第四章 数列 知识归纳与题型突破（十类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第四章 数列 知识归纳与题型突破（十类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、数列的概念与表示 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3．数列的分类 分类标准 名称 含义/性质 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔an<an＋1 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔an>an＋1 常数列 各项都相等的数列⇔an＝an＋1 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 温馨提示： 1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． Ⅱ、等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝. ②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. (7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝. Ⅲ、等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. Ⅳ、数学归纳法 一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立. 概念方法微思考 1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示　不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示　不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可. 3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？ 提示　不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理. 03 题型归纳 题型一　数列的概念与分类 例题 1．1．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 巩固训练 2．给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；摆动数列为 ；常数列为 ．(填序号) 3．数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 4．数列的通项公式是（，），这个数列从第 项起各项均为正数． 题型二 求数列的通项公式 例题 5．已知数列满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列的通项公式：= ． 巩固训练 6．若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 7．在数列中，，且，则 ． 8．若数列满足，，则 ． 9．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . ． 题型三　数列的增减性 例题 10．设数列满足.若数列是正项递增数列，则的取值范围是 . 巩固训练 11．已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 12．已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 13．在分形艺术中会有下面的操作：将一长度为1的线段均分为三段，去掉中间一段，记为第1次操作：将剩下的线段分别又均分为三段，并各自去掉中间一段，记为第2次操作；……，每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的线段分别均分为三段，同样各自去掉中间的一段；操作过程不断进行下去．设第次操作去掉的线段总长为，若，则数列中取值最大的项为第 项． 题型四　定义法解等差数列及求和 例题 14．已知数列为等差数列，，，则 . 巩固训练 15．公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则 ． 16．已知是等差数列的前项和，且，，则 . 17．记为等差数列的前项和.若，则 . 题型五 等差数列的性质、等差数列前n项和综合 例题 18．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则 . 巩固训练 19．已知等差数列的前项和为，则 . 20．若等差数列满足，，则当 时，的前项和最小. 21．等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 22．在等差数列中，，则 ． 23．已知正项等差数列满足，则 . 24．已知等差数列满足（，），则 ． 25．已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 26．已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，，则， B．若为等差数列，且，，则， C．若为等比数列，且，则 D．若为等比数列，且，则 题型六 定义法解等比数列及求和 例题 27．在等比数列中，，，则 . 巩固训练 28．若数列的通项公式是，且等比数列满足，则 . 29．设是无穷数列，记，则“是等比数列”是“是等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（   ） A．3 B．18 C．54 D．152 31．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 题型七 等比数列的性质、等比数列前n项和综合 例题 32．已知是1与9的等比中项，则正实数 ． 巩固训练 33．在等比数列中，，，则 ． 34．在等比数列中，，，则 ． 35．设是等比数列的前项和，若，，则= . 36．若等比数列满足，则等于 ． 37．已知等比数列的公比为，，则 . 38．已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 39．等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则 ． 40．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 41．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 42．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 题型八 数学归纳法 例题 43．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 44．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 45．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 题型九 数列的实践应用 例题 46．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生.碳14原子经过衰变转变为氨原子.由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为 万年.（四舍五入到0.1万年） 巩固训练 47．《张丘建算经》卷上第题中 “女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布尺，天共织布尺，则该女子织布每天增加 尺. 48．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——他的宰相西萨·班·达依尔．国王问他想要什么，宰相对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第个小格里，赏给我粒麦子，在第个小格里给粒，第小格给粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．《江苏农业科学》年第期中记载，我国优质大米千粒重约克．按照我国优质大米的重量估算，舍罕王应该给西萨·班·达依尔约 亿吨麦粒．（结果保留位小数） 49．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 50．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ） A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长 题型十 解答题 例题 51．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 巩固训练 52．已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 53．某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 54．若数列的前项和满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有. 55．设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 56．已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）； (2)设.若首项为1，公比为q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列 知识归纳与题型突破（十类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、数列的概念与表示 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3．数列的分类 分类标准 名称 含义/性质 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔an<an＋1 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔an>an＋1 常数列 各项都相等的数列⇔an＝an＋1 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 温馨提示： 1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． Ⅱ、等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝. ②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. (7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝. Ⅲ、等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. Ⅳ、数学归纳法 一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立. 概念方法微思考 1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示　不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示　不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可. 3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？ 提示　不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理. 03 题型归纳 题型一　数列的概念与分类 例题 1．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【分析】由数列的定义及数列的分类可得结论. 【解析】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 巩固训练 2．给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；摆动数列为 ；常数列为 ．(填序号) 【答案】 ②④ ①③ ② ④ ① ③ 【分析】根据数列的知识确定正确结论. 【解析】有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③. 故答案为：②④；①③；②；④；①；③ 3．数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 【答案】12 【分析】结合题意找到数列的规律求解出通项公式从而求数列的第几项. 【解析】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 4．数列的通项公式是（，），这个数列从第 项起各项均为正数． 【答案】7 【分析】令，得到，求得，即可得到答案． 【解析】由题意，数列的通项公式是， 令，即，解得或， 因为，所以且， 所以这个数列从第7项起各项均为正数． 故答案为：. 题型二 求数列的通项公式 例题 5．已知数列满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列的通项公式：= ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先寻找满足条件②的常见数列，再验证是否满足条件①③． 【解析】符合条件的数列有：，，，…． 故答案为：(答案不唯一). 巩固训练 6．若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用和的关系式求解即可. 【解析】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：. 故答案为：. 7．在数列中，，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【解析】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：8 8．若数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【解析】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 9．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【分析】整理可得，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，即可得的通项公式，再利用分组求和结合等差、等比数列求和公式求解. 【解析】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 题型三　数列的增减性 例题 10．设数列满足.若数列是正项递增数列，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先通过特例得到，再证明此时 【解析】若数列是正项递增数列，为递增数列，故可得的范围. 则对于任意，且， 又，所以，即，可得或（舍去）. 故的取值范围是. 当时，下证， 当，已有成立， 设当时，成立，则当时，有， 由数学归纳法可知：成立. 故， 故当时，有为递增数列， 故答案为：. 巩固训练 11．已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据递增数列的定义可得，，且，结合题意解得，即，求出的最小值即可求解. 【解析】在上是递增数列，所以，，且， 即， 所以，即， 又， 所以. 故答案为：. 12．已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 【答案】 【分析】结合以及列出不等式,由此求得的取值范围. 【解析】由于数列是递增数列,所以, 即,解得. 则. 由于,即,即, 即, 所以,解得或. 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 13．在分形艺术中会有下面的操作：将一长度为1的线段均分为三段，去掉中间一段，记为第1次操作：将剩下的线段分别又均分为三段，并各自去掉中间一段，记为第2次操作；……，每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的线段分别均分为三段，同样各自去掉中间的一段；操作过程不断进行下去．设第次操作去掉的线段总长为，若，则数列中取值最大的项为第 项． 【答案】5 【分析】由题意结合等比数列通项公式可得，，根据数列单调性分析最值即可. 【解析】由题意可得：， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，可得， 因为， 令，解得， 当时，；当时，； 可得， 所以数列中取值最大的项为第5项． 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知，即可得. 题型四　定义法解等差数列及求和 例题 14．已知数列为等差数列，，，则 . 【答案】11 【分析】根据等差数列的公式求解公差，即可得的值. 【解析】设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：11. 巩固训练 15．公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据通项公式化简已知，结合求和公式整体代入可得. 【解析】由题知，，整理得， 所以. 故答案为： 16．已知是等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】145 【分析】由等差数列性质及前项和公式即可求解. 【解析】由，及，， 可得：，， 所以即， 所以， 所以， 故答案为：145 17．记为等差数列的前项和.若，则 . 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质可得，即可根据等差求和公式，代入化简即可求解. 【解析】设等差数列的公差为，则由可得，， 故答案为:4. 题型五 等差数列的性质、等差数列前n项和综合 例题 18．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则 . 【答案】28 【分析】根据给定条件，列式求出等比数列的公比，再利用等比数列前n项和公式计算即得. 【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，得， 即，由，得， 于是，即，而，解得， 所以. 故答案为：28 巩固训练 19．已知等差数列的前项和为，则 . 【答案】16 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的求和公式进行计算即可. 【解析】因为数列为等差数列，所以. 所以. 故答案为：16 20．若等差数列满足，，则当 时，的前项和最小. 【答案】18 【分析】根据等差数列的性质得，，再根据数列和定义即可判断. 【解析】由，所以， 又，所以，所以当时，的前项和最小. 故答案为：18 21．等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可。 【解析】因为为等差数列，不妨设其公差为d，易知， 则，即是关于n的二次函数， 又，所以关于对称， 由二次函数性质知时，最小. 故答案为：7 22．在等差数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列性质运算求解即可. 【解析】因为为等差数列， 则， 所以． 故答案为：. 23．已知正项等差数列满足，则 . 【答案】1 【分析】根据等差数列下标和性质可得，即可得结果. 【解析】因为为等差数列，且， 则，即， 且，所以. 故答案为：1. 24．已知等差数列满足（，），则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，结合已知条件即可求得结果. 【解析】因为数列是等差数列，故，解得； 令， 则， 故 解得. 故答案为：. 25．已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 【答案】 【分析】根据已知比例关系结合等差数列求和公式可设，再结合求和公式及等差数列项的性质计算即可. 【解析】因为，则设， 所以； ． 故答案为：；. 26．已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，，则， B．若为等差数列，且，，则， C．若为等比数列，且，则 D．若为等比数列，且，则 【答案】D 【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质依次判断AB选项可得AB正误；根据等比数列通项公式，结合反例可知C错误；讨论等比数列公比的范围，结合等比数列求和公式可知D正确. 【解析】对于A，，， ，， 无法判断符号，符号未知，A错误； 对于B，，，， ，， ，，公差， ，，又，，B错误； 对于C，设等比数列的公比为， ，， 当时，，，C错误； 对于D，设等比数列的公比为， ，， 当时，； 若，则，，； 若，则，，； 若，则，，； 综上所述：，D正确. 故选：D 题型六 定义法解等比数列及求和 例题 27．在等比数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由等比数列的两项求公比，在通过和求出的值. 【解析】，∴，∵，∴， 故答案为： 巩固训练 28．若数列的通项公式是，且等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式列式求，即可得结果. 【解析】由题意可知：， 设等比数列的公比为， 则，解得， 所以. 故答案为：. 29．设是无穷数列，记，则“是等比数列”是“是等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别从非充分性和非必要性两方面分析. 【解析】非充分性：若的项为1，1，1，1，…，则的项为0，0，0，0，…． 此时是等比数列，但不是等比数列． 非必要性：若的项为1，1，1，1，…，则． 此时是等比数列，但是公差为1的等差数列，不是等比数列． 所以“是等比数列”是“是等比数列”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 30．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（   ） A．3 B．18 C．54 D．152 【答案】C 【分析】对方程中的进行赋值得，，进而转化为关于等比数列基本量的方程，求解即可. 【解析】由题意得，当时，，即 当时，，即 联立，解得，则． 故选：C. 31．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，求得数列的公比，再结合等比数列前项和公式，即可求得. 【解析】设等比数列的公比为，由题可知：； 又，也即，故. 故选：A. 题型七 等比数列的性质、等比数列前n项和综合 例题 32．已知是1与9的等比中项，则正实数 ． 【答案】3 【分析】根据等比中项的定义得到方程，解出即可. 【解析】由题意得，且，解得. 故答案为：3. 巩固训练 33．在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的性质可求得，又，可求. 【解析】因为，又数列是等比数列，所以，所以， 由数列是等比数列，可得，又，所以， 所以. 故答案为：. 34．在等比数列中，，，则 ． 【答案】16 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【解析】由，及 可得：，即， 又， 所以16. 故答案为：16 35．设是等比数列的前项和，若，，则= . 【答案】 【分析】由，又，，成等比数列，求出，即可求出的值. 【解析】由题意得，则， 因为，，成等比数列，故， 即，解得， 故. 故答案为：. 36．若等比数列满足，则等于 ． 【答案】 【分析】由等比数列性质得，由此能求出的值. 【解析】等比数列满足， 则， 所以. 故答案为：. 37．已知等比数列的公比为，，则 . 【答案】22 【分析】设，从而列出方程，求出答案. 【解析】设，则，， 由题意可得，即，所以. 故答案为：22 38．已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 【答案】5 【分析】由已知可得是与的等比中项，求得，然后分，再结合等差中项的概念列式求解与的值，即可求解. 【解析】因为，所以是与的等比中项，则， 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 综上所述：. 故答案为：5. 39．等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则 ． 【答案】8 【分析】根据的公比，求出的公比，利用等比数列的通项公式即可求解. 【解析】设的公比为，则的公比为， 则的公比，则． 故答案为： 40．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 【答案】16 【分析】利用等差数列的性质得，结合条件得，根据等比数列的性质得，代入可求结果. 【解析】∵为等差数列， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∴， ∴. 故答案为：16. 41．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【解析】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 42．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【答案】C 【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，，判断D即可. 【解析】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：C． 题型八 数学归纳法 例题 43．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 巩固训练 44．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可. 【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立. 故选：B 45．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 题型九 数列的实践应用 例题 46．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生.碳14原子经过衰变转变为氨原子.由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为 万年.（四舍五入到0.1万年） 【答案】 【分析】设第n个半衰期结束时，碳14含为，则可求的通项，再结合对数的运算可求化石距今的年数. 【解析】设第n个半衰期结束时，碳14含为， 由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为， 第二个半衰期结束时，碳14含量为； 以此类推，为以首项，公比为的等比数列， 所以第n个半衰期结束时，碳14含量为， 令，解得 所以这块化石距今约为年，即约为万年. 故答案为：. 巩固训练 47．《张丘建算经》卷上第题中 “女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布尺，天共织布尺，则该女子织布每天增加 尺. 【答案】 【解析】由题意可知,该女子每天织布的量成等差数列,由等差数列的前n项和公式即可求得解. 【解析】由题意可知, 该女子每天织布的量成等差数列, 设该女子每天织布增加尺. 由等差数列的前n项和公式 代入可得 解得 所以该女子织布每天增加尺 故答案为: 【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的简单应用,属于基础题. 48．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——他的宰相西萨·班·达依尔．国王问他想要什么，宰相对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第个小格里，赏给我粒麦子，在第个小格里给粒，第小格给粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．《江苏农业科学》年第期中记载，我国优质大米千粒重约克．按照我国优质大米的重量估算，舍罕王应该给西萨·班·达依尔约 亿吨麦粒．（结果保留位小数） 【答案】 【分析】利用等比数列求和公式可求得所有麦粒的总数，由此计算得到麦粒总重量，换算为亿吨即可. 【解析】记为第个格子的麦子的粒数，为前个格子的麦子粒数之和， 则是以为首项，为公比的等比数列，，； 麦粒的总重量为克，约为亿吨. 故答案为：. 49．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可. 【解析】设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码， 故选：C. 50．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ） A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长 【答案】C 【分析】先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果. 【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）； 同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）. 故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确； 春分的晷长为，， 秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确； 小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误； 立春的晷长，立秋的晷长分别为，， ，，， 故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点. 题型十 解答题 例题 51．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用通项公式表示出，，三项，再由等比中项建立方程，解得公差，写出数列的通项公式； （2）列出数列的前n项和，由二次函数的性质找到最大值时n的值 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，∴， ∴，∴. （2）由（1）得. 由二次函数的性质可得：当时，最大. 巩固训练 52．已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【解析】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 53．某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 【答案】(1)，证明过程见解析； (2)至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万，理由见解析 【分析】（1）由题意计算出，并得到，得到，从而证明出是等比数列； （2）在（1）的基础上得到，从而得到不等式，解得，得到答案. 【解析】（1），， ， 因为，所以， 又，所以是首项为3，公比为的等比数列； （2）由（1）得， 故，令，解得， 其中， 所以，所以， 故至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元. 54．若数列的前项和满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明； （2）先求出的表达式，之后进行裂项求和即可. 【解析】（1）证明：由，当时，可得； 当时，，所以， ∴时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列； ∴，∴. （2）证明：由（1）知，，∴， ∴， ∴, 因为，所以，所以即成立． 所以对任意的正整数，都有得证. 55．设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）①由等比数列的前项和公式求解即可； ②由裂项相消法可求出，再结合的单调性即可求出答案. 【解析】（1）是和2的等差中项， ①， 当时，， 当时，②， ①-②得：， ， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， . （2）① ， ②由①可得：， ， 由于单调递增， 可得， 即， 则存在常数，使对恒成立， 可得，即的最小值为. 56．已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）； (2)设.若首项为1，公比为q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列. 【答案】(1)是有界数列，是有界变差数列 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的取值特点结合定义分别判断即可； （2）分类讨论时的结果，由此可求解出的取值范围； （3）根据有界数列的定义结合绝对值的三角不等式，通过放缩法逐步证明成立，由此可完成证明. 【解析】（1），若使数列为有界数列，则需使，则为有界数列； 由知，，则， ，则即可，则数列为有界变差数列. （2）因为，则， 当时，则，显然满足题意； 当时，则，则， 若，则，对任意正整数不恒成立，舍去； 当时，则是首项为，公比为的等比数列，则， 若时，，此时取即可，符合题意； 若时，当时，与题意矛盾，舍去； 综上可得，的取值范围为. （3）因为为有界数列，则存在，使得对任意的恒成立， 因为为有界数列，则存在，使得对任意的恒成立， 且， 因为和为单调递增的有界数列， 所以， 所以， 所以， 所以取即可满足条件，则数列为有界变差数列. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解有界数列和有界变差数列的定义，通过分析题设所给不等式进行判定；另一方面是解答第三问时绝对值的三角不等式的性质以及放缩法的应用，通过分析题设不等式找到的一个值即可证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$