第4章数列单元复习（基础篇）-2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义（沪教版选择性必修第一册）

该高中数学数列单元复习讲义通过知识框架系统梳理等差数列、等比数列、数学归纳法等核心内容，用对比表格呈现公式适用条件，结合易错点分析构建知识网络，清晰展现概念、公式与性质的内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如等差中项计算夯实基础，综合题如递推数列证明与求和培养逻辑推理和数学建模素养，配套数学归纳法应用实例帮助学生掌握严谨论证方法，教师可据此实施精准教学，学生能自主查漏补缺提升解题能力。

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第4章数列单元复习（基础篇） 知识点一、等差数列及其通项公式 1.等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示． 2.等差数列的通项公式：利用累加公式推导，以为首项，为公差的等差数列通项公式为． 3.等差中项：在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 4.等差数列的性质 （1）等差数列的性质 ①通项公式的推广：； ②若，则； ③若是等差数列，则也是等差数列． （2）等差数列与一次函数关系 由等差数列的通项公式，可知其图象是直线上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数，是直线在轴上的截距，公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加． （3）等差数列的单调性：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列，若公差，则为常数列． 知识点二、等差数列的前n项和 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2.等差数列前n项和的性质 ①； ②； ③两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. ④数列，，，…构成等差数列． ⑤关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 若项数为，则，； 若项数为，则，，，． 3.等差数列前n项和的最值问题 ①函数特性：将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． ②邻项变号 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值． ·易错点：忽略的特殊情况：当时，，无最值（除非限定的范围），容易照搬时的最值求法． 知识点三、等比数列的概念及通项 1.等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．其数学语言表达式： (，为非零常数)． ·易错点：混淆“常数比”的严格性，误将“某几项的比为常数”当作等比数列定义，需注意必须对所有n∈N∗满足（常数），比如仅不能判定数列是等比数列． 2.等比数列的通项公式 ①等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：． ②通项公式的变形：或． 3.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列． ·易错点：混淆“等比中项”的双向性，若G是a与b的等比中项，则，但反之不成立——当时，，但a，G，b不构成等比数列；且等比中项有两个（），容易遗漏负根． 4.等比数列的性质 （1）等比数列的性质 ①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． ②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． ③若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等． 推广：． （2）等比数列与指数函数：等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的孤立点． 知识点四、等比数列的前n项和 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 2.等比数列前n项和的性质 ①等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ②若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ③若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 3.与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 4. 无穷等比数列前n项和 知识点五、数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． 2、数列的表示方法 （1）数列的表示方法：通项公式法、列表法、图象法、逆推公式法． （2）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （3）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 3、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 4、最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值． ②利用求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 知识点六、数学归纳法 1、数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个与正整数有关的命题时，可采用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从开始的正整数，命题成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2、数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 考点一、等差数列及其通项公式 1.方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差中项的定义，即可求解. 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 2.若与的等差中项为18，则实数的值为 　 　． 【答案】． 【分析】利用等差中项的性质直接求解． 【详解】解：与的等差中项为18， ， 解得实数． 故答案为：． 3.已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得到，解出即可. 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得. 故选：C． 4.已知等差数列中，公差，且，则_____． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 5.在等差数列中，若，则的通项公式为__________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】由可得公差， 故， 故答案为： 6.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 7.已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：将两边同时除以，得， 当时，， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得 ，则，① 当 时，，② －②，得，整理得， 则 ， 也符合 ，所以 ． 考点二、等差数列的前n项和 8.记为等差数列的前项和，若，，则　 　 ． 【答案】27． 【分析】结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解． 【详解】解：设等差数列的公差为，首项为， 依题意可得，，即， 又，解得，， 所以． 故答案为：27． 9.设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．25 B．28 C．29 D．32 【答案】D 【解析】设数列的公差为，则，解得，， 因此，.故选：D 10.已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故，故选D 11.已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，若，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据等差数列的前项和公式及下标和性质可求得，进而根据等差数列定义求公差． 【详解】解：，即， ，，， 又，则． 故答案为：． 12.记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式，联立组成方程组计算即可. 【详解】是等差数列，设首项为，公差为， 又，， ，即， 解得：， 故答案为：. 13.设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【详解】方法一：因为是等差数列，前项和是， 所以仍成等差数列， 由，知 ，， 所以成等差数列，所以，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则， 所以，得，解得， 所以， 故选：D. 14．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ． 【答案】/ 【详解】由可得， 又， 故， 故答案为： 15.一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 16.若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 17.是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 【答案】10 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、等差数列的单调性、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，得解. 【详解】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：10. 18.已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时， ． 【答案】9 【解析】由可得，其中为公差， 由可得， 因此， 根据等差数列的性质得： 当时，；当时，. 因此当时，取得最小值. 19．设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．或为的最大值 【答案】 【分析】结合等差数列的性质检验各选项即可求解． 【详解】解：因为数列是以为公差的等差数列，，且， 则，即，正确； 所以，正确； ，即，错误； 由，可得，，， 所以或为的最大值，正确． 故选：． 20.已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 【答案】8 【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以， 所以，数列为递增数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 21.已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ． 【答案】 【详解】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得. 所以公差d的取值范围为． 故答案为： 22.已知等差数列，是数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值，并求取最大值时的值． 【答案】（1）； （2）时， 取最大值为8． 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，进而可求； （2）由已知结合等差数列的求和公式及二次函数的性质可求． 【详解】解：（1）由题意得， 解得，， 所以； （2）， 当时， 取最大值为8． 考点三、等比数列及其通项公式 23．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项. 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 24. “ ” 是 “ 是等比数列”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】举反例可得充分性不成立，由等比中项可得必要性不成立. 【详解】若，则，但 不是等比数列，充分性不成立； 若 是等比数列，则，则，必要性不成立， 所以“ ” 是 “ 是等比数列”的既非充分又非必要条件. 故选：D 25.已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的韦达定理，根据等比数列的通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为， 则，，. 故选：B. 26.在等比数列中，， 则　 　 ． 【答案】20． 【分析】根据等比数列的性质求解即可． 【详解】解：等比数列中，， 设公比为， 可得，即，解得， 故． 故答案为：20． 27.已知等比数列的各项均为正数，若，则_________ ． 【答案】． 【分析】结合等比数列的性质即可求解． 【详解】解：等比数列的各项均为正数，， 则． 故答案为：． 28.在等比数列中，，，则公比_________ ． 【答案】． 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】解：等比数列中，若，可得或， 又，且和同号， 所以，， 所以． 故答案为：． 29.在等比数列中，，则________． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的下标和性质整理可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 30.已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 31.已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】10 【分析】由等比数列下标和性质及已知得 【详解】由等比数列的性质知，又， 则， 所以 . 故答案为：10 考点四、等比数列的前n项和 32.设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 【答案】 【分析】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，所以，， 所以是方程的两根，所以或， 所以公比或，所以或， 又，所以，所以 所以. 故答案为：. 33.已知数列的前项和为，满足，则 . 【答案】121 【分析】根据数列的前项和为与的关系，利用相减法得递推关系式，根据递推关系式求解，从而得的值. 【详解】因为， 则当时，， 相减得，即，所以， 又当时，，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 故答案为：121. 34.设无穷等比数列的公比为q．若，则_______． 【答案】 【分析】由题意可得公比q满足，，由通项公式可得关于q的方程，解方程可得． 【详解】解：由题意可得公比q满足， ∵, , 即，所以， 整理可得，解得或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式、数列极限，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 35.已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 36.已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 37.已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 38.已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项错误的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或7时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 【答案】D 【分析】A通过举反例可判断选项正误； B由题可得，据此可判断选项正误； C由题得表达式，分类讨论公比为1，不为1两种情况，可判断选项正误； D验证是否为常数可判断选项正误. 【详解】A选项，假设数列首项，公差为0，则，但不为递增数列，故A错误； B选项，设首项为，公差为，因，则. 则，，即当时，；时，；时，， 则的最大值在或7时取得，故B正确； C选项，设数列首项为，公比为，且，则. 当，则；时，；时，. 综上，时，，故C正确； D选项，，因不一定为常数，则数列不一定是等比数列，故D错误. 故选：D 39.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 考点五、数列的概念与性质 40. 下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【答案】A 【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确； 对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误； 对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误； 对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系， 数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误. 故选：A. 41.在数列中，已知，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】数列中，由，，，得，， 所以，所以， 因此数列是周期数列，周期为6，所以.故选：B 42.已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，...， 所以数列是周期为3的数列，所以.故选：A 43.已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】C 【解析】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项.故选：C 44.已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 45．已知数列的通项公式为（λ为实数），若是严格增数列，则λ的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得，在时恒成立，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，若是严格增数列，且， 则，在时恒成立， 变形可得在时恒成立，因为, 所以必有，即λ的取值范围为； 故答案为：． 46.已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值.故选：B 47.已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【详解】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 考点六、利用递推公式表示数列 48.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n+1，求an 【详解】 当时，， 当时，， 当时，不满足上式， 所以 49. 已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】由已知得出是以为首项，公比为的等比数列，写出数列的通项公式即可求解． 【详解】由，得， 又，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：A． 50．在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】由，得， ∴，，，， ，. 累加上式可得， ， . 51.已知，，求数列的通项． 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 52.已知数列满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．4 【详解】因为，所以， ， ， ， ， 所以数列的周期为3，即. 53．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 54．已知在数列中，，，则通项 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案. 【详解】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 故答案为： 55．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 56．已知数列满足，．若，则 ． 【答案】2010 【分析】通过数列的递推关系求出数列的通项公式，进而根据已知的数列值求出对应的项数. 【详解】由已知得，，所以有， 因为①， 所以②， 用②-①可得：，移项得到：， 于是有：， 上述个式子相乘得到，，所以， 由，可得. 故答案为：2010. 考点七、数列求和的常用方法 57.已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次得，，即可求解； （2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由可得， 由可得，，公差， 故. （2）由（1）得， 故 则. 58.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，通过作差法推导出数列的递推关系，进而求出通项公式； （2）先根据以及（1）的条件求出的表达式，再利用错位相减法求出其前项和. 【详解】（1）由，当时有：， 即， 因为，所以解得， 当时，由 ①， 得： ②， ①②得：， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以数列以首项为1，公差为1的等差数列， 所以，当时满足表达式， 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）知，又， 所以， 即， 所以  ③ ④ ③④得：， 即， 所以， 所以数列的前项和. 59.已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)， (2)-1011 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出公差，进而得到和； （2）先求出的表达式，再分析数列的前2022项和的规律进行计算. 【详解】（1）因为为和的等比中项，所以， 又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列，则，所以，，. （2）因为 所以数列的前2022项的和为： . 考点八、数学归纳法及其应用 60．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 61．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 62．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是 . 【答案】 【详解】用数学归纳法证明等式时, 当时，左边所得的项是; 假设时,命题成立,左端为; 则当时,左端为, 所以从“”需增添的项是. 故填:. 【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题. 63．用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【详解】当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时， ， 即当时，等式也成立， 综上可得，． 64．在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 考点九、综合提升 65.数列中，，当时，数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等差数列，并求的表达式； (2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由已知等式变形可得，推导可知，对任意的，，在将所得等式变形，结合等差数列的定义可证得结论成立，结合等差数列的通项公式可求得的表达式； （2）推导可知，数列单调递增，由此可得出，解出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：当时，数列的前项和为，满足， 即， 整理可得， 因为，则，即，可得， 由，即，可得，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边同时除以可得， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为， 所以，，因此，. （2）解：，对任意的，， 即，所以，数列单调递增， 不等式对所有的恒成立，则，即， 又因为，所以，，即，解得， 因此，满足条件的正整数的最大值为. 66.已知数列的前n项和为且． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若，求正整数k的所有取值． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)可取1，2，3 【分析】（1）由已知可得，可得是以为首项，为公差的等差数列，进而可求通项公式； （2）利用错位相减法即可得出； （3）由已知结合（1）（2）得出，构造函数，根据函数的单调性以及函数值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以 ； （3）由（1）（2）可知，， 由，.由可得，所以 整理可得，令， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增. 又，， ，， 所以，当时，有，即在时不成立. 所以可取1，2，3. 67.已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 68.设数列的前项和为．已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出其通项公式； (2)设，又对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可取值． 【答案】(1)证明见解析；； (2)； (3). 【分析】（1）根据与的关系，即可得到数列的通项公式； （2）根据（1）中结论，即可得到数列的通项公式，由其单调递增，即可得到结果； （3）根据条件可得是公差为的等差数列，从而去掉绝对值符号，列出不等式，解出即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减，得，即， 又，所以数列为首项为1，公差为6的等差数列， 所以； （2），显然单调递增， 且，则，所以，即 所以； （3）因为，所以是公差为的等差数列， 所以当时，，当时，， 所以 ， 因为， 所以，解得， 又为正整数且，所以， 所以的所有可取值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第4章数列单元复习（基础篇） 知识点一、等差数列及其通项公式 1.等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示． 2.等差数列的通项公式：利用累加公式推导，以为首项，为公差的等差数列通项公式为． 3.等差中项：在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 4.等差数列的性质 （1）等差数列的性质 ①通项公式的推广：； ②若，则； ③若是等差数列，则也是等差数列． （2）等差数列与一次函数关系 由等差数列的通项公式，可知其图象是直线上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数，是直线在轴上的截距，公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加． （3）等差数列的单调性：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列，若公差，则为常数列． 知识点二、等差数列的前n项和 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2.等差数列前n项和的性质 ①； ②； ③两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. ④数列，，，…构成等差数列． ⑤关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 若项数为，则，； 若项数为，则，，，． 3.等差数列前n项和的最值问题 ①函数特性：将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． ②邻项变号 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值． ·易错点：忽略的特殊情况：当时，，无最值（除非限定的范围），容易照搬时的最值求法． 知识点三、等比数列的概念及通项 1.等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．其数学语言表达式： (，为非零常数)． ·易错点：混淆“常数比”的严格性，误将“某几项的比为常数”当作等比数列定义，需注意必须对所有n∈N∗满足（常数），比如仅不能判定数列是等比数列． 2.等比数列的通项公式 ①等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：． ②通项公式的变形：或． 3.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列． ·易错点：混淆“等比中项”的双向性，若G是a与b的等比中项，则，但反之不成立——当时，，但a，G，b不构成等比数列；且等比中项有两个（），容易遗漏负根． 4.等比数列的性质 （1）等比数列的性质 ①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． ②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． ③若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等． 推广：． （2）等比数列与指数函数：等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的孤立点． 知识点四、等比数列的前n项和 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 2.等比数列前n项和的性质 ①等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ②若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ③若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 3.与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 4. 无穷等比数列前n项和 知识点五、数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． 2、数列的表示方法 （1）数列的表示方法：通项公式法、列表法、图象法、逆推公式法． （2）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （3）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 3、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 4、最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值． ②利用求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 知识点六、数学归纳法 1、数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个与正整数有关的命题时，可采用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从开始的正整数，命题成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2、数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 考点一、等差数列及其通项公式 1.方程的两根的等差中项为 . 2.若与的等差中项为18，则实数的值为 　 　． 3.已知等差数列满足，则______ 4.已知等差数列中，公差，且，则_____． 5.在等差数列中，若，则的通项公式为__________. 6.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 考点二、等差数列的前n项和 8.记为等差数列的前项和，若，，则　 　 ． 9.设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．25 B．28 C．29 D．32 10.已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 11.已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，若，，则　 　． 12.记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 13.设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 14．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ． 15.一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 16.若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 17.是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 18.已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时， ． 19．设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是（　　） A．B．C． D．或为的最大值 20.已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 21.已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ． 22.已知等差数列，是数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值，并求取最大值时的值． 考点三、等比数列及其通项公式 23．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 24. “ ” 是 “ 是等比数列”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 25.已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 26.在等比数列中，， 则　 　 ． 27.已知等比数列的各项均为正数，若，则_________ ． 28.在等比数列中，，，则公比_________ ． 29.在等比数列中，，则________． 30.已知为等比数列，，，则 . 31.已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 考点四、等比数列的前n项和 32.设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 33.已知数列的前项和为，满足，则 . 34.设无穷等比数列的公比为q．若，则_______． 35.已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 36.已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 37.已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 38.已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项错误的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或7时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 39.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 考点五、数列的概念与性质 40. 下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 41.在数列中，已知，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 42.已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．5 43.已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 44.已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 45．已知数列的通项公式为（λ为实数），若是严格增数列，则λ的取值范围为_____． 46.已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 47.已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 考点六、利用递推公式表示数列 48.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n+1，求an 49. 已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 50．在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 51.已知，，求数列的通项． 52.已知数列满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．4 53．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 54．已知在数列中，，，则通项 ． 55．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 56．已知数列满足，．若，则 ． 考点七、数列求和的常用方法 57.已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 58.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 59.已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 考点八、数学归纳法及其应用 60．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 61．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 62．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是 . 63．用数学归纳法证明（为正整数）． 64．在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 考点九、综合提升 65.数列中，，当时，数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等差数列，并求的表达式； (2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值． 66.已知数列的前n项和为且． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若，求正整数k的所有取值． 67.已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 68.设数列的前项和为．已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出其通项公式； (2)设，又对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可取值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $