周运动，由B向C也做圆周运动 B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒 C．小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力做功，小球机械能守恒 D．若小球能离开C点，离开C点以后将做斜抛运动，并且一定能再从C点回到半圆槽 26．如图，在光滑水平面上放置物体B，小球A从B的顶端沿光滑曲面由静止下滑，在小球A下滑过程中（　　） A．小球A 与物体B组成的系统动量守恒 B．小球 A 与物体B组成的系统水平方向动量守恒 C．小球A 对物体B的压力不做功 D．物体B 对小球A的支持力的冲量为零 巩固练习 27．（多选）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 28．如图，物块A、C并排固定在光滑水平面上，A的上表面为半径R=0.2m的光滑圆弧，圆弧底端切线水平，圆弧底端放置着物块B。初始时，子弹以某一初速度水平射入物块B并留在其中（时间极短），物块B恰能达到圆弧最高点。已知B的质量为，A、C质量均为1.5kg，子弹质量为m=0.01kg，重力加速度。 (1)求子弹的初速度大小及子弹射入物块B过程中损失的机械能； (2)若解除物块A、C的固定，子弹仍以相同初速度射入物块B，求物块B返回圆弧底端瞬间所受支持力的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $高中物理Cosmin 动量守恒定律的应用 1、 基础模型 1. 爆炸和反冲 经典例题 1．一辆小车停在光滑的水平面上，一个士兵坐在小车上，他连同装备和小车的总质量为M，这个士兵用自动步枪沿水平方向连续射出子弹，每个子弹的质量为m，子弹离开枪口时，相对于步枪的速度大小为，当第三发子弹射出后，小车的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于水平面光滑，系统动量守恒。初始总动量为零。每次射出一发子弹，小车速度发生变化，且剩余质量减小。 射出第一发子弹后，以小车的运动方向为正方向，由所有子弹、小车连同装备组成的系统动量守恒得 解得小车速度大小为 （方向与子弹射出方向相反）。 同理，射出第二发子弹后，小车速度大小为。 射出第三发子弹后，小车速度大小为 。 故选D。 2．冲天炮飞上天后会在天空中爆炸。当冲天炮从水平地面斜飞向天空后且恰好沿水平方向运动的瞬间，突然炸裂成一大一小P、Q两块，且质量较大的P仍沿原来方向飞出去，则（　　） A．质量较大的P先落回地面 B．炸裂前后瞬间，总动量守恒 C．炸裂后，P飞行的水平距离较大 D．炸裂时，P、Q两块受到的内力的冲量相等 【答案】B 【详解】A．炸裂后P、Q两块的速度方向均沿水平方向，之后做平抛运动回到地面，距离地面高度相同，则运动时间相同，故同时落地，故A错误； B．在炸裂过程中，由于重力远小于内力，系统的动量守恒，故B正确； C．炸裂时，质量较小的Q可能仍沿原来的方向，也可以与原方向相反，无法确定P、Q两块炸裂时速度的大小关系，也就无法比较水平距离大小关系，故C错误； D．炸裂时P、Q两块受到的内力大小相等，方向相反，故炸裂时P、Q两块受到的内力的冲量大小相等，方向相反，故D错误。 故选B。 巩固练习 3．乌贼喷墨是一种防御行为，用于迷惑天敌，制造逃生机会，此过程伴随水流的喷射。一吸满水后质量为0.6kg的乌贼初始时静止，某时刻开始以相对于地面恒为45m/s的速度水平喷水，不计水的阻力且不考虑竖直方向的运动和受力变化，则（　　） A．喷出的水对周围的水产生一个作用力，周围的水对喷出的水的反作用力使乌贼向前 B．若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.15kg的水 C．若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.20kg的水 D．要极短时间内达到15m/s的速度，此过程中它受到喷出水的作用力的冲量为9N·s 【答案】B 【详解】A．被向前喷出的水对乌贼有向后的反作用力使乌贼向后运动，故A错误； B C．由动量守恒 解得，故B正确，C错误； D．对喷出水由动量定理有，因作用力与反作用力等大，作用时间相同，故此过程中它受到喷出水的作用力的冲量为，故D错误。 故选B。 4．一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量是。这个士兵用自动步枪在沿水平方向发射子弹，每发子弹的质量是，子弹离开枪口时相对步枪的速度是。射击前皮划艇是静止的，不考虑水的阻力，射出一颗子弹后，皮划艇的速度大小约为（　　） A． B． C．10m/s D．100m/s 【答案】A 【详解】根据动量守恒定律，射击前系统（皮划艇、士兵、装备和子弹）总动量为零。射击后，以子弹射出反方向为正方向，设皮划艇速度为，子弹相对步枪的速度为，则子弹的绝对速度为。总质量M=200kg，子弹质量m=20g=0.02kg。动量守恒方程为 简化得 解得v=0.1m/s 故选A。 5．如图所示，一枚炮弹发射的初速度为，发射角为。它飞行到最高点时炸裂成质量均为m的A、B两部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为g，不计空气阻力，不计炸裂过程中炮弹质量的变化及炮口到地面高度。求： (1)炸裂前瞬间炮弹速度v； (2)炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向； (3)炸裂前后，A、B系统机械能的变化量； (4)A、B两部分落地点之间的水平距离。 【答案】(1)，方向水平向右 (2)，方向水平向右 (3)A、B系统机械能增加了 (4) 【详解】（1）炮弹炸裂前瞬间速度为 方向水平向右 （2）炸裂过程中根据水平方向动量守恒，规定水平向右为正方向，有 炸裂后A部分竖直下落，说明此时A的水平速度为零，解得 方向水平向右 （3）炸裂前后系统机械能的变化量为 A、B系统机械能增加了。 （4）炸裂后，A做自由落体运动，B做平抛运动，下落时间为 落地后，A、B两部分落地点之间的水平距离为 解得 2. 人船模型 经典例题 6．如图所示，质量的人，站在质量的车的一端，车长，相对于地面静止。当车与地面间的摩擦可以忽略不计时，人由车的一端走到另一端的过程中，车将（　　） A．后退 B．后退 C．后退 D．后退1m 【答案】D 【详解】人车组成的系统动量守恒，任一时刻人与车动量等大反向 则人和车运动时间相同，有 且 解得车后退的距离 故选D。 7.如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】系统（人+气球+绳）初始静止，竖直方向总重力与浮力平衡，合外力为零，动量守恒。设人相对于地面向下的位移大小为，气球（绳）相对于地面向上的位移大小为。根据动量守恒，任意时刻 两边同乘运动时间得 根据几何关系满足 解得 所以滑到绳下端时，他离地面的高度约为3.6m。 故选A。 巩固练习 8．如图所示，小车静置于光滑的水平面上，将小球用细线悬挂在小车上，从图示位置无初速度地释放小球，不计空气阻力。关于释放小球后的运动过程，下列说法正确的是（     ） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小球和小车组成的系统机械能守恒 C．小球摆到最高点时，小球的速度为零而小车的速度不为零 D．小球摆到最低点时，小球和小车速度相同且最大 【答案】B 【详解】A．小球和小车组成的系统在水平方向不受外力，只有水平方向动量守恒；竖直方向受重力、支持力等外力作用，系统总动量不守恒，故A错误； B．地面对小车的支持力不做功，重力为保守力，细线拉力属于系统内力，只在小球和小车间转移能量，小球和小车组成的系统机械能守恒，故B正确； C．小球摆到最高点时相对小车瞬时静止，设小球质量为，小车质量为，小球和小车的水平速度分别为、，则；又由水平方向动量守恒有 解得，故C错误； D．小球摆到最低点时系统总动能最大，此时小球相对小车沿水平方向运动，设小球和小车的水平速度分别为、，由水平方向动量守恒有 可知二者速度方向相反，故D错误。 故选B。 9．甲乙两人做抛球游戏，如图，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间的摩擦不计。甲与车的总质量，另有一质量的球，乙站在车对面的地上，身旁有若干质量不等的球。开始车静止，甲将球以速度（相对于地面）水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一只质量为的球以相同速率水平抛回给甲，甲接到球后，再以速率将此球水平抛给乙，这样反复进行，乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接到球的质量的2倍，求： (1)甲第一次抛出球后，车的速度多大？ (2)甲第二次抛出球后，车的速度多大？ (3)从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球。 【答案】(1) (2) (3)5 【详解】（1）甲第一次抛出球后，对甲、车与第一只球，根据动量守恒定律有 解得 （2）甲第二次抛出球后，对甲、车与第二只球，根据动量守恒定律有 解得 （3）甲第一次抛出球后有 甲第二次抛出球后有 甲第三次抛出球后有 根据规律可知，甲第n次抛出球后有 根据上式有 若甲不能接到乙抛回来的球，则有 解得 即从第一次算起，甲抛出5个球后，再也不能接到乙抛回来的球。 10．（多选）如图所示，甲和他的冰车总质量，甲推着质量的小木箱一起以速度向右滑行。乙和他的冰车总质量也为，乙以同样大小的速度迎面而来。为了避免相撞，甲将小木箱以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，则小木箱的速度v可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于甲和箱子根据动量守恒得 对于乙和箱子根据动量守恒得 当甲乙恰好不相碰，则 联立解得 若要避免碰撞，则需要满足 故选CD。 11．如图所示，有A、B两质量均为30kg的小车，在光滑的水平面上以相同的速率2m/s在同一直线上相向运动，A车上有一质量为40kg的人，他至少要以多大的水平速度（相对地）从A车跳到B车上，才能避免两车相撞？ 【答案】2.9m/s 【详解】规定mA向右速度为正，mB向左为负，由于水平面光滑，人跳离A后，A及人动量守恒，则有 人跳上B前后，mB动量守恒，则有 要使两车不相撞，满足v1、v2同向且 代入数据可解得 即他至少要以2.9m/s的水平速度（相对地）从A车跳到B车上，才能避免两车相撞。 2、 有弹簧的碰撞 ·模型概述：在光滑水平面上，两个物块（或小球）之间用轻弹簧相连，通过弹簧的弹力实现相互作用； ·特点：弹簧弹力为系统内力，若水平面光滑，系统所受合外力为零，动量守恒；若只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒； 状态 速度关系 碰撞类比 弹簧原长（自然状态） 通常速度不相同 相当于碰撞前的状态 弹簧压缩最短（或者伸长到最长） 共速 相当于完全非弹性碰撞结束 从压缩到恢复原长 如果质量相同，则速度交换 相当于弹性碰撞结束 经典例题 12．如图所示，物体、的质量均为，的左端固定一根轻质弹簧。两物体在光滑水平地面上相向运动，的速率为，的速率为。在与弹簧接触到弹簧压缩量最大的过程中（弹簧始终在弹性限度内），下列说法正确的是（　　） A．弹簧对的冲量大小为 B．弹簧对的冲量大小为 C．弹簧对做的功与对做的功相同 D．当的速度为零时，弹簧的弹性势能最大 【答案】A 【详解】A．取向右为正方向。当弹簧压缩量最大时，、速度相等，设为，系统动量守恒，解得 对用动量定理，冲量大小为，故A正确； B．对用动量定理，冲量大小为，故B错误； C．弹簧做功等于动能变化，，，因此做功并不相等，故C错误； D．若某时刻速度为零，由动量守恒得的速度，即 此时相对速度，弹簧仍将继续压缩。弹性势能最大出现在两者共速，相对速度为零时，故D错误。 故选A。 13．（多选）一水平轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度，此后两物块的速度随时间变化的规律如图所示，从图像可知（     ） A．在、时刻弹簧都是处于压缩状态 B．从到时刻弹簧由压缩状态恢复到原长 C．在时刻A与B的动量大小之比为 D．在时刻A与B的动能之比为 【答案】BC 【详解】AB．由图可知，在t1时刻，两物块速度相等，距离最小，弹簧处于压缩状态；时间内，物块B的速度大于物块A的速度，弹簧的压缩量逐渐减小，在t2时刻，两物块的速度达到各自的极值，弹簧的弹力为零，弹簧恢复原长。故A错误，B正确； C．由图像可知，t=0时刻，vA=5m/s，vB=0 t1时刻，两物块速度相等，即v=v=2m/s 根据动量守恒定律可得 解得 在t2时刻，由图可知，物块A的速度为 物块B的速度为 A与B的动量大小之比为，故C正确； D．在t2时刻，A与B的动能之比为，故D错误。 故选BC。 巩固练习 14．如图甲，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上。现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的v-t图像如图乙所示，则（　　） A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态 B．从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长 C．两物块的质量之比为m1:m2=2:1 D．在t2时刻A与B的动能之比Ek1:Ek2=1:8 【答案】D 【详解】AB．由图乙可知，在0~t2时间内B的速度一直增大，所以0~t2时间内弹簧处于压缩状态，在t2~t3时间内B的速度一直减小，所以t2~t3时间内弹簧处于伸长状态，则在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，t1时刻弹簧处于压缩状态，压缩量达到最大；t3时刻处于伸长状态，且伸长量达到最大；则从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长，故AB错误； C．0~t1时间内，根据系统动量守恒可得 代入数据可得两物块的质量之比为，故C错误； D．由图乙可知，在t2时刻A的速度为-1m/s，B的速度为2m/s，所以A与B的动能之比为，故D正确。 故选D。 15．如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求： (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能Ep1； (3)小球第一次与弹簧分离时的速度。 【答案】(1) (2) (3)，方向水平向左 【详解】（1）设小球第一次离开圆槽时速度为v0，圆槽P的速度为v，从小球开始下落到第一次离开圆槽，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得 联立解得， （2）小球第一次与弹簧相互作用，弹簧弹性势能最大时小球和物块Q共速，从开始压缩弹簧到弹性势能最大，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得 联立解得 （3）从小球开始压缩弹簧到第一次与弹簧分离，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得 联立解得 即小球第一次与弹簧分离时的速度大小为，方向水平向左。 16．（多选）如图所示，质量均为0.5M的小球B、C静置在光滑水平面上，两小球通过一轻质弹簧相连，质量为m的小球A以速度v0向右运动，与小球B发生弹性碰撞，该过程中弹簧的弹性势能Ep与系统初始动能Ek0之比和的关系图如图所示，则弹簧的弹性势能最大时（　　） A．小球A的速度为0 B．小球A的速度为v0 C．小球B的速度为v0 D．小球B的速度为 【答案】AD 【详解】AB．弹簧的弹性势能最大时，由图像可知，弹簧的弹性势能占比最大，则有 由于小球B、C质量均为0.5M，可知，此时三个小球质量相等，初始小球A与小球B发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得碰后小球A的速度，故A正确，B错误； CD．结合上述解得，小球A与小球B发生弹性碰撞后，小球B的速度为 由于弹簧的弹性势能达到最大时，B、C速度达到相等，则有 结合上述解得，故C错误，D正确。 故选AD。 3、 子弹打物块模型与板块模型 （1）定义：子弹以一定初速度射入静止在光滑水平面上的木块，子弹与木块之间存在摩擦力（或阻力）作用； （2）特点：子弹射入木块的时间极短，内力（摩擦力）远大于外力（重力、支持力），系统（子弹+木块）动量守恒； （3）本质：子弹留在木块中（未穿出）时，属于完全非弹性碰撞，碰后二者共速；、 ·核心规律 设子弹质量为、初速度为，碰撞后速度为，静止在光滑水平面上，碰后速度为 ， ①子弹未穿出木块（留在木块中）： 动量守恒：= 能量关系：=+Q Q=f·d（f为子弹和木块之间的摩擦力，d为相对运动的距离） ②子弹穿出木块： 根据动量守恒：=+ 根据能量守恒：=++Q’ Q’=f·L，L 为木块的厚度（即子弹相对木块的穿行距离） （二）板块模型 （1）定义：质量为 m 的滑块以一定初速度滑上静止在水平面上的木板，滑块与木板之间存在滑动摩擦力，木板质量为 M； （2）特点：滑块受向左的摩擦力减速，木板受向右的摩擦力加速，直至二者达到共同速度（若木板足够长）；系统水平方向动量是否守恒，取决于地面是否光滑； ·核心规律 设木块质量为，初速度为，木板质量为，速度为0，木块与木板之间的动摩擦因数为，木板与地面之间的动摩擦因数为 （1）地面光滑时（系统水平方向动量守恒）： 动量守恒：= 能量守恒（功能关系）：=+Q 摩擦生热：Q = 其中为滑块相对于木板的滑行距离（即二者的相对位移）。 （2）地面粗糙时（系统水平方向动量不守恒）： • 滑块初速度向右，木板受地面摩擦力 （向左）， 滑块受木板摩擦力 （向左） • 需分别对滑块和木板列牛顿第二定律求加速度，再用运动学公式求共速时间、相对位移； • 共速后，若，二者一起减速；若，二者各自减速。 （3）"恰好不滑出"临界条件： 滑块到达木板最右端时，二者恰好达到共同速度； 此时相对位移等于木板长度： = L 联立动量守恒 + 能量守恒可求临界板长或临界摩擦因数。 经典例题 17．如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（视为质点）以的速度水平向右射入木板，刚好未穿出。两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．子弹与木板的质量之比为 B．木板的长度为 C．若子弹的质量为，则木板在加速过程中子弹对木板的推力大小为 D．若子弹的质量为，则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为 【答案】D 【详解】A．子弹、木板系统动量守恒 解得，故A错误； B．子弹刚好未穿出，则两者的相对位移刚好等于板长，板的长度为，故B错误； C．对子弹由动量定理 解得 根据牛顿第三定律子弹对木板的推力大小为，故C错误； D．系统产生的热量等于损失的动能 子弹的质量为，则木板的质量为 解得，故D正确。 故选 D。 18．质量为的矩形木板，放在光滑水平面上，、、是的4等分点。质量为的物块以一定的初速度从点水平滑上粗糙木板，物块的宽度不计，且。经过一段时间物块停在木板上。若选项中上图为物块刚滑上木板时物块与木板的位置状态，下图是物块刚与木板达到共同速度时的位置状态，则下列示意图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块从木板左端滑上后，物块在摩擦力作用下减速，木板加速，最终两者共速。由于水平面光滑，系统在水平方向动量守恒。 设物块初速度为，共速速度为，则 设动摩擦因数为，木板对地位移，二者相对位移为，则对木板，对物块 联立解得 又，因此 解得 故选B。 巩固练习 19．（多选）矩形滑块由不同的材料上、下两层粘在一起组成，放在光滑的水平面上，子弹水平射向滑块，若射击上层，子弹刚好不穿出，若射击下层，子弹刚好完全嵌入，如图所示，从子弹击中滑块到与滑块相对静止过程中，下列说法正确的是（　　） A．两次子弹对滑块做的功一样多 B．子弹嵌入上层过程中对滑块做的功多 C．两次滑块所受的水平方向的冲量一样大 D．两次子弹击中木块过程中系统产生的热量一样多 【答案】ACD 【详解】AB．根据动量守恒定律 解得两次情况下滑块的最终速度相同，物块动能的增量等于子弹做的功，所以两次子弹对物块做的功一样多，故A正确，B错误； C．根据 可得两次滑块所受的水平方向的冲量一样大，故C正确； D．子弹嵌入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，而子弹减少的动能一样多（子弹初末速度相等）；物块能加的动能也一样多，则系统减少的动能一样，故系统产生的热量一样多，故D正确。 故选ACD。 20．如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度，则（　　） A．子弹A、B与木块组成的系统动量和机械能都守恒 B．入射过程中子弹A受到的阻力与子弹B受到的阻力大小相等 C．子弹A的动能一定比子弹B的动能小 D．子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长 【答案】B 【详解】A．子弹A、B与木块组成的系统，所受合外力为零，系统动量守恒，由于两子弹射入木块的过程，克服阻力做功，系统机械能减少，即机械能不守恒，故A错误； B．由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小相等，即两子弹所受的阻力大小相等，故B正确； C．根据动能定理得，对子弹A有 解得 对子弹B有 解得 由于 则有子弹入射时的初动能 故C错误； D．子弹A、B从木块两侧同时射入木块，木块始终保持静止，分析可知，两子弹在木块中运动的时间必定相等，否则木块就会运动，故D错误。 故选B。 21．（多选）如图所示，质量为3kg的木板静止在光滑的水平地面上，质量为1.98kg，可视为质点的木块静止在木板左端。质量为0.02kg的子弹以500m/s的速度水平向右击中木块并留在木块中（子弹击中木块的时间极短），木块最终未滑离木板，已知木块与木板间的动摩擦因数为0.5，取重力加速度大小，则下列说法正确的是（　　） A．木块做匀速直线运动的速度大小为2m/s B．全过程子弹、木块、木板组成的系统损失的动能为2490J C．木块与木板间因摩擦产生的热量为10J D．木板的长度至少为1.5m 【答案】ABD 【详解】A．子弹击中木块过程动量守恒，根据动量守恒定律有 解得 子弹、木块与木板一起运动到系统速度相等过程中动量守恒，根据动量守恒定律有 解得，故A正确； B．系统损失的动能为 代入数据解得，B正确； C．木板与木块间因为摩擦产生的热量为 代入数据解得，C错误； D．因为木块和木板间的摩擦力做功等于木板和木块间因为摩擦产生的热，即 代入数据解得 即木板长度至少为，D正确。 故选ABD。 22．如图，质量的木块和质量的L形钢板静置于光滑水平面上。一水平轻质弹簧的左端与钢板连接，右端和一个质量的光滑滑块刚好接触但不粘连。现一质量的子弹以大小的初速度水平向右射入木块并留在木块内，一段时间后，木块与钢板发生弹性正碰。求∶ (1)子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统损失的机械能。 (2)此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。 (3)滑块滑离钢板时，钢板的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）子弹射入木块过程的时间极短，子弹和木块组成的系统在水平方向动量守恒。设子弹与木块的共同速度为，有 解得 系统损失的机械能 解得 （2）木块（含子弹）与钢板发生弹性正碰，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有， 解得弹性正碰后钢板的速度大小 钢板向右运动压缩弹簧，钢板的动能转化为弹簧的弹性势能和滑块的动能。当钢板和滑块的 速度相同时，弹簧的弹性势能最大，有， 解得 （3）弹簧被压缩到最短后开始恢复原长，弹簧恢复原长后滑块与弹簧分离，之后滑块和钢板都做匀速运动，最终滑块滑离钢板，设此时钢板、滑块的速度大小分别为、，则有， 解得 23．如图所示，质量M=6kg的木板静置于足够大的水平地面上，其下表面与地面间的动摩擦因数，上表面P点左侧粗糙、右侧光滑，木板右端凸起形成挡板。两个完全相同，质量均为m=1kg的滑块A、B（均可视为质点）放在木板上，其中滑块A放置于木板左端，滑块B放置于P点。现给滑块A一向右的瞬时冲量I=10N·s，滑块A开始向右运动，A、B碰后粘在一起，最终恰好能回到滑块B相对地面的初始位置。已知P点到木板左端的距离L=4.5m，滑块与木板P点左侧的动摩擦因数，滑块与木板右端挡板的碰撞为弹性碰撞，滑块A、B与挡板的碰撞时间均极短，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。求： (1)滑块B的最大速度v大小； (2)AB与挡板发生弹性碰撞后AB的速度大小、木板的速度大小； (3)木板的长度。 【答案】(1) (2)2m/s，2m/s (3) 【详解】（1）设滑块A与木板间的滑动摩擦力大小为，木板与地面间的滑动摩擦力大小为f，则有， 因，故A、B碰撞前木板相对地面不动。设给滑块A一瞬时冲量后滑块A的速度大小为，滑块A与滑块B碰撞前的速度大小为，滑块A与滑块B碰撞后，滑块B的速度最大，则有， 碰撞过程动量守恒有 联立解得 （2）滑块进入P点右侧光滑部分后做匀速直线运动，直到与挡板发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，设碰后滑块的速度大小为，木板的速度为， 根据动量守恒有 根据机械能守恒有 解得， （3）与挡板碰后滑块向左做匀速直线运动，木板向右做匀减速直线运动，设木板做匀减速直线运动的加速度大小为，根据牛顿第二定律可得 当滑块到达P点后，开始做匀减速直线运动，回到滑块B相对地面的初始位置时速度变为零。设滑块从与挡板碰撞后至运动到P点的时间为，滑块做匀减速直线运动的位移大小为，此过程滑块的加速度大小为，根据牛顿第二定律可得 则滑块与木板碰后，在时间内木板向右运动的位移大小也为，即， 根据几何关系可得 联立解得 24．质量为的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量为，停在B的左端。质量为的小球用长为的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失，物块与小球可视为质点，不计空气阻力。已知A、B间的动摩擦因数，重力加速度，求： (1)小球与A碰撞前的瞬间，绳子对小球的拉力F的大小； (2)小球与A碰撞后的瞬间，获得的速度的大小； (3)为使A、B达到共同速度前A不滑离木板，木板长L至少多长。 【答案】(1) (2) (3)0.96m 【详解】（1）小球运动到最低点的过程中机械能守恒，有 最低点处的向心力为 联立可得， （2）小球与物块A碰撞时动量守恒， 机械能也是守恒的，即 可解得， （3）A与B之间发生相对运动，直至二者共速，这个过程中动量是守恒的，即 过程中能量守恒，即 可解得， 木板的长度应满足 所以木板的最小长度为0.96m。 4、 单一方向的动量守恒 经典例题 25．如图所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。今让一小球自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与半圆槽相切自A点进入槽内，则以下结论中正确的是（　　） A．小球在半圆槽内由A向B做圆周运动，由B向C也做圆周运动 B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒 C．小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力做功，小球机械能守恒 D．若小球能离开C点，离开C点以后将做斜抛运动，并且一定能再从C点回到半圆槽 【答案】D 【详解】ABC．小球在半圆槽内由A向B运动时，由于槽的左侧有一固定在水平面上的物块，槽不会向左运动，只有重力做功，则小球机械能守恒，从A到B做圆周运动，系统在水平方向上合力不为零，水平方向动量不守恒；从B到C运动的过程中，槽向右运动，系统在水平方向上合力为零，水平方向动量守恒，则B到C小球的运动不是圆周运动且槽动能增大，则小球机械能减小。故ABC错误； D．小球离开C点以后，既有竖直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜抛运动，因为两者水平速度相同，所以一定能再从C点回到半圆槽，故D正确。 故选D。 26．如图，在光滑水平面上放置物体B，小球A从B的顶端沿光滑曲面由静止下滑，在小球A下滑过程中（　　） A．小球A 与物体B组成的系统动量守恒 B．小球 A 与物体B组成的系统水平方向动量守恒 C．小球A 对物体B的压力不做功 D．物体B 对小球A的支持力的冲量为零 【答案】B 【详解】AB．小球A下滑过程竖直方向先加速后减速，即竖直方向加速度方向先向下后向上，则竖直方向先失重后超重，水平方向系统所受外力的合力为0，可知，小球A 和物体B构成的系统动量不守恒，但水平方向动量守恒，故A错误，B正确； C．小球A对物体B的压力方向与B的速度方向夹角为锐角，则小球A 对物体B的压力做正功，故C错误； D．根据冲量的定义有 可知，物体B 对小球A的支持力的冲量不为零，故D错误。 故选B。 巩固练习 27．（多选）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 【答案】ABD 【详解】A．设小球的质量为，初速度为，在水平方向上由动量守恒定律有 解得 结合图乙有， 解得，故A正确； B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得 结合上述解得，故B正确； C．小球从开始运动到最高点的过程中，由能量守恒定律 结合上述解得，故C错误； D．分离时有由动量守恒定律 机械能守恒定律 结合上述解得 当时有 即小球水平方向的速度方向向左，所以小球与圆弧分离后将向左做平抛运动，故D正确。 故选ABD。 28．如图，物块A、C并排固定在光滑水平面上，A的上表面为半径R=0.2m的光滑圆弧，圆弧底端切线水平，圆弧底端放置着物块B。初始时，子弹以某一初速度水平射入物块B并留在其中（时间极短），物块B恰能达到圆弧最高点。已知B的质量为，A、C质量均为1.5kg，子弹质量为m=0.01kg，重力加速度。 (1)求子弹的初速度大小及子弹射入物块B过程中损失的机械能； (2)若解除物块A、C的固定，子弹仍以相同初速度射入物块B，求物块B返回圆弧底端瞬间所受支持力的大小。 【答案】(1)400m/s，796J (2)60N 【详解】（1）设子弹的初速度大小为，击中B后，二者共同的速度大小为，根据动量守恒定律 子弹射入B后瞬间到B到达最高点的过程，根据机械能守恒定律 解得 子弹射入物块 B 过程中损失的机械能 解得 （2）设B返回圆弧底端时速度为，此时A、C的速度为，根据动量守恒定律 机械能守恒定律     解得     物块B返回圆弧底端瞬间，根据牛顿第二定律     解得 学科网（北京）股份有限公司 $高中物理Cosmin 动量守恒定律的应用 一、基础模型 1.爆炸和反冲 （1)爆炸模型 ①爆炸过程中，其他形式的能量转化为机械能； ②爆炸过程中，内力远大于外力，动量 （2)反冲模型 ①反冲现象中系统的动量是守恒的； ②质量为M的物体以对地速度抛出其本身的一部分，若该部分质量为m,则剩余部分对地反冲速度为： 注意：反冲运动中的已知条件常常是物体的相对速度，在应用动量守恒定律时，应将相对速度转换为相对 于地面的速度（一般为对地速度）· 火箭的工作原理 当火箭推进剂燃烧时，从尾部喷出的气体具有很大的动量，根据动量守恒定律，火箭获得大小相等 方向相反的动量，因而发生连续的反冲现象，随着推进剂的消耗，火箭的质量逐渐减小，速度不断增大， 当推进剂燃尽时，火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行。 火箭利用了反冲原理，发射火箭时，喷管中喷射出的高速气体有动量，根据动量守恒定律，火箭就获 得向上的动量，从而向上飞去。 即 解得 经典例题 1.一辆小车停在光滑的水平面上，一个士兵坐在小车上，他连同装备和小车的总质量为M,这个士兵用自 动步枪沿水平方向连续射出子弹，每个子弹的质量为，子弹离开枪口时，相对于步枪的速度大小为0， 当第三发子弹射出后，小车的速度大小为( A.别 B.m c."品 0.爱++ M-m M-2m 2.冲天炮飞上天后会在天空中爆炸。当冲天炮从水平地面斜飞向天空后且恰好沿水平方向运动的瞬间，突 高中物理Cosmin 然炸裂成一大一小P、Q两块，且质量较大的P仍沿原来方向飞出去，则() A.质量较大的P先落回地面 B.炸裂前后瞬间，总动量守恒 C.炸裂后，P飞行的水平距离较大 D.炸裂时，P、Q两块受到的内力的冲量相等 巩固练习 3.乌贼喷墨是一种防御行为，用于迷惑天敌，制造逃生机会，此过程伴随水流的喷射。一吸满水后质量为 0.6kg的乌贼初始时静止，某时刻开始以相对于地面恒为45m/s的速度水平喷水，不计水的阻力且不考虑竖 直方向的运动和受力变化，则() A.喷出的水对周围的水产生一个作用力，周围的水对喷出的水的反作用力使乌贼向前 B.若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.15kg的水 C.若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.20kg的水 D.要极短时间内达到15m/s的速度，此过程中它受到喷出水的作用力的冲量为9N·s 4.一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量是200kg。这个士兵用自动步枪在沿水平方向发 射子弹，每发子弹的质量是20g,子弹离开枪口时相对步枪的速度是1000m/s。射击前皮划艇是静止的， 不考虑水的阻力，射出一颗子弹后，皮划艇的速度大小约为() A.0.1m/s B.1m/s C.10m/s D.100m/s 5.如图所示，一枚炮弹发射的初速度为vo,发射角为0。它飞行到最高点时炸裂成质量均为m的A、B两 部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为8，不计空气阻力，不计炸裂过程中炮 弹质量的变化及炮口到地面高度。求： 高中物理Cosmin AB 77777777777777777777 7777 (1)炸裂前瞬间炮弹速度v: (2)炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向： (3)炸裂前后，A、B系统机械能的变化量△E; (4)A、B两部分落地点之间的水平距离△x。 2.人船模型 (1)“人船模型”：相互作用的两个物体原来都处于静止状态，初动量为零，且满足动量守恒条华 (2)“人船模型”的特点：人动“船”动，人停“船”停，人快“船”快，人慢“船”慢，人 上“船”下，人左"“船”右. (3)规律： ------6m-- 受力分析系统动量守恒且初动量为0： 再由图中几何关系有： 可得船、人的位移分别为： 经典例题 6.如图所示，质量m=60kg的人，站在质量M=300kg的车的一端，车长L=6m,相对于地面静止。当 车与地面间的摩擦可以忽略不计时，人由车的一端走到另一端的过程中，车将() 高中物理Cosmin M ) A.后退0.2m B.后退0.5m C.后退0.8m D.后退1m 7.如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为m1=50kg的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为m2= 20kg,长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为h=5m。如果这个人开始沿绳向下滑， 当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）() n77 A.3.6m B.5m C.2.6m D.8m 巩固练习 8.如图所示，小车静置于光滑的水平面上，将小球用细线悬挂在小车上，从图示位置无初速度地释放小球， 不计空气阻力。关于释放小球后的运动过程，下列说法正确的是() wtwht A.小球和小车组成的系统动量守恒 B.小球和小车组成的系统机械能守恒 C.小球摆到最高点时，小球的速度为零而小车的速度不为零 D.小球摆到最低点时，小球和小车速度相同且最大 9.甲乙两人做抛球游戏，如图，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间的摩擦不计。甲与车的总质量M= 100kg,另有一质量m=2kg的球，乙站在车对面的地上，身旁有若干质量不等的球。开始车静止，甲将球 以速度v(相对于地面)水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一只质量为m=2m的球以相同速率v 水平抛回给甲，甲接到球后，再以速率将此球水平抛给乙，这样反复进行，乙每次抛回给甲的球的质量都 等于他接到球的质量的2倍，求： 高中物理Cosmin 甲P g乙 ⊙■ (1)甲第一次抛出球后，车的速度多大？ (2)甲第二次抛出球后，车的速度多大？ (3)从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球。 10.(多选)如图所示，甲和他的冰车总质量M=30kg,甲推着质量m=15kg的小木箱一起以速度vo=2m/s 向右滑行。乙和他的冰车总质量也为M=30kg,乙以同样大小的速度迎面而来。为了避免相撞，甲将小木箱 以速度ⅴ沿冰面推出，木箱滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，则小木箱的速度ⅴ可能为 () %甲 乙 % M万 、M VXK44444444444444444 A.4m/s B.5m/s C.6m/s D.7m/s 11.如图所示，有A、B两质量均为30kg的小车，在光滑的水平面上以相同的速率2m/s在同一直线上相向 运动，A车上有一质量为40kg的人，他至少要以多大的水平速度（相对地）从A车跳到B车上，才能避免 两车相撞？ Yo A B (● nnnn77nn1nn7n777 二、有弹簧的碰撞 V井 000 弹簧原长 弹簧最短（或最长） 再次恢复原长 ·模型概述：在光滑水平面上，两个物块（或小球)之间用轻弹簧相连，通过弹簧的弹力实现相互作用： ·特点：弹簧弹力为系统内力，若水平面光滑，系统所受合外力为零，动量守恒；若只有弹簧弹力做功， 系统机械能守恒； 高中物理Cosmin 状态 速度关系 碰撞类比 弹簧原长（自然状态） 通常速度不相同 相当于 弹簧压缩最短（或者伸长到最长） 共速 相当于 从压缩到恢复原长 如果质量相同，则速度交换 相当于 经典例题 12.如图所示，物体P、Q的质量均为m,Q的左端固定一根轻质弹簧。两物体在光滑水平地面上相向运动， P的速率为，Q的速率为2v。在P与弹簧接触到弹簧压缩量最大的过程中（弹簧始终在弹性限度内），下 列说法正确的是() 2v P M Q 7777777777777777777777777777777 A.弹簧对P的冲量大小为mw B.弹簧对Q的冲量大小为2mw C.弹簧对P做的功与对Q做的功相同 D.当P的速度为零时，弹簧的弹性势能最大 13.(多选)一水平轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。 现使A瞬时获得水平向右的速度5m/s,此后两物块的速度随时间变化的规律如图所示，从图像可知（) A ME 777777T7777777777777777777777T -1 A.在t1、t2时刻弹簧都是处于压缩状态 B.从t到t2时刻弹簧由压缩状态恢复到原长 C.在t2时刻A与B的动量大小之比为p1:p2=1:6 D.在t2时刻A与B的动能之比为Ek1:E2=1:8 巩固练习 14.如图甲，一个轻弹簧的两端与质量分别为1和2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上。 现使A以3ms的速度向B运动压缩弹簧，A、B的-t图像如图乙所示，则() 高中物理Cosmin v/(m.s) 3 B o B 2 Am2W722 n ta t/s 甲 乙 A.在、t3时刻两物块达到共同速度1m/s,且弹簧都处于压缩状态 B.从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长 C.两物块的质量之比为h2=2:1 D.在t2时刻A与B的动能之比E1:Ek2=1:8 15.如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q 的左端连接一轻弹簧。质量为的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨 道。己知P、Q的质量均为3，重力加速度大小为g,忽略空气阻力和一切摩擦。求： MQ 77777777777777777777777777777777777 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小： (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能E1: (3)小球第一次与弹簧分离时的速度。 16.(多选)如图所示，质量均为0.5M的小球B、C静置在光滑水平面上，两小球通过一轻质弹簧相连，质 量为m的小球A以速度o向右运动，与小球B发生弹性碰撞，该过程中弹簧的弹性势能E,与系统初始动 能Eo之比和的关系图如图所示，则弹簧的弹性势能最大时() M E。 E0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O→g 000000000000Q 0 m 77777777777 0.51234 M A.小球A的速度为0 B.小球A的速度为o 高中物理Cosmin C.小球B的速度为o D.小球B的速度为 三、子弹打物块模型与板块模型 (一)子弹打木块模型 (1)定义：子弹以一定初速度射入静止在光滑水平面上的木块，子弹与木块之间存在摩擦力（或阻力）作 用： (2)特点：子弹射入木块的时间极短，内力（摩擦力）远大于外力（重力、支持力），系统（子弹+木块） 动量守恒； (3)本质：子弹留在木块中（未穿出）时，属于完全非弹性碰撞，碰后二者共速：、 ·核心规律 设子弹质量为m1、初速度为V1,碰撞后速度为v'1,木板质量为m2,静止在光滑水平面上，碰后速度为v2, ①子弹未穿出木块（留在木块中）： 7777007000700000006 7777777 动量守恒： 能量关系： ②子弹穿出木块： 7777777777777777777777777777 根据动量守恒： 根据能量守恒： (二)板块模型 ·模型概述 (1)定义：质量为的滑块以一定初速度滑上静止在水平面上的木板，滑块与木板之间存在滑动摩擦力， 木板质量为M: (2)特点：滑块受向左的摩擦力减速，木板受向右的摩擦力加速，直至二者达到共同速度（若木板足够长）： 系统水平方向动量是否守恒，取决于地面是否光滑： 高中物理Cosmin Vo m1 2 ·核心规律 设木块质量为m1,初速度为vo,木板质量为m2,速度为0，木块与木板之间的动摩擦因数为μ1，木板与地 面之间的动摩擦因数为μ2 (1)地面光滑时（系统水平方向动量守恒）： 动量守恒： 能量关系： 【牛顿第二定律的复习】 (2)地面粗糙时（系统水平方向动量不守恒） ·滑块初速度向右，木板受地面摩擦力f地=2(m+M)g(向左)， 滑块受木板摩擦力f1=1mg(向左) ·需分别对滑块和木板列牛顿第二定律求加速度，再用运动学公式求共速时间、相对位移： ·共速后，若u1≥2，二者一起减速；若u1<2,二者各自减速。 (3)"恰好不滑出"临界条件： 滑块到达木板最右端时，二者恰好达到共同速度： 此时相对位移等于木板长度：X相对=L 联立动量守恒+能量守恒可求临界板长或临界摩擦因数。 经典例题 17.如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（视为质点）以v的速度水平向右 射入木板，刚好未穿出。两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法正确的是() ◆V 子弹 0.6vo 子弹与木板 光滑 木板 甲 高中物理Cosmin A.子弹与木板的质量之比为2：3 B.木板的长度为2g C.若子弹的质量为m,则木板在加速过程中子弹对木板的推力大小为3m四 5to D.若子弹的质量为m,则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为m 18.质量为M的矩形木板ae,放在光滑水平面上，b、c、d是ae的4等分点。质量为m的物块以一定的初速 度从α点水平滑上粗糙木板，物块的宽度不计，且m>M。经过一段时间物块停在木板上。若选项中上图为 物块刚滑上木板时物块与木板的位置状态，下图是物块刚与木板达到共同速度时的位置状态，则下列示意 图正确的是() b c d 777777777777727777777777777777777 0 A. 77777777777777777777777777777777777 777777777777777777777777777777777777 b c d b d 77777777777777777777777777Z77777777 a e c. 777777777777777777777777777777777777 D. 77777777777777777777777777777777777 巩固练习 19.(多选)矩形滑块由不同的材料上、下两层粘在一起组成，放在光滑的水平面上，子弹水平射向滑块， 若射击上层，子弹刚好不穿出，若射击下层，子弹刚好完全嵌入，如图所示，从子弹击中滑块到与滑块相 对静止过程中，下列说法正确的是() A.两次子弹对滑块做的功一样多 B.子弹嵌入上层过程中对滑块做的功多 C.两次滑块所受的水平方向的冲量一样大 D.两次子弹击中木块过程中系统产生的热量一样多 20.如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木 块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度，则() 高中物理Cosmin B A.子弹A、B与木块组成的系统动量和机械能都守恒 B.入射过程中子弹A受到的阻力与子弹B受到的阻力大小相等 C.子弹A的动能一定比子弹B的动能小 D.子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长 21.（多选)如图所示，质量为3kg的木板静止在光滑的水平地面上，质量为1.98kg,可视为质点的木块静 止在木板左端。质量为0.02kg的子弹以500m/s的速度水平向右击中木块并留在木块中（子弹击中木块的时 间极短)，木块最终未滑离木板，已知木块与木板间的动摩擦因数为0.5，取重力加速度大小g=10m/s2, 则下列说法正确的是() 7777777777777777777777777777777777777777 A.木块做匀速直线运动的速度大小为2m/s B.全过程子弹、木块、木板组成的系统损失的动能为2490 C.木块与木板间因摩擦产生的热量为10] D.木板的长度至少为1.5m 22.如图，质量m1=0.95kg的木块和质量m2=1.5kg的L形钢板静置于光滑水平面上。一水平轻质弹簧的 左端与钢板连接，右端和一个质量m3=1kg的光滑滑块刚好接触但不粘连。现一质量mo=0.05kg的子弹 以大小v0=50m/s的初速度水平向右射入木块并留在木块内，一段时间后，木块与钢板发生弹性正碰。求： Mma m mo m 7777777777777 777777777777777777 77777 (1)子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统损失的机械能。 (2)此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。 (3)滑块滑离钢板时，钢板的速度大小。 23.如图所示，质量M作6kg的木板静置于足够大的水平地面上，其下表面与地面间的动摩擦因数41=0， 上表面P点左侧粗糙、右侧光滑，木板右端凸起形成挡板。两个完全相同，质量均为=1kg的滑块A、B(均 高中物理Cosmin 可视为质点)放在木板上，其中滑块A放置于木板左端，滑块B放置于P点。现给滑块A一向右的瞬时冲 量I=10Ns,滑块A开始向右运动，A、B碰后粘在一起，最终恰好能回到滑块B相对地面的初始位置。已知 P点到木板左端的距离L=4.5,滑块与木板P点左侧的动摩擦因数2=0.4，滑块与木板右端挡板的碰撞 为弹性碰撞，滑块A、B与挡板的碰撞时间均极短，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g= 10m/s2。求： B 7777力7777777777777 777777777777777777777777777777 (1)滑块B的最大速度v大小： (2)AB与挡板发生弹性碰撞后AB的速度大小、木板的速度大小： (3)木板的长度Lo。 24.质量为M=1.8kg的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量为m=3kg,停在B的左端.质量为mo=2kg 的小球用长为L=0.8m的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在 最低点与物块A发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失，物块与小球可视为质点，不计空气阻力。己知A、 B间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s2,求： B 5717777777777777177177 (1)小球与A碰撞前的瞬间，绳子对小球的拉力F的大小： (2)小球与A碰撞后的瞬间，获得的速度v4的大小： (3)为使A、B达到共同速度前A不滑离木板，木板长L至少多长。 高中物理Cosmin 四、单一方向的动量守恒 如果一个系统在某一个方向不受外力作用，或者某一方向所受合外力为零，这个系统的该方向动量保 持不变。常见的模型如下：（主要特征是水平方向动量守恒，系统机械能守恒） m vo. M 777777777777777777 如图，一个质量为的小球以速度v0滑上质量为M的斜劈上，斜劈的所有接触面都光滑。小球在水平 方向上由于受弹力而减速，斜劈由于受弹力而加速，小球达到最高点时（即小球在竖直方向上的速度为 零)，小球与斜劈速度肯定相等（方向为水平向右速度)，小球获得的重力势能等于系统损失的动能。 【冲上最高点时】 水平方向动量守恒：mvo=(M+m)v共 1 系统机械能守恒：2m哈=2(M+m埃+mgh(此过程可以等效为完全非弹性碰撞) ·如果=R,则小球恰好冲上圆弧最高点，小球竖直方向速度为0，只有水平方向速度且与圆弧共速 ·如果h>R,则小球冲上圆弧的最高点时竖直方向速度不为0，但水平方向与圆弧共速所以冲出圆弧 后小球做斜上抛运动（以地面为参考系）最后扔会落回圆弧。 小球与斜劈水平方向共速，达到最高点时并非受力平衡，其一定会随之下滑，斜劈受弹力而继续加 速，当小球到最低点时，斜劈获得最大速度。此过程中系统水平动量守恒，系统机械能守恒。 【再次回到最低点时】 水平方向动量守恒：(M+m)v共=mw1+M2 系统机械能守恒：M+m层十mgh=m听+Md 就全过程而言，同样有系统水平动量守恒，系统机械能守恒。 水平方向动量守恒：mvo=mw1+Mv2 1 。21 系统机械能守恒：m6m心十M心（可以等效为完全弹性碰撞）一 所以，w1= m-M m+M0,2= 2m m+Mvo 经典例题 高中物理Cosmin 25.如图所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。今让一小球 自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与半圆槽相切自A点进入槽内，则以下结论中正确的是() Q B 7777777177711777777777777777 A.小球在半圆槽内由A向B做圆周运动，由B向C也做圆周运动 B.小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒 C.小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力做功，小球机械能守恒 D.若小球能离开C点，离开C点以后将做斜抛运动，并且一定能再从C点回到半圆槽 26.如图，在光滑水平面上放置物体B,小球A从B的顶端沿光滑曲面由静止下滑，在小球A下滑过程中 A 77777777777777777 A.小球A与物体B组成的系统动量守恒 B.小球A与物体B组成的系统水平方向动量守恒 C.小球A对物体B的压力不做功 D.物体B对小球A的支持力的冲量为零 巩固练习 27,(多选)如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某 一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分 别为v1、2,作出图像如图乙所示，重力加速度为g,不考虑任何阻力，则下列说法正确的是() M 甲 乙 高中物理Cosmin A.小球的质量为M B.小球运动到最高点时的速度为b C,小球能够上升的最大高度为aog了 D.若a>b,小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 28.如图，物块A、C并排固定在光滑水平面上，A的上表面为半径R=0.2的光滑圆弧，圆弧底端切线水 平，圆弧底端放置着物块B。初始时，子弹以某一初速度水平射入物块B并留在其中（时间极短），物块B 恰能达到圆弧最高点。己知B的质量为M1=1.99kg,A、C质量均为M2=1.5kg,子弹质量为=0.01kg,重 力加速度g=10m/s2。 岛 A 7777777777777777777777777777777777777777 (1)求子弹的初速度大小及子弹射入物块B过程中损失的机械能； (2)若解除物块A、C的固定，子弹仍以相同初速度射入物块B,求物块B返回圆弧底端瞬间所受支持力的大 小。高中物理Cosmin 动量守恒定律的应用 一、基础模型 1.爆炸和反冲 （1)爆炸模型 ①爆炸过程中，其他形式的能量转化为机械能； ②爆炸过程中，内力远大于外力，动量守恒· (2)反冲模型 ①反冲现象中系统的动量是守恒的： ②质量为M的物体以对地速度抛出其本身的一部分，若该部分质量为m,则剩余部分对地反冲速度为： m =m”· 注意：反冲运动中的已知条件常常是物体的相对速度，在应用动量守恒定律时，应将相对速度转换为相对 于地面的速度（一般为对地速度）， 火箭的工作原理 当火箭推进剂燃烧时，从尾部喷出的气体具有很大的动量，根据动量守恒定律，火箭获得大小相等 方向相反的动量，因而发生连续的反冲现象，随着推进剂的消耗，火箭的质量逐渐减小，速度不断增大， 当推进剂燃尽时，火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行。 火箭利用了反冲原理，发射火箭时，喷管中喷射出的高速气体有动量，根据动量守恒定律，火箭就获 得向上的动量，从而向上飞去。 即m△v+△mu=0 解得△v= △m -V m 【教法备注】 【提示】分析火箭类问题应注意的三个问题： (1)火箭在运动过程中，随着燃料的燃烧，火箭本身的质量不断减小，故在应用动量守恒定律时，必须 取在同一相互作用时间内的火箭和喷出的气体为研究对像。注意反冲前、后各物体质量的变化 (2)明确两部分物体初、末状态的速度的参考系是否为同一参考系，如果不是同一参考系要设法予以调 整，一般情况下要转换成对地的速度 （3)列方程时要注意初、末状态动量的方向 高中物理Cosmin 经典例题 1.一辆小车停在光滑的水平面上，一个士兵坐在小车上，他连同装备和小车的总质量为M这个士兵用自 动步枪沿水平方向连续射出子弹，每个子弹的质量为m,子弹离开枪口时，相对于步枪的速度大小为， 当第三发子弹射出后，小车的速度大小为() A器 mvo C.M-3m 3Mvo B.M-3m 0.++ 【答案】D 【详解】由于水平面光滑，系统动量守恒。初始总动量为零。每次射出一发子弹，小车速度发生变化，且 剩余质量减小。 射出第一发子弹后，以小车的运动方向为正方向，由所有子弹、小车连同装备组成的系统动量守恒得0 (M-m)v1-m(vo-v1) 解得小车速度大小为1=0（方向与子弹射出方向相反）。 同理，射出第二发子弹后，小车速度大小为号P0+产m物。 射出第三发子弹后，小车速度大小为贺0+”mPo+o。 故选D。 2.冲天炮飞上天后会在天空中爆炸。当冲天炮从水平地面斜飞向天空后且恰好沿水平方向运动的瞬间，突 然炸裂成一大一小P、Q两块，且质量较大的P仍沿原来方向飞出去，则() A.质量较大的P先落回地面 B.炸裂前后瞬间，总动量守恒 C.炸裂后，P飞行的水平距离较大 D.炸裂时，P、Q两块受到的内力的冲量相等 【答案】B 【详解】A.炸裂后P、Q两块的速度方向均沿水平方向，之后做平抛运动回到地面，距离地面高度相同， 则运动时间相同，故同时落地，故A错误： 高中物理Cosmin B.在炸裂过程中，由于重力远小于内力，系统的动量守恒，故B正确： C.炸裂时，质量较小的Q可能仍沿原来的方向，也可以与原方向相反，无法确定P、Q两块炸裂时速度的 大小关系，也就无法比较水平距离大小关系，故C错误： D,炸裂时P、Q两块受到的内力大小相等，方向相反，故炸裂时P、Q两块受到的内力的冲量大小相等， 方向相反，故D错误。 故选B。 巩固练习 3.乌贼喷墨是一种防御行为，用于迷惑天敌，制造逃生机会，此过程伴随水流的喷射。一吸满水后质量为 0.6kg的乌贼初始时静止，某时刻开始以相对于地面恒为45/s的速度水平喷水，不计水的阻力且不考虑竖 直方向的运动和受力变化，则() A.喷出的水对周围的水产生一个作用力，周围的水对喷出的水的反作用力使乌贼向前 B.若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.15kg的水 C.若乌贼要极短时间内达到15m/s的速度，则要一次性喷出约0.20kg的水 D.要极短时间内达到15m/s的速度，此过程中它受到喷出水的作用力的冲量为9N·s 【答案】B 【详解】A.被向前喷出的水对乌贼有向后的反作用力使乌贼向后运动，故A错误： BC.由动量守恒m水×45=(0.6-m水）×15 解得m水=0.15kg,故B正确，C错误： D.对喷出水由动量定理有1=m水"水=6.75N·s,因作用力与反作用力等大，作用时间相同，故此过程中 它受到喷出水的作用力的冲量为'=6.75N·s,故D错误。 故选B。 4.一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量是200kg。这个士兵用自动步枪在沿水平方向发 射子弹，每发子弹的质量是20g,子弹离开枪口时相对步枪的速度是1000m/s。射击前皮划艇是静止的， 不考虑水的阻力，射出一颗子弹后，皮划艇的速度大小约为() A.0.1m/s B.1m/s C.10m/s D.100m/s 高中物理Cosmin 【答案】A 【详解】根据动量守恒定律，射击前系统（皮划艇、士兵、装备和子弹）总动量为零。射击后，以子弹射 出反方向为正方向，设皮划艇速度为v,子弹相对步枪的速度为=1000m/s,则子弹的绝对速度为v-u。 总质量M-200kg,子弹质量=20g=0.02kg。动量守恒方程为0=(M-m)卫+m(v-) 简化得0=Mv-mu 解得v=0.1m/s 故选A。 5.如图所示，一枚炮弹发射的初速度为vo,发射角为6。它飞行到最高点时炸裂成质量均为的A、B两 部分，A部分炸裂后竖直下落，B部分继续向前飞行。重力加速度为g,不计空气阻力，不计炸裂过程中炮 弹质量的变化及炮口到地面高度。求： B 777777777777777777777 (1)炸裂前瞬间炮弹速度： (2)炸裂后瞬间B部分速度的大小和方向： (3)炸裂前后，A、B系统机械能的变化量△E: (4)A、B两部分落地点之间的水平距离△x。 【答案】(1)vocos6,方向水平向右 (2)2voc0s6,方向水平向右 (3)A、B系统机械能增加了mvocos2θ 兽 【详解】(1)炮弹炸裂前瞬间速度为v1=vocost0 方向水平向右 (2)炸裂过程中根据水平方向动量守恒，规定水平向右为正方向，有2mw1=mva+mvB 炸裂后A部分竖直下落，说明此时A的水平速度为零，解得VB=2 vocose8 方向水平向右 (3)炸裂前后系统机械能的变化量为△E=m哈-×2m=m6cos20 A、B系统机械能增加了mvacos20。 (4)炸裂后，A做自由落体运动，B做平抛运动，下落时间为t=o血9 高中物理Cosmin 落地后，A、B两部分落地点之间的水平距离为△x=Vgt 解得△x=sin20 2.人船模型 (1)“人船模型”：相互作用的两个物体原来都处于静止状态，初动量为零，且满足动量守恒条件. (2)”人船模型”的特点：人动“船”动，人停“船”停，人快“船”快，人慢“船”慢，人 上“船”下，人左“船”右. (3)规律： m○S2:S M 受力分析系统动量守恒目初动量为0：ms2-Ms1=0 再由图中几何关系有：$1+$2=1 可得船、人的位移分别为：s三材干m ml MI ，2= f丰m 经典例题 6.如图所示，质量m=60kg的人，站在质量M=300kg的车的一端，车长L=6m,相对于地面静止。当 车与地面间的摩擦可以忽略不计时，人由车的一端走到另一端的过程中，车将() m M A.后退0.2m B.后退0.5m C.后退0.8m D.后退1m 【答案】D 【详解】人车组成的系统动量守恒，任一时刻人与车动量等大反向mv1=Mv2 高中物理Cosmin 则人和车运动时间相同，有mx1=Mx2 且x1+x2=L 解得车后退的距离x2=1m 故选D。 7.如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为m1=50kg的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为m2= 20kg,长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为h=5m。如果这个人开始沿绳向下滑， 当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）() O 777777 A.3.6m B.5m C.2.6m D.8m 【答案】A 【详解】系统（人+气球+绳）初始静止，竖直方向总重力与浮力平衡，合外力为零，动量守恒。设人相对 于地面向下的位移大小为x1,气球（绳）相对于地面向上的位移大小为x2。根据动量守恒，任意时刻m1v1 m2v2 两边同乘运动时间得m1x1=m2x2 根据几何关系满足x1+x2=h 解得x2≈3.6m 所以滑到绳下端时，他离地面的高度约为3.6m。 故选A。 巩固练习 8.如图所示，小车静置于光滑的水平面上，将小球用细线悬挂在小车上，从图示位置无初速度地释放小球， 不计空气阻力。关于释放小球后的运动过程，下列说法正确的是() n17777 A.小球和小车组成的系统动量守恒 高中物理Cosmin B.小球和小车组成的系统机械能守恒 C.小球摆到最高点时，小球的速度为零而小车的速度不为零 D.小球摆到最低点时，小球和小车速度相同且最大 【答案】B 【详解】A.小球和小车组成的系统在水平方向不受外力，只有水平方向动量守恒：竖直方向受重力、支持 力等外力作用，系统总动量不守恒，故A错误： B.地面对小车的支持力不做功，重力为保守力，细线拉力属于系统内力，只在小球和小车间转移能量，小 球和小车组成的系统机械能守恒，故B正确： C.小球摆到最高点时相对小车瞬时静止，设小球质量为m,小车质量为M,小球和小车的水平速度分别为1 v2,则v1=v2:又由水平方向动量守恒有mv1+Mv2=0 解得v1=v2=0,故C错误； D.小球摆到最低点时系统总动能最大，此时小球相对小车沿水平方向运动，设小球和小车的水平速度分别 为v1、v2,由水平方向动量守恒有mv1+Mv2=0 可知二者速度方向相反，故D错误。 故选B。 9.甲乙两人做抛球游戏，如图，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间的摩擦不计。甲与车的总质量M= 100kg,另有一质量m=2kg的球，乙站在车对面的地上，身旁有若干质量不等的球。开始车静止，甲将球 以速度v(相对于地面)水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一只质量为m=2m的球以相同速率v 水平抛回给甲，甲接到球后，再以速率将此球水平抛给乙，这样反复进行，乙每次抛回给甲的球的质量都 等于他接到球的质量的2倍，求： 甲 (1)甲第一次抛出球后，车的速度多大？ (2)甲第二次抛出球后，车的速度多大？ (3)从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球。 【答案】(1)0.02v (2)0.1v (3)5 【详解】(1)甲第一次抛出球后，对甲、车与第一只球，根据动量守恒定律有mv-Mv1=0 高中物理Cosmin 解得v1=0.02v (2)甲第二次抛出球后，对甲、车与第二只球，根据动量守恒定律有Mv1+2mv=Mv2-2mv 解得v2=0.1v (3)甲第一次抛出球后有0=Mv1-mv 甲第二次抛出球后有Mv1+2mv=Mv2-2mw 甲第三次抛出球后有Mv2+4mv=Mv3-4mw 根据规律可知，甲第n次抛出球后有Mv-1+2n-1mv=Mv,n-2-1mw 根据上式有pn=+2+2++2m M 若甲不能接到乙抛回来的球，则有vn≥v 解得n≥5 即从第一次算起，甲抛出5个球后，再也不能接到乙抛回来的球。 10.（多选)如图所示，甲和他的冰车总质量M=30kg,甲推着质量m=15kg的小木箱一起以速度vo=2m/s 向右滑行。乙和他的冰车总质量也为M=30kg,乙以同样大小的速度迎面而来。为了避免相撞，甲将小木箱 以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，则小木箱的速度ⅴ可能为 ) 6。甲 Vo M m 4704044 A.4m/s B.5m/s C.6m/s D.7m/s 【答案】CD 【详解】对于甲和箱子根据动量守恒得 (M+m)vo=Mv1+mv 对于乙和箱子根据动量守恒得 mv-Mvo=(M+m)v2 当甲乙恰好不相碰，则 V1=V2 联立解得 v=5.2m/s 若要避免碰撞，则需要满足 高中物理Cosmin v≥5.2m/s 故选CD。 11.如图所示，有A、B两质量均为30kg的小车，在光滑的水平面上以相同的速率2m/s在同一直线上相向 运动，A车上有一质量为4Okg的人，他至少要以多大的水平速度（相对地）从A车跳到B车上，才能避免 两车相撞？ o A B 【答案】2.9m/s 【详解】规定ma向右速度为正，B向左为负，由于水平面光滑，人跳离A后，A及人动量守恒，则有(mA十 m人)vo=mav1+m人"人 人跳上B前后m人，m动量守恒，则有m人v人-mso=(m人+m)巴2 要使两车不相撞，满足1、2同向且v1≤v2 代入数据可解得v人=2.9m/s 即他至少要以2.9m/s的水平速度（相对地）从A车跳到B车上，才能避免两车相撞。 二、有弹簧的碰撞 vK, V →V, →V 00o00 0o00○ 弹簧原长 弹簧最短（或最长） 再次恢复原长 ·模型概述：在光滑水平面上，两个物块（或小球）之间用轻弹簧相连，通过弹簧的弹力实现相互作用： ·特点：弹簧弹力为系统内力，若水平面光滑，系统所受合外力为零，动量守恒；若只有弹簧弹力做功， 系统机械能守恒； 状态 速度关系 碰撞类比 弹簧原长（自然状态） 通常速度不相同 相当于碰撞前的状态 弹簧压缩最短（或者伸长到最长） 共速 相当于完全非弹性碰撞结速 高中物理Cosmin 从压缩到恢复原长 如果质量相同，则速度交换 相当于弹性碰撞结束 经典例题 12.如图所示，物体P、Q的质量均为m,Q的左端固定一根轻质弹簧。两物体在光滑水平地面上相向运动， P的速率为v,Q的速率为2v。在P与弹簧接触到弹簧压缩量最大的过程中（弹簧始终在弹性限度内），下 列说法正确的是() 2v P M Q 7777777777777777777777777777777 A.弹簧对P的冲量大小为w B.弹簧对Q的冲量大小为2mw C.弹簧对P做的功与对Q做的功相同 D.当P的速度为零时，弹簧的弹性势能最大 【答案】A 【详解】A.取向右为正方向。当弹簧压缩量最大时，P、Q速度相等，设为v共，系统动量守恒p+m(-2v)= 2m失，解得P失=号 对P用动量定理p=△p=mw共-mp=mw,冲量大小为号mp,故A正确： B.对Q用动量定理lQ=△po=mv共-m(-2)=号mv,冲量大小为mw,故B错误： C:弹簧做功等于动能变化，Wp=m-m2=-m2,wg=m候-支m(2)2=-臣mn2,因此做 功并不相等，故C错误： D.若某时刻P速度为零，由动量守恒得Q的速度mw-2mv=m·0+mvo,即vo=-v 此时相对速度vQ一Vp=-v≠0，弹簧仍将继续压缩。弹性势能最大出现在两者共速，相对速度为零时，故 D错误。 故选A。 13.（多选)一水平轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。 现使A瞬时获得水平向右的速度5m/s,此后两物块的速度随时间变化的规律如图所示，从图像可知() 高中物理Cosmin A ME 1 -1 A.在t1、t2时刻弹簧都是处于压缩状态 B.从t1到t2时刻弹簧由压缩状态恢复到原长 C.在t2时刻A与B的动量大小之比为p1:p2=1:6 D.在t2时刻A与B的动能之比为Ek1:Ek2=1:8 【答案】BC 【详解】AB.由图可知，在1时刻，两物块速度相等，距离最小，弹簧处于压缩状态；t1~t2时间内，物 块B的速度大于物块A的速度，弹簧的压缩量逐渐减小，在2时刻，两物块的速度达到各自的极值，弹簧 的弹力为零，弹簧恢复原长。故A错误，B正确： C.由图像可知，t=0时刻，a=5m/s,1=0 t1时刻，两物块速度相等，即=1=2m/s 根据动量守恒定律可得m1VA=(m1+m2)v 解得3m1=2m2 在t2时刻，由图可知，物块A的速度为vA=-1m/s 物块B的速度为vB=4m/s A与B的动量大小之比为p1:p2=m1VA:m2vB=m1×-1:m2×4=m1:42=1:6,故C正确； D.在2时刻，A与B的动能之比为Ek1:E2=m1:m哈=m1×(-1)2:m2×42=m1:16m2=1:24, 故D错误。 故选BC。 巩固练习 14.如图甲，一个轻弹簧的两端与质量分别为1和2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上。 现使A以3ms的速度向B运动压缩弹簧，A、B的-t图像如图乙所示，则() 高中物理Cosmin v/(m.s) 3 B 2 B A772FW4722 n ta t/s 甲 乙 A.在、t3时刻两物块达到共同速度1m/s,且弹簧都处于压缩状态 B.从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长 C.两物块的质量之比为h2=2:1 D.在t2时刻A与B的动能之比E1:Ek2=1:8 【答案】D 【详解】AB.由图乙可知，在0t2时间内B的速度一直增大，所以02时间内弹簧处于压缩状态，在t2t3 时间内B的速度一直减小，所以t2t3时间内弹簧处于伸长状态，则在t、t3时刻两物块达到共同速度1m/s, 1时刻弹簧处于压缩状态，压缩量达到最大：3时刻处于伸长状态，且伸长量达到最大：则从3到4时刻弹 簧由伸长状态恢复原长，故AB错误： C.0h时间内，根据系统动量守恒可得m1vo=(m1+m2)v 代入数据可得两物块的质量之比为m1:m2=1:2,故C错误； D.由图乙可知，在t2时刻A的速度为-1m/5,B的速度为2ms,所以A与B的动能之比为Ek1:Ek2 m1m2=1:8,故D正确。 故选D。 15.如图所示，半径为R的2圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q 的左端连接一轻弹簧。质量为的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨 道。己知P、Q的质量均为3，重力加速度大小为g,忽略空气阻力和一切摩擦。求： MO 777777777777777777777777777777777777 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小： (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能E: (3)小球第一次与弹簧分离时的速度。 高中物理Cosmin 【答案】a3,厚 (2 呢 ,方向水平向左 【详解】(1)设小球第一次离开圆槽时速度为，圆槽P的速度为，从小球开始下落到第一次离开圆槽， 根据动量守恒定律可得mvo=3mv 根据能量守恒定律可得mg·2R=m6+3m2 联立解得。=3层v=图 (2)小球第一次与弹簧相互作用，弹簧弹性势能最大时小球和物块Q共速，从开始压缩弹簧到弹性势能最 大，根据动量守恒定律可得mvo=(m+3m)v共 根据能量守恒定律可得m哈=；(m+3m)加+E,1 联立解得Ep1=盟 8 (3)从小球开始压缩弹簧到第一次与弹簧分离，根据动量守恒定律可得mwo=mv1+3mv2 根据能量守恒定律可得mv哈=2mv+号·3mw 2 联立解得v1= 2V3 即小球第一次与弹簧分离时的速度大小为号、罗。 方向水平向左。 16.(多选)如图所示，质量均为0.5M的小球B、C静置在光滑水平面上，两小球通过一轻质弹簧相连，质 量为m的小球A以速度o向右运动，与小球B发生弹性碰撞，该过程中弹簧的弹性势能E。与系统初始动 能Eo之比和咒的关系图如图所示，则弹簧的弹性势能最大时() E。 ↑Eo 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 X0000000000 172 0 A B 0.51 23 4 M A.小球A的速度为O B.小球A的速度为'o 高中物理Cosmin C.小球B的速度为o D.小球B的速度为 【答案】AD 【详解】AB。弹簧的弹性势能最大时，由图像可知，弹簧的弹性势能占比最大，则有器=； 由于小球B、C质量均为0.5M,可知，此时三个小球质量相等，初始小球A与小球B发生弹性碰撞，根据 动量守恒定律有mo=mw+兰 2 根据机械能守恒定律有兮m哈-m2+号兰时 解得碰后小球A的速度D一是，=0，故A正确，B错误， C①，结合上述解得，小球A与小球B发生弹性建提后，小球B的速度为器，= 由于弹簧的弹性势能达到最大时，B、C速度达到相等，则有"1=（侣+匀2 结合上述解得U2=受，故C错误，D正确。 故选AD。 三、子弹打物块模型与板块模型 (1)定义：子弹以一定初速度射入静止在光滑水平面上的木块，子弹与木块之间存在摩擦力（或阻力）作 用； (2)特点：子弹射入木块的时间极短，内力（摩擦力）远大于外力（重力、支持力），系统（子弹+木块） 动量守恒； (3)本质：子弹留在木块中（未穿出）时，属于完全非弹性碰撞，碰后二者共速：、 ·核心规律 设子弹质量为m1、初速度为V1,碰撞后速度为v'1,木板质量为m2,静止在光滑水平面上，碰后速度为v2, ①子弹未穿出木块（留在木块中）： 77772727777277 :::a 77 动量守恒：m1V1=(m1+m2）V共 能量关系：m1V12=号(m1+m2)V共2+0 高中物理Cosmin Q=f·d(f为子弹和木块之间的摩擦力，d为相对运动的距离) ②子弹穿出木块： 3e00000000000 7777777 根据动量守恒：m1V1=m1V'1+m2V2 根据能量守恒：m1V2=m1v'12+m2v2+Q Q'=f·L,L为木块的厚度（即子弹相对木块的穿行距离） (二)板块模型 (1)定义：质量为的滑块以一定初速度滑上静止在水平面上的木板，滑块与木板之间存在滑动摩擦力， 木板质量为M: (2)特点：滑块受向左的摩擦力减速，木板受向右的摩擦力加速，直至二者达到共同速度（若木板足够长）： 系统水平方向动量是否守恒，取决于地面是否光滑： Vo m1 1 42 ·核心规律 设木块质量为m1,初速度为vo,木板质量为m2,速度为0，木块与木板之间的动摩擦因数为μ1，木板与地 面之间的动摩擦因数为μ2 (1)地面光滑时（系统水平方向动量守恒）： 动量守恒：m1Vo=(m1+m2）V共 能量守恒（功能关系）：mo2号 (m1+m2)V共2+Q 摩擦生热：Q=mgX相对 其中X相对为滑块相对于木板的滑行距离（即二者的相对位移）。 (2)地面粗糙时（系统水平方向动量不守恒）： ·滑块初速度向右，木板受地面摩擦力地=2(m十M)g(向左)， 滑块受木板摩擦力f1=41mg(向左) ·需分别对滑块和木板列牛顿第二定律求加速度，再用运动学公式求共速时间、相对位移： 高中物理Cosmin ·共速后，若u1≥2，二者一起减速；若1<2，二者各自减速。 (3)"恰好不滑出"临界条件： 滑块到达木板最右端时，二者恰好达到共同速度： 此时相对位移等于木板长度：X相对=L 联立动量守恒+能量守恒可求临界板长或临界摩擦因数。 经典例题 17.如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（视为质点）以v0的速度水平向右 射入木板，刚好未穿出。两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法正确的是() 子弹 0.6yo 子弹与木板 光滑 木板 tE566161166616 to 甲 A.子弹与木板的质量之比为2：3 B.木板的长度为2”g C.若子弹的质量为m,则木板在加速过程中子弹对木板的推力大小为器 D.若子弹的质量为m,则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为m 【答案】D 【详解】A.子弹、木板系统动量守恒mvo=(m+M)×0.6vo 解得m:M=3:2,故A错误； B.子弹刚好未穿出，则两者的相对位移刚好等于板长，板的长度为L=+6t。-四t。=,故B错误： 2 2 2 C.对子弹由动量定理-Fto=m×0.6vo-mvo 解得F=2mo 5to 根据牛顿第三定律子弹对木板的推力大小为F=F=m,故C错误： 5t0 D.系统产生的热量等于损失的动能Q=mvo2-m+M)0.6o) 子弹的质量为m,则木板的质量为M=号m 高中物理Cosmin 解得Q=罗故D正确。 故选D。 18.质量为M的矩形木板ae,放在光滑水平面上，b、c、d是ae的4等分点。质量为m的物块以一定的初速 度从α点水平滑上粗糙木板，物块的宽度不计，且m>M。经过一段时间物块停在木板上。若选项中上图为 物块刚滑上木板时物块与木板的位置状态，下图是物块刚与木板达到共同速度时的位置状态，则下列示意 图正确的是（) b 777777777 77777777777777777777777 7777777 777777777 77777777777777777777777777777777777 777777777777777777777777777777777777 b c d b 7777777777777777777777 7777777 b c C. 77777777777777777777777777777777777 0 77777777777777777777777777777777777 【答案】B 【详解】物块从木板左端α滑上后，物块在摩擦力作用下减速，木板加速，最终两者共速。由于水平面光滑， 系统在水平方向动量守恒。 设物块初速度为vo,共速速度为v,则mvo=(M+m)v 设动摩擦因数为μ，木板对地位移x,二者相对位移为△x,则对木板mgx=M2,对物块-1mgx+△)= m哈-mv 联立解得 m 1 =M+2m=2 解得x<△x<2x 故选B。 巩固练习 19.(多选)矩形滑块由不同的材料上、下两层粘在一起组成，放在光滑的水平面上，子弹水平射向滑块， 若射击上层，子弹刚好不穿出，若射击下层，子弹刚好完全嵌入，如图所示，从子弹击中滑块到与滑块相 对静止过程中，下列说法正确的是() 高中物理Cosmin A.两次子弹对滑块做的功一样多 B.子弹嵌入上层过程中对滑块做的功多 C.两次滑块所受的水平方向的冲量一样大 D.两次子弹击中木块过程中系统产生的热量一样多 【答案】ACD 【详解】AB.根据动量守恒定律 mv=(M+m)v共 解得两次情况下滑块的最终速度相同，物块动能的增量等于子弹做的功，所以两次子弹对物块做的功一样 多，故A正确，B错误： C.根据 1=△MV共 可得两次滑块所受的水平方向的冲量一样大，故C正确： D.子弹嵌入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，而子弹减少的动能一样多（子弹 初末速度相等)：物块能加的动能也一样多，则系统减少的动能一样，故系统产生的热量一样多，故D正确。 故选ACD。 20.如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木 块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度，则() ● E19 A.子弹A、B与木块组成的系统动量和机械能都守恒 B.入射过程中子弹A受到的阻力与子弹B受到的阻力大小相等 C.子弹A的动能一定比子弹B的动能小 D,子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长 【答案】B 高中物理Cosmin 【详解】A.子弹A、B与木块组成的系统，所受合外力为零，系统动量守恒，由于两子弹射入木块的过程， 克服阻力做功，系统机械能减少，即机械能不守恒，故A错误： B.由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小相等，即两子弹所受的阻力大小相等，故B正 确： C.根据动能定理得，对子弹A有 -FrdA =0-EkA 解得 EkA=FrdA 对子弹B有 -FrdB=0-EkB 解得 EkB=FrdB 由于 da>ds 则有子弹入射时的初动能 EKA>EKB 故C错误： D.子弹A、B从木块两侧同时射入木块，木块始终保持静止，分析可知，两子弹在木块中运动的时间必定 相等，否则木块就会运动，故D错误。 故选B。 21.（多选)如图所示，质量为3kg的木板静止在光滑的水平地面上，质量为1.98kg,可视为质点的木块静 止在木板左端。质量为0.02kg的子弹以500m/s的速度水平向右击中木块并留在木块中（子弹击中木块的时 间极短)，木块最终未滑离木板，已知木块与木板间的动摩擦因数为0.5，取重力加速度大小g=10ms2, 则下列说法正确的是( 777777777777777777777777777777777777777 A.木块做匀速直线运动的速度大小为2m/s B.全过程子弹、木块、木板组成的系统损失的动能为2490 C.木块与木板间因摩擦产生的热量为10] D.木板的长度至少为1.5m 高中物理Cosmin 【答案】ABD 【详解】A.子弹击中木块过程动量守恒，根据动量守恒定律有m1vo=(m1+m2)v1 解得v1=m10=0.02x500 m/s 5m/s m1+m20.02+1.98 子弹、木块与木板一起运动到系统速度相等过程中动量守恒，根据动量守恒定律有(m1+m2)v1=(m1+ m2+m3)v2 解得v2=mtm2边=002+1.98x5 m1+m2+m3 0.02+1.98+3 /s=2m/s,故A正确： B.系统损失的动能为△E&=m1喝-0m1+m2+mg)吗 1 代入数据解得△Ek=2490,B正确； C.木板与木块间因为摩擦产生的热量为0=(m1+m2)v-m1+m+m3)吃 代入数据解得Q=15J,c错误： D.因为木块和木板间的摩擦力做功等于木板和木块间因为摩擦产生的热，即Q=4(m1+m2)gL 代入数据解得L=1.5m 即木板长度至少为1.5m,D正确。 故选ABD: 22.如图，质量m1=0.95kg的木块和质量m2=1.5kg的L形钢板静置于光滑水平面上。一水平轻质弹簧的 左端与钢板连接，右端和一个质量m3=1kg的光滑滑块刚好接触但不粘连。现一质量m0=0.05kg的子弹 以大小v。=50m/s的初速度水平向右射入木块并留在木块内，一段时间后，木块与钢板发生弹性正碰。求： Vo mo m 7777777777777777777 7777777 (1)子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统损失的机械能。 (2)此后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。 (3)滑块滑离钢板时，钢板的速度大小。 【答案】(1)59.375) (2)1.2J (3)0.4m/s 【详解】(1)子弹射入木块过程的时间极短，子弹和木块组成的系统在水平方向动量守恒。设子弹与木块 的共同速度为v,有movo=(mo+m1)v 解得v=2.5m/s 高中物理Cosmin 系统损失的机械能△E=mo哈-(mo+m1)p2 解得△E=59.375J (2)木块（含子弹）与钢板发生弹性正碰，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有(o+m1)v=(o+ m1)v1+m2v2: (mg+m1)v2=mo+m)+m2吃 解得弹性正碰后钢板的速度大小v2=2m/s 钢板向右运动压缩弹簧，钢板的动能转化为弹簧的弹性势能和滑块的动能。当钢板和滑块的 速度相同时，弹簧的弹性势能最大，有m22=(m2+m3)P共，m2吃=(m2+m)v+Epm 解得Epm=1.2) (3)弹簧被压缩到最短后开始恢复原长，弹簧恢复原长后滑块与弹簧分离，之后滑块和钢板都做匀速运动， 1 最终滑块滑离钢板，设此时钢板、滑块的速度大小分别为u1、u2,则有m2v2=m2u1+m3u2,m2v吃= m2u+m3喝 解得u1=0.4m/s 23.如图所示，质量M6kg的木板静置于足够大的水平地面上，其下表面与地面间的动摩擦因数41=6 上表面P点左侧粗糙、右侧光滑，木板右端凸起形成挡板。两个完全相同，质量均为=1kg的滑块A、B(均 可视为质点)放在木板上，其中滑块A放置于木板左端，滑块B放置于P点。现给滑块A一向右的瞬时冲 量I=10N5,滑块A开始向右运动，A、B碰后粘在一起，最终恰好能回到滑块B相对地面的初始位置。已知 P点到木板左端的距离L=4.5,滑块与木板P点左侧的动摩擦因数μ2=0.4，滑块与木板右端挡板的碰撞 为弹性碰撞，滑块A、B与挡板的碰撞时间均极短，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g= 10m/s2。求： A B kL T7777777777777777777777777777777777777 (1)滑块B的最大速度v大小： (2)AB与挡板发生弹性碰撞后AB的速度大小、木板的速度大小： (3)木板的长度L0。 【答案】(1)4nm/s (2)2m/s,2m/s (m 高中物理Cosmin 【详解(1)设滑块A与木板间的滑动摩擦力大小为fA,木板与地面间的滑动摩擦力大小为f,则有fA=2mg, f=1(2m+M)g 因fA<f,故A、B碰撞前木板相对地面不动。设给滑块A一瞬时冲量后滑块A的速度大小为v1,滑块A与 滑块B碰撞前的速度大小为2，滑块A与滑块B碰撞后，滑块B的速度最大，则有I=mw1,m=mgL+ n峰 碰撞过程动量守恒有mv2=2mv 联立解得v=4m/s (2)滑块进入P点右侧光滑部分后做匀速直线运动，直到与挡板发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，设 碰后滑块的速度大小为v3,木板的速度为v4, 根据动量守恒有2mv=-2mv3+Mv4 根据机械能守恒有号×2m2=×2m+M好 解得v3=2m/s,v4=2m/s (3)与挡板碰后滑块向左做匀速直线运动，木板向右做匀减速直线运动，设木板做匀减速直线运动的加速 度大小为a1,根据牛顿第二定律可得a1=2m+0g M 当滑块到达P点后，开始做匀减速直线运动，回到滑块B相对地面的初始位置时速度变为零。设滑块从与 挡板碰撞后至运动到P点的时间为t1,滑块做匀减速直线运动的位移大小为xo,此过程滑块的加速度大小 为aA,根据牛顿第二定律可得aa=22=山2g m 则滑块与木板碰后，在t时间内木板向右运动的位移大小也为xo,即0=二意0=41一1号 根据几何关系可得Lo=L+xo+V3t1 联立解得L,=号m 24.质量为M=1.8kg的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量为m=3kg,停在B的左端。质量为m0=2kg 的小球用长为L=0.8m的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在 最低点与物块A发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失，物块与小球可视为质点，不计空气阻力。己知A、 B间的动摩擦因数u=0.2,重力加速度g=10m/s2,求： 5117707777777777777771177771777777 高中物理Cosmin (1)小球与A碰撞前的瞬间，绳子对小球的拉力F的大小： (2)小球与A碰撞后的瞬间，获得的速度va的大小： (3)为使A、B达到共同速度前A不滑离木板，木板长L至少多长。 【答案】(1)60N (2)3.2m/s (3)0.96m 【详解】(1)小球运动到最低点的过程中机械能守恒，有mogL=moo2 最低点处的向心力为F-mog=” L 联立可得vo=4m/s,F=3mog=60N (2)小球与物块A碰撞时动量守恒，moVo=mo'o+mvA 机械能也是守恒的，即吃oo2=moo2+mva2 可解得vo'=-0.8m/s,va=3.2m/s (3)A与B之间发生相对运动，直至二者共速，这个过程中动量是守恒的，即mva=(m+M)"共 过程中能量守恒，即mva2=m+M)p共2+mgs 可解得v共=2m/s,s=0.96m 木板的长度应满足L≥s 所以木板的最小长度为0.96m。 四、单一方向的动量守恒 高中物理Cosmin 如果一个系统在某一个方向不受外力作用，或者某一方向所受合外力为零，这个系统的该方向动量保 持不变。常见的模型如下：（主要特征是水平方向动量守恒，系统机械能守恒)》 m M 77777777777777777 如图，一个质量为的小球以速度vo滑上质量为M的斜劈上，斜劈的所有接触面都光滑。小球在水平 方向上由于受弹力而减速，斜劈由于受弹力而加速，小球达到最高点时（即小球在竖直方向上的速度为 零)，小球与斜劈速度肯定相等（方向为水平向右速度），小球获得的重力势能等于系统损失的动能。 【冲上最高点时】 水平方向动量守恒：mvo=(M+m)v共 系统机械能守恒：方m号=方M+m娱十mgh(此过程可以等效为完全非弹性础撞) 1 ·如果h=R,则小球恰好冲上圆弧最高点，小球竖直方向速度为0，只有水平方向速度且与圆弧共速 ·如果>R,则小球冲上圆弧的最高点时竖直方向速度不为0，但水平方向与圆弧共速所以冲出圆弧 后小球做斜上抛运动（以地面为参考系）最后扔会落回圆弧。 小球与斜劈水平方向共速，达到最高点时并非受力平衡，其一定会随之下滑，斜劈受弹力而继续加 速，当小球到最低点时，斜劈获得最大速度。此过程中系统水平动量守恒，系统机械能守恒。 【再次回到最低点时】 水平方向动量守恒：（M+m)v共=mw1+Mv2 系统机械能守恒：专M+m层+mgh=方m听+方M6 就全过程而言，同样有系统水平动量守恒，系统机械能守恒。 水平方向动量守恒：mvo=mw1+Mv2 1 系统机械能守恒： 。mv6= 。m1+5M(可以等效为完全弹性碰撞 所以，1= m-M m+M0,2= 2m m+Mvo 经典例题 25.如图所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。今让一小球 高中物理Cosmin 自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与半圆槽相切自A点进入槽内，则以下结论中正确的是() 7777777777777717777777777777 A.小球在半圆槽内由A向B做圆周运动，由B向C也做圆周运动 B.小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒 C.小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力做功，小球机械能守恒 D.若小球能离开C点，离开C点以后将做斜抛运动，并且一定能再从C点回到半圆槽 【答案】D 【详解】ABC.小球在半圆槽内由A向B运动时，由于槽的左侧有一固定在水平面上的物块，槽不会向左运 动，只有重力做功，则小球机械能守恒，从A到B做圆周运动，系统在水平方向上合力不为零，水平方向 动量不守恒：从B到C运动的过程中，槽向右运动，系统在水平方向上合力为零，水平方向动量守恒，则 B到C小球的运动不是圆周运动且槽动能增大，则小球机械能减小。故ABC错误； D.小球离开C点以后，既有竖直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜抛运动，因为两者水平速度相 同，所以一定能再从C点回到半圆槽，故D正确。 故选D。 26.如图，在光滑水平面上放置物体B,小球A从B的顶端沿光滑曲面由静止下滑，在小球A下滑过程中 A B 777777777777777777 A.小球A与物体B组成的系统动量守恒 B.小球A与物体B组成的系统水平方向动量守恒 C.小球A对物体B的压力不做功 D.物体B对小球A的支持力的冲量为零 【答案】B 【详解】AB.小球A下滑过程竖直方向先加速后减速，即竖直方向加速度方向先向下后向上，则竖直方向 高中物理Cosmin 先失重后超重，水平方向系统所受外力的合力为0，可知，小球A和物体B构成的系统动量不守恒，但水 平方向动量守恒，故A错误，B正确； C,小球A对物体B的压力方向与B的速度方向夹角为锐角，则小球A对物体B的压力做正功，故C错误； D,根据冲量的定义有I=Ft 可知，物体B对小球A的支持力的冲量不为零，故D错误。 故选B。 巩固练习 27.(多选)如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某 一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分 别为v1V2,作出图像如图乙所示，重力加速度为g,不考虑任何阻力，则下列说法正确的是() M 甲 乙 A.小球的质量为M B。小球运动到最高点时的速度为出 C.小球能够上升的最大高度为a2 (a+b)g D.若a>b,小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 【答案】ABD 【详解】A.设小球的质量为m,初速度为vo,在水平方向上由动量守恒定律有mvo=mw1+Mv2 解得=一贺+贺0 结合图乙有号=名行w=b 解得m=M,故A正确： B.小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量 守恒定律得mvo=(m+M)v 结合上述解得=典故B正确： C,小球从开始运动到最高点的过程中，由能量守恒定律m哈=(m+M)p2+mgh 高中物理Cosmin a3 结合上述解得h=2a+g' 故C错误： D.分离时有由动量守恒定律mvo=mv1+Mv2 机械能守恒定律m哈=mv+Mv 结合上述解得，=名号， 当a>b时有v1<0 即小球水平方向的速度方向向左，所以小球与圆弧分离后将向左做平抛运动，故D正确。 故选ABD。 28.如图，物块A、C并排固定在光滑水平面上，A的上表面为半径R=0.2m的光滑圆弧，圆弧底端切线水 平，圆弧底端放置着物块B。初始时，子弹以某一初速度水平射入物块B并留在其中（时间极短），物块B 恰能达到圆弧最高点。己知B的质量为M1=1.99kg,A、C质量均为M2=1.5kg,子弹质量为=0.01kg,重 力加速度g=10m/s2。 闾 C 7777777777777777777777777777777777777777 (1)求子弹的初速度大小及子弹射入物块B过程中损失的机械能： (2)若解除物块A、C的固定，子弹仍以相同初速度射入物块B,求物块B返回圆弧底端瞬间所受支持力的大 小。 【答案】(1)400m/5,796J (2)60N 【详解】(1)设子弹的初速度大小为v1,击中B后，二者共同的速度大小为v2,根据动量守恒定律v1=(m+ M1)v2 子弹射入B后瞬间到B到达最高点的过程，根据机械能守恒定律(m+M)v3=(m+M)gR 解得v1=400m/s,V2=√2gR=2m/s 子弹射入物块B过程中损失的机械能△B=v-(m+M)吃 解得△E=796 (2)设B返回圆弧底端时速度为v4,此时A、C的速度为v3,根据动量守恒定律(m+M1)v2=(m+M1)v4十 2M2V3 机械能守恒定律(m+M1)吃=(m+M)峰+×2M2喝 高中物理Cosmin 解得v3=1.6m/s,v4=-0.4m/s 物块B返回圆弧底端瞬间，根据牛顿第二定律FN一(m+M)g=(m+M)4=) R 解得FN=60N