26.4 第2课时 利润问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“用二次函数解决利润问题”，引导学生将现实利润问题转化为二次函数模型并求最值。通过自主预习中知识点填空与自学检测，帮助学生回顾二次函数基础，衔接实际问题转化，搭建从数学知识到应用的学习支架。 资料以“预学-探究-检测”结构化设计为特色，预学思考引导抽象数量关系，题型精讲通过例题分步骤建模，课堂检测融入五育元素（如交通安全教育情境），培养学生数学建模与抽象素养，提升用数学思维解决实际问题的能力，助力师生高效教学。

26.4 第2课时 利润问题 素养目标 1.能将现实生活中的利润问题转化成二次函数问题. 2.会利用二次函数的“最值”求利润问题中的最值. 3.通过分析销售利润问题中的数量关系,建立二次函数模型,发展数学建模与数学抽象素养. 重点 用二次函数解决利润问题. 【自主预习】 预学思考 知识点 用二次函数求解利润问题 　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 1.(1)当每件涨价x元时,售价为 元,每周少卖 件,实际卖出 件,销售额为 元,买进商品需付 元,故所得利润用x表示为 元.  (2)涨价时的利润解析式为 ,用公式法确定利润的最大值为 ,此时的x的值为 .  降价时的利润解析式为 ,利润的最大值为 ,此时的x的值为 .  2.利用二次函数解决实际生活中的利润问题,一般运用“总利润= ”或“总利润= × ”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式,再求最大利润.  自学检测 1.某商店将进价为每件80元的商品按每件100元出售,每天可售出20件,为了提升销量,决定降价促销,已知每件降价1元,每天可多售2件,设每件降价x元,每天的利润为y元,则y与x的关系式为 ( ) A.y=(20+x)(20+2x) B.y=(20-x)(20-2x) C.y=(100-x-80)(20+2x) D.y=(100-x)(20+2x) 2.某店销售一款每个进价为60元的电子产品,若按每个90元出售,每月可销售200个.经调查发现,该电子产品售价每涨价1元,其销售量就减少8个.设每个电子产品涨价x元,以下说法错误的是 ( ) A.每售出一个该产品,其利润为(30+x)元 B.每月的销售量为(200-8x)个 C.涨价越多每月的总利润越少 D.0<x<30 【合作探究】 题型精讲 题型 利润问题 例　某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(单位:千克)与销售价x(单位:元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元? 课堂检测 1.某种设备的销售利润y(单位:万元)与销售数量x(单位:万件)之间满足函数解析式y=-2x2+4x+5,则利润的 ( ) A.最大值为5万元　　　　B.最大值为7万元 C.最小值为5万元　　　　D.最小值为7万元 2.(五育融合·交通安全教育)一人一盔安全守规,一人一带平安常在!某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 ( ) A.60元　　　　B.65元 C.70元　　　　D.75元 3.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?最大营业额是多少? 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点 1.(1)(60+x)　10x　(300-10x)　(60+x)(300-10x)　40(300-10x)　(60+x)·(300-10x)-40(300-10x) (2)y=-10x2+100x+6 000　6 250　5　y=-20x2+100x+6 000　6 125　2.5 2.总销售额-总成本　每件商品所获利润　销售件数 自学检测 1.C　2.D 【合作探究】 题型精讲 题型 例 解:(1)由题意可知w=(x-20)·y=(x-20)·(-2x+80)=-2x2+120x-1 600, 故w与x之间的函数关系式为w=-2x2+120x-1 600. (2)w=-2x2+120x-1 600=-2(x-30)2+200,∵-2<0,∴当x=30时,w有最大值,w的最大值为200. 答:该产品销售价定为每千克30元时,每天的销售利润最大,最大销售利润为200元. (3)当w=150时,可得方程-2(x-30)2+200=150.解得 x1=25,x2=35. ∵35>28,∴x2=35不符合题意,应舍去. 答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元. 课堂检测 1.B　2.C 3.解:设旅行团的人数为x,营业额为y元,则y=x[800-10(x-30)]=-10x2+1 100x=-10(x-55)2+30 250,∴当旅行团的人数是55时,旅行社可以获得最大营业额.最大营业额是30 250元. 学科网（北京）股份有限公司 $