专题 9：鸡兔同笼（数学广角）（思维拓展）人教版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 9：鸡兔同笼（数学广角） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：鸡兔同笼基本模型 3 考点二：得失倒扣型变式 4 考点三：分组配对型变式 5 考点四：多量转化型变式 6 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：假设法数量对应错误 8 易错点 2：倒扣问题单差算小 8 易错点 3：分组法组数算错 8 易错点 4：多量问题一步计算 8 易错点 5：单位不统一 8 第四部分 分层进阶专题精练 9 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 9 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 9 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 11 一、能力进阶篇解析 11 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版四年级上册数学广角《鸡兔同笼》核心内容，以 “模型建构→方法掌握→变式迁移→综合推理” 为主线，系统覆盖鸡兔同笼基本模型、得失倒扣型变式、分组配对型变式、多量转化型变式四大核心模块，渗透假设思想、转化思想、分组思想、推理思想等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从经典鸡兔同笼问题入手，掌握假设法的基本解题思路；延伸到答题得分、运输赔偿等倒扣变式；拓展到倍数分组、百僧百馍等配对题型；进阶到三种动物的多量转化问题。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，通过假设推理发展逻辑思维，为后续方程思想、复杂应用题学习奠定推理基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 鸡兔同笼基本模型 头和脚和的经典题型；假设法、抬腿法 假设推理法、抬腿减半法 假设后数量搞反；总脚差计算错误 得失倒扣型变式 答题得分、运输赔偿；对加分错扣分 得失差量法、反向验证法 倒扣只算扣分，忽略不得分的损失 分组配对型变式 数量存在倍数关系；分组计算 分组配对法、去差补等法 分组后组数算错；倍数关系对应颠倒 多量转化型变式 三种动物混合；双特征分类 分步转化法、特征合并法 同时算多个特征，混淆数量关系 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 假设推理法 基本鸡兔同笼 ①假设全是同一种；②算总差量；③单差求数量 设鸡得兔，设兔得鸡；总差除以单差 抬腿减半法 基础模型题 ①都抬两条腿；②剩腿全是兔腿；③兔数 = 剩腿 ÷2 抬腿各减二，剩腿属兔子 得失差量法 倒扣类问题 ①假设全对全好；②算总损失；③错数 = 总损 ÷ 单损 全对得总分，差量除单差 分组配对法 倍数关系题 ①按倍分一组；②算每组总量；③组数 = 总 ÷ 每组量 按倍分组，对应计算 分步转化法 三种量问题 ①先按特征分两类；②再细分第二特征；③逐步求解 先分大类，再细分类 三、数学思维提升 1. 假设思维 核心要点：先假设全部是同一种情况，再根据实际与假设的差值调整数量，培养假设推理与辩证思考能力。 专题示例：假设全是鸡，通过脚数差算出兔的数量，就是假设思维的体现。 2. 转化思维 核心要点：把答题、运输、硬币等不同场景的问题，都转化成鸡兔同笼基本模型，培养知识迁移与转化能力。 专题示例：答题得分问题转化成 “答对得 4 分、答错扣 2 分” 的脚数差模型，就是转化思维的应用。 3. 分组思维 核心要点：根据数量的倍数关系，把多个个体分成一组计算，简化问题，培养整体意识与分组优化能力。 专题示例：鸡是兔的 3 倍，按 3 鸡 1 兔分组计算，就是分组思维的典型应用。 4. 推理思维 核心要点：根据总差量与单差量的对应关系，推理未知数量，逐步推导多量问题，培养逻辑推理与分步思考能力。 专题示例：三种动物先按腿分类，再按翅膀细分，就是推理思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：鸡兔同笼基本模型 能力进阶（★★★★）—— 假设法解经典题型 题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 35 个头，从下面数，有 94 只脚。鸡和兔各有多少只？ 解题步骤： ① 假设全是鸡，总脚数为：只。 ② 实际脚数比假设多：只；每把 1 只兔看成鸡，少算只脚。 ③ 兔的只数：只；鸡的只数：只。 验证：只，与题意一致。 【答案】鸡有 23 只，兔有 12 只。 【知识点睛】本题考查假设法解经典鸡兔同笼问题，对应教材核心方法。 解题要点：假设全是鸡，先算出的是兔的数量；假设全是兔，先算出的是鸡的数量，即 “设鸡得兔，设兔得鸡”。 核心公式：兔数 =(总脚数 - 总头数 ×2)÷(4-2)；鸡数 =(总头数 ×4 - 总脚数)÷(4-2)。 易错警示：假设全是鸡，把结果直接当成鸡的数量，搞反两者的对应关系。 思维拓展（★★★★★）—— 差量型分组计算 题目：鸡兔同笼，兔比鸡多 8 只，总脚数 128 只。鸡和兔各有多少只？ 解题步骤： ① 先去掉多的 8 只兔，总脚数减少：只，剩下总脚数：只。 ② 此时鸡和兔数量相等，把 1 只鸡和 1 只兔分成一组，每组脚数：只。 ③ 组数：组，即鸡有 16 只；兔的只数：只。 验证：只，符合题意。 【答案】鸡有 16 只，兔有 24 只。 【知识点睛】本题是差量型鸡兔同笼奥数题型，考查去差补等的分组思想。 解题方法：先去掉数量多的那部分，让两种动物数量相等，再两两分组计算。 规律总结：已知数量差和总脚数，去差→补等→分组→求解。 易错警示：去掉多的兔时，总脚数不对应减少；或者每组脚数算成 4 只。 考点二：得失倒扣型变式 能力进阶（★★★★）—— 答题得分问题 题目：数学竞赛共 20 道题，答对一题得 5 分，答错一题扣 1 分。小明最终得了 76 分，他答对了几道题？ 解题步骤： ① 假设全答对，总得分：分。 ② 实际比满分少得：分；答错 1 题不仅不得 5 分，还扣 1 分，单题损失分。 ③ 答错的题数：道；答对的题数：道。 验证：分，与得分一致。 【答案】他答对了 16 道题。 【知识点睛】本题考查倒扣型鸡兔同笼，对应教材常见变式。 解题关键：答错一题的总损失是 “答对得分 + 倒扣分数”，是双重损失，不是只扣 1 分。 核心公式：错题数 =(满分 - 实际得分)÷(答对分值 + 倒扣分值)。 易错警示：直接用分数差除以 1 分，忽略不得分的部分，导致单差算小。 思维拓展（★★★★★）—— 运输赔偿问题 题目：运输公司运 200 箱玻璃，每箱运费 15 元，损坏一箱不但不给运费，还要赔偿 85 元。运完后共得运费 2400 元。损坏了多少箱玻璃？ 解题步骤： ① 假设全完好，总运费：元。 ② 实际少得运费：元；损坏 1 箱损失运费加赔偿，共损失元。 ③ 损坏箱数：箱。 验证：元，符合题意。 【答案】损坏了 6 箱。 【知识点睛】本题是运输赔偿的拓展奥数题型，考查倒扣模型的迁移应用。 解题核心：损坏一件的总损失 = 应得运费 + 赔偿费用，用总损失除以单箱损失得损坏数量。 易错警示：只计算赔偿费，不算损失的运费，导致单差计算错误。 考点三：分组配对型变式 能力进阶（★★★★）—— 人民币硬币问题 题目：有 5 角和 1 元的硬币共 30 枚，总面值 24 元。两种硬币各有多少枚？ 解题步骤： ① 统一单位：24 元 = 240 角，1 元 = 10 角。 ② 假设全是 5 角硬币，总面值：角。 ③ 总面值差：角；每把 1 枚 1 元看成 5 角，少算角。 1 元硬币数：枚；5 角硬币数：枚。 验证：角 = 24 元，符合题意。 【答案】5 角硬币 12 枚，1 元硬币 18 枚。 【知识点睛】本题考查人民币类鸡兔同笼变式，对应教材生活应用题型。 解题方法：统一单位后用假设法，思路与基本鸡兔同笼完全一致。 易错警示：不统一单位，直接用元和角混合计算，导致结果错误。 思维拓展（★★★★★）—— 倍数型分组计算 题目：鸡兔同笼，鸡的数量是兔的 3 倍，总脚数 120 只。鸡和兔各有多少只？ 解题步骤： ① 根据倍数关系分组：3 只鸡和 1 只兔为一组，每组数量满足 3 倍关系。 ② 每组总脚数：只。 ③ 组数：组。 兔的只数：只；鸡的只数：只。 验证：只，符合题意。 【答案】鸡有 36 只，兔有 12 只。 【知识点睛】本题是倍数关系鸡兔同笼的经典奥数题型，考查分组法的应用。 解题方法：按数量倍数分组，每组内数量满足倍数关系，用总脚数 ÷ 每组脚数得到组数。 易错警示：分组时倍数关系搞反，按 1 鸡 2 兔分组，导致结果错误。 考点四：多量转化型变式 能力进阶（★★★★）—— 三种动物分步转化 题目：蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对。蜘蛛 8 条腿，蜻蜓 6 条腿 2 对翅膀，蝉 6 条腿 1 对翅膀。蜻蜓有多少只？ 解题步骤： ① 先按腿数分类：蜻蜓和蝉都是 6 条腿，合并成一类。假设全是 6 条腿，总腿数：条。 ② 总腿差：条；每只蜘蛛多条腿。 蜘蛛只数：只；蜻蜓和蝉共：只。 ③ 再按翅膀计算：假设 13 只全是蝉，总翅膀：对。 总翅膀差：对；每只蜻蜓多对翅膀。 蜻蜓只数：只。 验证：条；对，符合题意。 【答案】蜻蜓有 7 只。 【知识点睛】本题考查三种动物的鸡兔同笼，对应拓展进阶题型。 解题方法：分两步转化，先按腿数分出蜘蛛，把三种转化为两种；再按翅膀数算出蜻蜓数量。 易错警示：同时计算腿和翅膀两个特征，混淆数量关系。 思维拓展（★★★★★）—— 百僧百馍经典题型 题目：100 个和尚吃 100 个馒头，大和尚 1 人吃 3 个，小和尚 3 人吃 1 个。大小和尚各有多少人？ 解题步骤： ① 分组：1 个大和尚和 3 个小和尚为一组，每组共 4 个和尚，吃个馒头。 ② 组数：个馒头 ÷ 每组 4 个组。 ③ 大和尚人数：人；小和尚人数：人。 验证：个，符合题意。 【答案】大和尚 25 人，小和尚 75 人。 【知识点睛】本题是鸡兔同笼的经典奥数题型，考查分组配对的思想。 解题核心：把人数和馒头数对应分组，每组人数和馒头数相等，用总量 ÷ 每组量得组数。 易错警示：用假设法时算不清单差，或者分组时人数和馒头数搞反。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：假设法数量对应错误 错误示例：假设全是鸡，算出的结果直接当成鸡的数量。 正确分析：假设全是鸡，先算出的是兔的数量；设鸡得兔，设兔得鸡。 修正方法：算完后代入验证，确保脚数匹配。 易错点 2：倒扣问题单差算小 错误示例：答题答错扣 1 分，认为单题差 1 分。 正确分析：答错 1 题，不仅不得分，还要扣分，总损失是得分 + 扣分。 修正方法：倒扣题单差 = 答对分值 + 倒扣分值，是双重损失。 易错点 3：分组法组数算错 错误示例：总脚数直接除以单只脚数，不按组计算。 正确分析：分组后要用总脚数 ÷ 每组的总脚数，得到组数。 修正方法：先算每组的数量和对应总脚数，再用总量除以每组量。 易错点 4：多量问题一步计算 错误示例：三种动物同时按两个特征计算，混淆数量。 正确分析：分两步，先按一个特征分大类，再按另一个特征细分。 修正方法：先统一特征合并同类，转化成两量问题，再二次计算。 易错点 5：单位不统一 错误示例：5 角和 1 元硬币，直接用 5 和 1 计算。 正确分析：计算前先统一单位，都化成角或者都化成元。 修正方法：不同单位先统一，再进行计算。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 1. 鸡兔同笼，共 20 个头，56 只脚，鸡有（ ）只。 2. 停车场有三轮车和自行车共 25 辆，共 60 个轮子，三轮车有（ ）辆。 3. 10 元一张和 5 元一张的人民币共 15 张，共 110 元，10 元的有（ ）张。 4. 数学竞赛 15 道题，答对得 4 分，答错扣 2 分，小华得 42 分，答对（ ）道。 5. 鸡兔同笼，鸡比兔多 5 只，总脚数 70 只，兔有（ ）只。 6. 松鼠采松果，晴天每天采 20 个，雨天每天采 12 个，8 天共采 112 个，雨天有（ ）天。 7. 5 角和 1 角的邮票共 20 张，总面值 4 元，5 角邮票有（ ）张。 8. 鸡兔共 40 只，兔脚比鸡脚多 16 只，兔有（ ）只。 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 9. 鸡的数量是兔的 2 倍，总脚数 96 只，鸡和兔各多少只？ 10. 运 100 箱瓷器，每箱运费 20 元，损坏一箱赔 100 元，最终总运费 1400 元。损坏了多少箱？ 11. 三种昆虫共 20 只，翅膀 22 对，腿 128 条。蝴蝶 6 条腿 2 对翅，苍蝇 6 条腿 1 对翅，蜘蛛 8 条腿无翅。蜘蛛有多少只？ 12. 100 个工人做 100 个零件，师傅 1 人做 3 个，徒弟 3 人做 1 个。师傅有多少人？ 13. 鸡兔同笼，头共 40 个，脚共 112 只，鸡和兔各多少只？ 14. 买 4 元和 6 元的钢笔共 30 支，一共花了 148 元。4 元的钢笔有多少支？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】12 解题步骤： ① 假设全是兔，总脚数：只； ② 总差：只；鸡的只数：只。 【知识点睛】考查基本假设法。核心：设兔得鸡。易错警示：算成兔的数量。 2. 【答案】10 解题步骤： ① 假设全是自行车，总轮子：个； ② 总差：个；三轮车辆数：辆。 【知识点睛】考查车轮鸡兔同笼。核心：单轮差 1。易错警示：搞反车辆数。 3. 【答案】7 解题步骤： ① 假设全是 5 元，总钱数：元； ② 总差：元；10 元张数：张。 【知识点睛】考查人民币变式。核心：单张差 5 元。易错警示：算成 5 元的张数。 4. 【答案】12 解题步骤： ① 假设全答对，总分：分； ② 总差：分；错题数：道； ③ 答对题数：道。 【知识点睛】考查答题倒扣问题。核心：单题损失 6 分。易错警示：单差算成 2 分。 5. 【答案】10 解题步骤： ① 去掉多的 5 只鸡，总脚数：只； ② 1 鸡 1 兔一组，每组 6 只脚，组数：组，即兔 10 只。 【知识点睛】考查差量分组。核心：去差补等再分组。易错警示：不去掉多的鸡直接分组。 6. 【答案】6 解题步骤： ① 假设全是晴天，总采：个； ② 总差：个；雨天天数：天。 【知识点睛】考查晴天雨天变式。核心：每天差 8 个。易错警示：算成晴天。 7. 【答案】5 解题步骤： ① 4 元 = 40 角，假设全是 1 角，总面值：角； ② 总差：角；5 角张数：张。 【知识点睛】考查邮票面值问题。核心：单张差 4 角。易错警示：单位不统一。 8. 【答案】16 解题步骤： ① 去掉多的 16 只兔脚，对应兔：只； ② 剩下的兔脚和鸡脚相等，此时兔数量是鸡的一半，鸡 2 份兔 1 份； 总只数剩下只，兔：只； ③ 总兔数：只。 【知识点睛】考查脚差型问题。核心：脚数相等时数量比 2:1。易错警示：直接用 16÷2。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】鸡 24 只，兔 12 只 解题步骤： ① 按 2 鸡 1 兔分组，每组脚数：只； ② 组数：组；兔 12 只，鸡只。 【知识点睛】考查倍数分组。核心：按倍分组算每组脚数。易错警示：分组倍数搞反。 10. 【答案】5 箱 解题步骤： ① 假设全完好，总运费：元； ② 总损失：元；损坏箱数：箱。 【知识点睛】考查运输赔偿。核心：单箱损失 120 元。易错警示：只算赔偿不算运费。 11. 【答案】4 只 解题步骤： ① 假设全是 6 条腿，总腿数：条； ② 总差：条；蜘蛛只数：只。 【知识点睛】考查三种动物转化。核心：先按腿分大类。易错警示：用翅膀数算蜘蛛。 12. 【答案】25 人 解题步骤： ① 1 师 3 徒为一组，4 人做 4 个零件； ② 组数：组；师傅人。 【知识点睛】考查百僧百馍模型。核心：分组对应。易错警示：用假设法算错单差。 13. 【答案】鸡 24 只，兔 16 只 解题步骤： ① 假设全是鸡，总脚数：只； ② 总差：只；兔数：只；鸡数：只。 【知识点睛】考查基本假设法。核心：设鸡得兔。易错警示：数量搞反。 14. 【答案】16 支 解题步骤： ① 假设全是 6 元的，总花费：元； ② 总差：元；4 元支数：支。 【知识点睛】考查购物价格变式。核心：单支差 2 元。易错警示：算成 6 元的数量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $