第二章 有理数的运算基础过关自测卷-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 有理数运算单元复习同步练，通过基础辨析、运算应用到跨情境实践的三层设计，实现从概念理解到综合素养的递进巩固，适配课时目标与核心素养发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|倒数、科学记数法等单一概念与基础运算|选择1-7题聚焦概念辨析，填空11-13题强化运算准确性，培养抽象能力与数感| |提升层|运算律应用与新定义运算|解答16-20题结合简便计算、新运算探究，发展运算能力与推理意识| |综合层|跨情境问题解决|解答21题整合快递邮费、砂糖桔质量等现实素材，构建数学模型，体现应用意识与数据观念|

第二章 有理数的运算基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的倒数是（   ） A． B．3 C． D． 2．2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 4．计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 5．下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（     ） A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．符号不同的两个数互为相反数 C．两数之和一定大于每一个加数 D．有最小的非负整数 8．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 9．规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 10．在数轴上距有个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ______． 12．已知地海拔高度为米，而地比地低米，则地海拔高度为______米． 13．一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费( )元． 14．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 16．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1： ． 例2： ．　 (1)； (2)． 17．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 18．无人车负责向某小区快递超市配送快递，计划平均每天配送600件快递，实际每天的配送量与计划量有出入，下表是该无人车2026年1月第一周的配送情况（超过计划量记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 配送情况（单位：件） 0 请问该无人车本周（7天）实际向快递超市配送多少件快递？ 19．我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 20．我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子：________； (2)补全定义内容：_______；（用含、的代数式表示） (3)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 21．阅读下列材料，解决问题． 双十一怎样发货更经济？ 素材1 双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 箱数 2 4 4 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 素材2 某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元． 素材3 据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高．一个包裹在20千克以内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率估计为5%，破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱砂糖桔的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄．请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2，邮寄10箱砂糖桔哪种方案利润更高？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的倒数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：的倒数是. 2.2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万． 3．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 4．计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 5．下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先根据有理数的化简法则计算每个选项中两个数的值，再根据相反数的定义判断即可，相反数是指绝对值相等，符号相反的两个数． 【详解】解：、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数绝对值相等，符号相反， ∴两数互为相反数，符合题意． 6．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 7．下列说法正确的是（     ） A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．符号不同的两个数互为相反数 C．两数之和一定大于每一个加数 D．有最小的非负整数 【答案】D 【详解】解：对于选项A：全体有理数包括正有理数、、负有理数，故A错误； 对于选项B：互为相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数，例如和符号不同，但不是相反数，故B错误； 对于选项C：例如，但，因此两数之和可能小于其中一个加数，故C错误； 对于选项D：非负整数是和正整数，最小的非负整数是，故D正确． 8．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 9．规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的阶乘新定义，展开分子分母后约分计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中阶乘的定义，得，， ∴． 10．在数轴上距有个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，解题需分所求点在已知点左侧和右侧两种情况讨论，避免漏解． 【详解】解：∵数轴上距有个单位长度的点存在两种情况， ①当所求点在的左侧时， ∴该点表示的数为； ②当所求点在的右侧时， ∴该点表示的数为； 综上，符合条件的数是或． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ______． 【答案】1 【分析】两个负数相乘，先确定乘积的符号，再计算绝对值的乘积即可得到结果． 【详解】解：∵根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正， ∴乘积符号为正，计算绝对值的乘积可得原式． 12．已知地海拔高度为米，而地比地低米，则地海拔高度为______米． 【答案】 【分析】根据题意，地海拔高度等于地海拔高度减去米，列式计算即可． 【详解】解：∵地比地低米，地海拔高度为米， ∴地海拔高度为：（米）． 13．一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费( )元． 【答案】 【分析】锯木头问题中，锯的次数等于段数减1，先计算锯1次需要的费用，再计算锯成10段的总费用． 【详解】解：锯成5段需要锯的次数为． 锯1次需要付费（元）． 锯成10段需要锯的次数为． 总付费为（元）． 14．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1： ． 例2： ．　 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法运算律，掌握对原式进行变形是解决此题的关键； （1）对原式进行变形为，然后利用乘法的分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫回到了出发点 (2)小虫离开出发点最远是12厘米 (3)小虫共可得到18粒芝麻 【分析】（1）将数据相加即可求解； （2）分别求出每一次离开出发点的距离，再比较即可； （3）把各数的绝对值相加求出爬行的路程和，再除以3即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， 故小虫回到原点； （2）解：第一次爬行，此时离开出发点5厘米， 第二次爬行，此时离开出发点厘米， 第三次爬行，此时离开出发点厘米， 第四次爬行，此时离开出发点厘米， 第五次爬行，，此时离开出发点厘米 第六次爬行，此时离开出发点厘米， 第7次爬行，此时离开出发点厘米， 故小虫离开出发点最远是12厘米； （3）解：小虫共爬行的路程为： 厘米， 粒， 小虫共可得到18粒芝麻． 18．无人车负责向某小区快递超市配送快递，计划平均每天配送600件快递，实际每天的配送量与计划量有出入，下表是该无人车2026年1月第一周的配送情况（超过计划量记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 配送情况（单位：件） 0 请问该无人车本周（7天）实际向快递超市配送多少件快递？ 【答案】无人车本周实际向快递超市配送4230件快递 【分析】本题考查了有理数的混合运算及正负数的应用，先计算第一周的实际每天的配送量和计划量的总体变化，再由第一周计划配送快递总数加上总体变化数即可得到第一周实际配送快递件数． 【详解】解：由题意得： ， （件）， 即无人车本周实际向快递超市配送4230件快递． 19．我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 【答案】(1)机器人在点A向东41m处 (2)机器人共计耗电度 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘法的应用． （1）将表格中所给的有理数相加，即可解答； （2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题． 【详解】（1）解：， 答：机器人在点A向东处； （2）解：， （度）． 答：机器人共计耗电度． 20．我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子：________； (2)补全定义内容：_______；（用含、的代数式表示） (3)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 解：不成立，理由如下， ∵，， 当时，，与题目中矛盾， ∴当时，不成立． 【分析】（1）根据材料提示，正数、负数都已经有计算方法，用零表示其计算过程即可求解； （2）根据材料提示，有理数的混合运算法则即可求解； （3）根据计算法则进行有理数的运算即可求证． 【详解】（1）解：根据题意可得，，或， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据材料提示可得，， 故答案为：． （3）略 【点睛】本题主要考查有理数运算的规律题，理解题目定义新运算的运算法则，掌握有理数的运算方法是解题的关键． 21．阅读下列材料，解决问题． 双十一怎样发货更经济？ 素材1 双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 箱数 2 4 4 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 素材2 某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元． 素材3 据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高．一个包裹在20千克以内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率估计为5%，破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱砂糖桔的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄．请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2，邮寄10箱砂糖桔哪种方案利润更高？ 【答案】任务1：100.6千克；任务2：方案二，34元；任务3：方案一 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列式是解题的关键． 任务1：根据表格中的数据以及正负数的应用列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求得邮费，然后再比较即可解答； 任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，再比较、判断即可解答． 【详解】解：（1）任务1：由已知得，这10箱砂糖桔的总质量： （千克）， 答：这10箱砂糖桔的总质量为100.6千克． （2）任务2：由表格可得， （千克），（千克），（千克）， 10箱砂糖桔中质量为10.3千克的有2箱，质量为10.1千克的有4箱，质量为9.9千克的有4箱， 方案一：邮费： （元）， 方案二：这10箱砂糖桔的总质量为100.6千克， 邮费：（元）， （元）， 答：选方案二邮寄，小康家支付的邮费更省，省34元． （3）任务3：今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克， 方案一：邮寄10箱砂糖桔的利润为： （元）， 方案二：邮寄10箱砂糖桔的利润为： （元）， 答：方案一利润更高． 1 学科网（北京）股份有限公司 $