奥数思维专题-幻方·三阶幻方初步（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

人教版四年级 奥数思维专题·幻方·三阶幻方初步 （教师版·含答案与详解） 例题精讲 + 分层练习【基础】【提高】【拔高】 + 详细解析 · 答案统一附于卷末 目 录 本专题为人教版四年级奥数思维训练：先读“例题精讲”掌握方法，再按【基础】【提高】【拔高】三档循序练习。教师/家长对照卷末“详细解析”批改讲评。 一、例题精讲（含完整解题步骤与方法点拨） ……………… 3题 二、分层练习 · 【基础】题 ……………… 4题 　　　　　　　 · 【提高】题 ……………… 5题 　　　　　　　 · 【拔高】题 ……………… 5题 三、易错辨析（错解剖析与对照，避坑清单） ……………… 3题 四、详细解析（每题解题思路与列式，统一附于卷末） ……………… 14题 学习目标（本专题具体考点） 1. 认识三阶幻方：在3×3的方格里填数，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等，这个相等的和叫“幻和”。正中间的格叫中心格，格里的数叫中心数；四个角上的格叫角格，四条边正中间的格叫边格。（三阶幻方也叫九宫格。） 2. 掌握幻和的算法：三行合起来正好是全部九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝九个数的总和÷3。 3. 掌握中心数的算法与道理：中间一行、中间一列、两条对角线一共4条线都经过中心格，这4条线的和＝4×幻和；这4条线把九个数各算了1遍，中心数又多算了3遍，所以 4×幻和＝九个数的总和＋3×中心数，由此得到 中心数＝幻和÷3。 4. 会用幻和求一条线上缺的数：缺数＝幻和－这条线上另外两个数；也会由中心数求幻和（幻和＝3×中心数）、由幻和求中心数（中心数＝幻和÷3），再求角格上的数。 一、例题精讲 下面每道例题都给出完整的解题步骤与方法点拨，先学方法，再做后面的练习。 【例1】把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数填进下面的三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。幻和是多少？中心数是多少？请把方格填完整。 □　□　□ □　□　□ □　□　□ 方法点拨：先求幻和，再求中心数，最后动手填。 九个数的总和＝1＋2＋…＋9＝45；三行合起来就是这九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝45÷3＝15。 求中心数：中间一行、中间一列、两条对角线一共4条线都经过中心格，这4条线的和＝4×15＝60；这4条线把九个数各算了1遍（45），中心数又多算了3遍，所以 3×中心数＝60－45＝15，中心数＝15÷3＝5。 动手填：中心格填5；剩下的数一大一小配成4对（1和9、2和8、3和7、4和6），每一对分别放在中心格的两边。一种填法是： ４　９　２ ３　５　７ ８　１　６ 检验：每行 4＋9＋2＝15、3＋5＋7＝15、8＋1＋6＝15；每列 4＋3＋8＝15、9＋5＋1＝15、2＋7＋6＝15；两条对角线 4＋5＋6＝15、2＋5＋8＝15，全部等于15。 答：幻和是15，中心数是5；一种填法是第一行 4、9、2，第二行 3、5、7，第三行 8、1、6。 【易错点提示】先算幻和（九数总和÷3），再算中心数（幻和÷3），最后填数；填好后要按行、列、对角线各验一遍。 【例2】把 2、4、6、8、10、12、14、16、18 这九个数填进下面的三阶幻方。幻和是多少？中心数是多少？ □　□　□ □　□　□ □　□　□ 方法点拨：同样先求九个数的总和，再除以3得幻和。 九个数的总和＝2＋4＋…＋18＝90；幻和＝90÷3＝30。 中心数＝幻和÷3＝30÷3＝10。（道理见例1：4条经过中心格的线，4×30＝120，比九数总和90多出 120－90＝30，正好是3个中心数。） 答：幻和是30，中心数是10。 【易错点提示】只要这九个数能排成三阶幻方，不管是不是1~9，都用“九个数的总和÷3”求幻和；等差排列的九个数一定排得成，所以本专题的题都能这样算。 【例3】下面是一个三阶幻方的一部分，它的幻和是27。最上面一行已经填了7和17，求？处的数。 　７　１７　　？ 　□　　□　　□ 　□　　□　　□ 方法点拨：最上面一行三个数的和就是幻和27，用幻和减去已知的两个数。 ？处的数＝27－7－17＝3。 答：？处的数是3。 【易错点提示】求一条线上缺的数要用减法：幻和－另外两个数；把已知的两个数相加是错的。 二、分层练习 说明：题目按【基础】【提高】【拔高】三档标注，建议先做基础题打牢方法，再逐档挑战。 【基础】题（共4题） 1.【基础】把 2、3、4、5、6、7、8、9、10 这九个数填进下面的三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。幻和是多少？中心数是多少？ □　□　□ □　□　□ □　□　□ 2.【基础】用 3、4、5、6、7、8、9、10、11 这九个数做一个三阶幻方（每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等）。求它的幻和与中心数，再试着把下面的方格填完整。 □　□　□ □　□　□ □　□　□ 3.【基础】把 1、4、7、10、13、16、19、22、25 这九个数填进下面的三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。幻和是多少？中心数是多少？ □　□　□ □　□　□ □　□　□ 4.【基础】用 5、10、15、20、25、30、35、40、45 这九个数做一个三阶幻方（每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等）。求它的幻和与中心数，再试着把下面的方格填完整。 □　□　□ □　□　□ □　□　□ 【提高】题（共5题） 5.【提高】把 4、7、10、13、16、19、22、25、28 这九个数填进下面的三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。幻和是多少？中心数是多少？ □　□　□ □　□　□ □　□　□ 6.【提高】用 2、7、12、17、22、27、32、37、42 这九个数做一个三阶幻方（每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等）。求它的幻和与中心数，再试着把下面的方格填完整。 □　□　□ □　□　□ □　□　□ 7.【提高】下面这个三阶幻方的幻和是42，最下面一行上已经填好了两个数。求？处的数。 　□　　□　　□ 　□　　□　　□ ２３　　２　　？ 8.【提高】一个三阶幻方每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都是45，它的最左边一列已经填了两个数（见下图）。求？处的数。 １３　　□　　□ 　？　　□　　□ ２１　　□　　□ 9.【提高】下面这个三阶幻方的幻和是90，最右边一列上已经填好了两个数。求？处的数。 　□　　□　　？ 　□　　□　４０ 　□　　□　３５ 【拔高】题（共5题） 10.【拔高】用 3、5、7、9、11、13、15、17、19 这九个数做一个三阶幻方，最上面一行上已经填好的两个数如下图（题目没有直接告诉你幻和）。求？处的数。 ９　？　５ □　□　□ □　□　□ 11.【拔高】用 6、10、14、18、22、26、30、34、38 这九个数做一个三阶幻方，最下面一行上已经填好的两个数如下图（题目没有直接告诉你幻和）。求？处的数。 　□　　□　　□ 　□　　□　　□ 　？　　６　２６ 12.【拔高】下图是一个三阶幻方的一部分：中心数是12，从左上到右下的对角线上有一个角格填的是10。求这条对角线上另一个角格（？处）的数。 １０　　□　　□ 　□　１２　　□ 　□　　□　　？ 13.【拔高】一个三阶幻方的幻和是54，从右上到左下的对角线上有一个角格填的是6（中心格还空着，见下图）。求这条对角线上另一个角格（？处）的数。 □　□　６ □　□　□ ？　□　□ 14.【拔高】用 5、8、11、14、17、20、23、26、29 这九个数做一个三阶幻方，从左上到右下的对角线上有一个角格填的是14（幻和与中心数题目都没有告诉你，见下图）。求这条对角线上另一个角格（？处）的数。 １４　　□　　□ 　□　　□　　□ 　□　　□　　？ 三、易错辨析（本专题最常见的错解与避坑对照） 说明：下面列出本专题最容易踩的坑，先看【错解】再看【正解】，重点体会“错在哪一步、为什么错”，做题时对照自查。 易错一：（错误示例）求幻和时用总和除以格子数 × 错解：九个数的总和是45，却除以9（格子数）得5，把5当成幻和。 √ 正解：三行合起来＝3个幻和，幻和＝45÷3＝15；5是中心数，不是幻和。 点拨：幻和是“一条线上三个数的和”，三行拼成九个数的总和，所以要除以3（行数），不是除以9。 易错二：（错误示例）把中心数与幻和混为一谈 × 错解：算出幻和是15，就说中心数也是15。 √ 正解：中心数＝幻和÷3＝15÷3＝5。若中心数真是15，光中心格一格就用掉了整条线的和。 点拨：幻和是三个数的和，中心数只是其中一个数；4条经过中心格的线给出 4×幻和＝九数总和＋3×中心数，所以中心数＝幻和÷3。 易错三：（错误示例）求一条线上缺的数时把两个已知数相加 × 错解：幻和是18，这一列已经填了8和7，就填 8＋7＝15。 √ 正解：缺数＝幻和－另外两个数＝18－8－7＝3。 点拨：按错解填15，这一列就成了 8＋7＋15＝30，不等于幻和18，一验就知道错了；三个数的和是幻和，求缺数只能用减法。 四、详细解析 （每题给出解题思路与列式，答案统一附于此处） 【基础】题 1.【基础】把 2、3、4、5、6、7、8、9、10 这九个数填进下面的三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。幻和是多少？中心数是多少？ □　□　□ □　□　□ □　□　□ 九个数的总和＝2＋3＋…＋10＝54。 三行合起来就是这九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝54÷3＝18。 中心数＝幻和÷3＝18÷3＝6。（4条经过中心格的线：4×18＝72，比九个数的总和多出 72－54＝18，正好是3个中心数。） 一种填法（每一行、每一列、每条对角线的和都是18）： 　５　１０　　３ 　４　　６　　８ 　９　　２　　７ 答：幻和是18，中心数是6。 2.【基础】用 3、4、5、6、7、8、9、10、11 这九个数做一个三阶幻方（每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等）。求它的幻和与中心数，再试着把下面的方格填完整。 □　□　□ □　□　□ □　□　□ 九个数的总和＝3＋4＋…＋11＝63。 三行合起来就是这九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝63÷3＝21。 中心数＝幻和÷3＝21÷3＝7。（4条经过中心格的线：4×21＝84，比九个数的总和多出 84－63＝21，正好是3个中心数。） 一种填法（每一行、每一列、每条对角线的和都是21）： 　６　１１　　４ 　５　　７　　９ １０　　３　　８ 答：幻和是21，中心数是7。 3.【基础】把 1、4、7、10、13、16、19、22、25 这九个数填进下面的三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。幻和是多少？中心数是多少？ □　□　□ □　□　□ □　□　□ 九个数的总和＝1＋4＋…＋25＝117。 三行合起来就是这九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝117÷3＝39。 中心数＝幻和÷3＝39÷3＝13。（4条经过中心格的线：4×39＝156，比九个数的总和多出 156－117＝39，正好是3个中心数。） 一种填法（每一行、每一列、每条对角线的和都是39）： １０　２５　　４ 　７　１３　１９ ２２　　１　１６ 答：幻和是39，中心数是13。 4.【基础】用 5、10、15、20、25、30、35、40、45 这九个数做一个三阶幻方（每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等）。求它的幻和与中心数，再试着把下面的方格填完整。 □　□　□ □　□　□ □　□　□ 九个数的总和＝5＋10＋…＋45＝225。 三行合起来就是这九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝225÷3＝75。 中心数＝幻和÷3＝75÷3＝25。（4条经过中心格的线：4×75＝300，比九个数的总和多出 300－225＝75，正好是3个中心数。） 一种填法（每一行、每一列、每条对角线的和都是75）： ２０　４５　１０ １５　２５　３５ ４０　　５　３０ 答：幻和是75，中心数是25。 【提高】题 5.【提高】把 4、7、10、13、16、19、22、25、28 这九个数填进下面的三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。幻和是多少？中心数是多少？ □　□　□ □　□　□ □　□　□ 九个数的总和＝4＋7＋…＋28＝144。 三行合起来就是这九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝144÷3＝48。 中心数＝幻和÷3＝48÷3＝16。（4条经过中心格的线：4×48＝192，比九个数的总和多出 192－144＝48，正好是3个中心数。） 一种填法（每一行、每一列、每条对角线的和都是48）： １３　２８　　７ １０　１６　２２ ２５　　４　１９ 答：幻和是48，中心数是16。 6.【提高】用 2、7、12、17、22、27、32、37、42 这九个数做一个三阶幻方（每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等）。求它的幻和与中心数，再试着把下面的方格填完整。 □　□　□ □　□　□ □　□　□ 九个数的总和＝2＋7＋…＋42＝198。 三行合起来就是这九个数，也就是3个幻和，所以 幻和＝198÷3＝66。 中心数＝幻和÷3＝66÷3＝22。（4条经过中心格的线：4×66＝264，比九个数的总和多出 264－198＝66，正好是3个中心数。） 一种填法（每一行、每一列、每条对角线的和都是66）： １７　４２　　７ １２　２２　３２ ３７　　２　２７ 答：幻和是66，中心数是22。 7.【提高】下面这个三阶幻方的幻和是42，最下面一行上已经填好了两个数。求？处的数。 　□　　□　　□ 　□　　□　　□ ２３　　２　　？ 最下面一行上三个数的和就是幻和42。 ？处的数＝幻和－另外两个数＝42－23－2＝17。 答：？处的数是17。 8.【提高】一个三阶幻方每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都是45，它的最左边一列已经填了两个数（见下图）。求？处的数。 １３　　□　　□ 　？　　□　　□ ２１　　□　　□ 最左边一列上三个数的和就是幻和45。 ？处的数＝幻和－另外两个数＝45－13－21＝11。 答：？处的数是11。 9.【提高】下面这个三阶幻方的幻和是90，最右边一列上已经填好了两个数。求？处的数。 　□　　□　　？ 　□　　□　４０ 　□　　□　３５ 最右边一列上三个数的和就是幻和90。 ？处的数＝幻和－另外两个数＝90－40－35＝15。 答：？处的数是15。 【拔高】题 10.【拔高】用 3、5、7、9、11、13、15、17、19 这九个数做一个三阶幻方，最上面一行上已经填好的两个数如下图（题目没有直接告诉你幻和）。求？处的数。 ９　？　５ □　□　□ □　□　□ 第一步，先求幻和：九个数的总和＝99，幻和＝99÷3＝33。 第二步，最上面一行上三个数的和就是幻和：？处的数＝33－9－5＝19。 答：？处的数是19。 11.【拔高】用 6、10、14、18、22、26、30、34、38 这九个数做一个三阶幻方，最下面一行上已经填好的两个数如下图（题目没有直接告诉你幻和）。求？处的数。 　□　　□　　□ 　□　　□　　□ 　？　　６　２６ 第一步，先求幻和：九个数的总和＝198，幻和＝198÷3＝66。 第二步，最下面一行上三个数的和就是幻和：？处的数＝66－6－26＝34。 答：？处的数是34。 12.【拔高】下图是一个三阶幻方的一部分：中心数是12，从左上到右下的对角线上有一个角格填的是10。求这条对角线上另一个角格（？处）的数。 １０　　□　　□ 　□　１２　　□ 　□　　□　　？ 第一步，由中心数求幻和：中心数＝幻和÷3，反过来 幻和＝3×中心数＝3×12＝36。 第二步，从左上到右下的对角线上三个数（两个角格和中心格）的和就是幻和：？处的数＝36－12－10＝14。 答：？处的数是14。 13.【拔高】一个三阶幻方的幻和是54，从右上到左下的对角线上有一个角格填的是6（中心格还空着，见下图）。求这条对角线上另一个角格（？处）的数。 □　□　６ □　□　□ ？　□　□ 第一步，由幻和求中心数：中心数＝幻和÷3＝54÷3＝18。 第二步，从右上到左下的对角线经过中心格，这条线上三个数的和是幻和：？处的数＝54－18－6＝30。 答：？处的数是30。 14.【拔高】用 5、8、11、14、17、20、23、26、29 这九个数做一个三阶幻方，从左上到右下的对角线上有一个角格填的是14（幻和与中心数题目都没有告诉你，见下图）。求这条对角线上另一个角格（？处）的数。 １４　　□　　□ 　□　　□　　□ 　□　　□　　？ 第一步，求幻和：九个数的总和＝153，幻和＝153÷3＝51。 第二步，求中心数：中心数＝幻和÷3＝51÷3＝17。 第三步，从左上到右下的对角线上三个数的和是幻和：？处的数＝51－17－14＝20。 答：？处的数是20。 学科网（北京）股份有限公司 $