专题05 有理数的乘除（专项训练）数学新教材青岛版七年级上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，覆盖有理数乘除8类基础题型及综合拔高题，强化运算能力与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|8题型（3-4题/题型）|基础运算（乘法、除法、混合运算）、概念应用（倒数、运算律）、几何结合（数轴正负判断）|从数的乘法法则到运算律应用，再到与数轴结合的几何意义，形成完整认知链| |综合攻坚·知能拔高|11题（单选7/填空2/解答2）|含符号运算辨析、新定义运算、数轴翻折综合题|深化运算推理与空间观念，衔接中考高频易错点|

专题05 有理数的乘除 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘除 题型1两个有理数的乘法运算 题型2多个有理数的乘法运算 题型3倒数 题型4有理数乘法运算律 题型5有理数的除法运算（重） 题型6有理数四则混合运算（高频） 题型7根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型8数轴上的翻折（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘除 ◆题型1两个有理数的乘法运算 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 2．计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ◆题型2多个有理数的乘法运算 5．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 6．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 7．在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据题意可知将最小的负数和最大的两个正数相乘结果即为本题答案． 【详解】解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 8．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． ◆题型3倒数 9．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算判断即可； 【详解】解：， 的倒数是． 10．的绝对值的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，的倒数为， ∴的绝对值的倒数为． 11．一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 12．的倒数是___________． 【答案】 【详解】解：将化为分数，得， ∵互为倒数的两个数乘积为， ∴的倒数为． ◆题型4有理数乘法运算律 13．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 14．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将101拆分为后，利用乘法分配律展开即可得到结果． 【详解】解：． 15．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 16．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据乘法分配律将括号内的分数依次乘后再相加，约分后转化为计算有理数加减法，得出答案． 【详解】解： ◆题型5有理数的除法运算 17．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 18．计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 19．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 20．计算：___________． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，再根据分数除法法则计算，约分后得到结果． 【详解】解：原式 ◆题型6有理数四则混合运算 21．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 22．计算： 【答案】 【分析】先将带分数和百分数化为小数，再利用乘法分配律对算式进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 23．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 24．计算： ． 【答案】 【分析】先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． ◆题型7根据点在数轴的位置判断式子的正负 25．如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在数轴原点左侧的数为负数，在数轴原点右侧的数为正数；数轴上的点到原点的距离表示该数的绝对值；A选项用有理数加法法则判断，B选项用有理数减法法则判断，C选项用有理数乘法法则判断． 【详解】解：由图可知：，，，故选项D符合题意； ，异号相加，取绝对值大的符号，即，故选项A不符合题意； ，减去一个数等于加上这个数的相反数，即，，负数加负数等于负数，，故选项B不符合题意； ，负数乘正数等于负数，，故选项C不符合题意． 26．如图，数轴、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴、两点的位置得到，再逐项进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴，，，， 综上可知，选项C正确． 27．实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴得出，且，逐项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，． 28．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． ◆题型8数轴上的翻折 29．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【答案】C 【分析】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 30．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 31．小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 32．点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线的中点），先根据确定表示的数，再结合中点公式计算点C表示的数即可． 【详解】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数进行判断即可． 【详解】解：， ∵ ∴的倒数是． 故选：B． 2．如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：， ，均为负数，且， 分子相同的两个负分数，分母的绝对值越大，分数值越大， ∴， 故A选项错误； ， ，均为负数， ∵两个负数相乘结果为正，可得，故B错误； ， ，均为负数，且， ∴，故C错误，D正确． 3．算式中，在◯中填入下列运算符号后，运算过程中第一步不可以直接去掉括号的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断各运算符号下能否第一步直接去括号，根据除法对减法没有分配律即可得到答案． 【详解】解：∵填或时，、均可直接去括号变形为、， ∴ A、B不符合题意； ∵填时，可直接去括号变形为， ∴ C不符合题意； ∵填时，无法直接去括号变形，需先算括号内的分数减法， ∴ D符合题意． 4．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 5．实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 6．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】根据题意可知、、、是四个互不相等的整数，乘积为9，据此确定四个数的所有可能取值，再根据要让代数式最大，系数大的变量对应取更大的值，计算最大值即可． 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ， 即所求式子最大值为50． 7．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 二、填空题 8．若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 9．，则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 【答案】 【分析】将原式转化为，进行计算即可． 【详解】解：， ， M的整数部分为，小数部分为． 三、解答题 10．用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 11．已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先求出点表示的数，再结合折叠性质求出点A表示的数； （2）先求出的长度，再根据折叠性质求出的长度． 【详解】（1）解：根据题意得点表示的数为， ∴点A表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，B表示的数是4， ，． ． ∴线段的长为6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘除 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘除 题型1两个有理数的乘法运算 题型2多个有理数的乘法运算 题型3倒数 题型4有理数乘法运算律 题型5有理数的除法运算（重） 题型6有理数四则混合运算（高频） 题型7根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型8数轴上的翻折（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘除 ◆题型1两个有理数的乘法运算 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 2．计算 （     ） A． B． C． D． 3．计算： ______． 4．计算： (1)； (2)； (3)． ◆题型2多个有理数的乘法运算 5．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 6．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 7．在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 8．计算： ◆题型3倒数 9．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 10．的绝对值的倒数是（     ） A． B． C． D． 11．一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 12．的倒数是___________． ◆题型4有理数乘法运算律 13．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 14．（     ） A． B． C． D． 15．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 16．用简便方法计算：． ◆题型5有理数的除法运算 17．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 18．计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 19．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 20．计算：___________． ◆题型6有理数四则混合运算 21．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 22．计算： 23．计算：． 24．计算： ． ◆题型7根据点在数轴的位置判断式子的正负 25．如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，数轴、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 27．实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 28．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ◆题型8数轴上的翻折 29．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 30．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 31．小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 32．点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 2．如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 3．算式中，在◯中填入下列运算符号后，运算过程中第一步不可以直接去掉括号的是（     ） A． B． C． D． 4．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 5．实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 7．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若规定，则________． 9．，则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 三、解答题 10．用简便方法计算：． 11．已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘除 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘除 题型1两个有理数的乘法运算 题型2多个有理数的乘法运算 题型3倒数 题型4有理数乘法运算律 题型5有理数的除法运算（重） 题型6有理数四则混合运算（高频） 题型7根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型8数轴上的翻折（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的乘除 ◆题型1两个有理数的乘法运算 1． 【答案】A 【详解】解：. 2． 【答案】D 【详解】解：． 3． 【答案】1 【详解】解：． 4． 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ◆题型2多个有理数的乘法运算 5． 【答案】D 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 6． 【答案】A 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 7． 【答案】 【详解】解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 8． 【答案】 【详解】解：原式 ． ◆题型3倒数 9． 【答案】D 【详解】解：， 的倒数是． 10． 【答案】A 【详解】解：∵，的倒数为， ∴的绝对值的倒数为． 11． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 12． 【答案】 【详解】解：将化为分数，得， ∵互为倒数的两个数乘积为， ∴的倒数为． ◆题型4有理数乘法运算律 13． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 14． 【答案】D 【详解】解：． 15． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 16． 【答案】 【详解】解： ◆题型5有理数的除法运算 17． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 18． 【答案】C 【详解】解：． 19． 【答案】B 【详解】解：． 20． 【答案】 【详解】解：原式 ◆题型6有理数四则混合运算 21． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 22． 【答案】 【详解】解：原式 ． 23． 【答案】 【详解】解：原式 ． 24． 【答案】 【详解】解： ． ◆题型7根据点在数轴的位置判断式子的正负 25． 【答案】D 【详解】解：由图可知：，，，故选项D符合题意； ，异号相加，取绝对值大的符号，即，故选项A不符合题意； ，减去一个数等于加上这个数的相反数，即，，负数加负数等于负数，，故选项B不符合题意； ，负数乘正数等于负数，，故选项C不符合题意． 26． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，， ∴，，，， 综上可知，选项C正确． 27． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，． 28． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． ◆题型8数轴上的翻折 29． 【答案】C 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 30． 【答案】D 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 31． 【答案】A 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 32． 【答案】D 【详解】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．C 二、填空题 8．/ 9． 三、解答题 10．【详解】解： ． 11．【详解】（1）解：根据题意得点表示的数为， ∴点A表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，B表示的数是4， ，． ． ∴线段的长为6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $