重难题型卷(二) 一元一次方程-【真题圈】2025-2026学年七年级上册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 七年级上5E 5.重难题型卷（二） 狗 一元一次方程 题型一 解一元一次方程 州 书即 1.(期末·清华附中)如果3(x一2)与2(3一x)互为相反数，那么 x的值是( A.0 B.1 C.2 D.3 2.(期中·北师大附中)若方程3x十6=0与关于x的方程3x= 2一2m的解相同，则m的值为( ) A.-2 B.2 C.3 D.4 3.已知a,b为实数，且关于x的方程x一ax=b的解为x=6,则 关于y的方程(y-1)一a(y一1)=b的解为y= 4.已知代数式M=(a+b+1)x3+(2a-b)x2+(a+3b)x-5是 关于x的二次多项式，若关于y的方程3(a十b)y=ky一8的 製 解是y=4,求k的值， 精品图书 金星教育 5.(期中·北京八中)小亮在解关于x的一元一次方程3.1十 2 ■=3时，发现正整数■被污染了. (1)若小亮猜■是5，则方程的解x= 会 (2)若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整 数是多少？ 些0 明删 品 题型二实际应用 类型1行程问题 6.(月考·北京四中)一艘轮船在A,B两个码头之间航行，顺水 航行需3h,逆水航行需5h.已知水流速度为4km/h,求轮船 在静水中的航行速度.设轮船在静水中的航行速度为xkm/h, 则可列方程为() A.3x+4=5x-4 B.3(x+4)=5(x-4) C.3(4+x)=5(4-x) D.3(x-4)=5(x+4) 7.(期末·昌平区)体育课上进行追逐跑训练.小李的速度为 4m/s,小张的速度为5m/s.小李先从A点出发5s到B点后， 小张再从A点出发追逐小李.求小张出发几秒后追上小李. (1)小陈同学在解题时进行画图分析如图： 小李上 小张 第7题图 其中线段AB表示的路程为 m. (2)列出相应方程，并求解此问题. 类型2工程问题 8.(月考·北京一零一中学)小王、小李和小张同时各做120个 同样的机器零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了 80个，照这样计算，小李做完时，小张还差 个没做 9.(期末·门头沟区)一项工程，甲队单独施工需要15天完成， 乙队单独施工需要9天完成.现在由甲队先施工3天，剩下的 由甲、乙两队合作，还需要几天才能完成？ 15 类型3经济问题 10.(期中·清华附中朝阳学校)一件商品按成本价提高20%标 价，然后打九折出售，此时仍可获利16元，则这件商品的成 本价为 元 11.(期末·东城区)某校七年级准备观看某电影，由各班班长负 责买票，每班人数都多于40，票价为每张30元.(1)班班长问 售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体 票有两种优惠方案可选择 方案一：全体人员可打八折； 方案二：若打九折，有5人可以免票 (1)若(2)班有41名学生，则(2)班班长该选择哪个方案？ (2)(1)班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案，要 付的钱数都是一样的.”你知道(1)班有多少人吗？ 类型4几何问题 12.传统文化（中考·北京）对联是中华优秀传统文化的瑰宝，对 联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右 空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4， 左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的0某人要装 裱一副对联，对联的长为100cm,宽为27cm.若要求装裱后 的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长 装裱后的宽 裱后的 边 长 127cml 边的宽地头 第12题图 类型5配套问题 13.(期末·平谷区)列方程解应用题： 某车间有88名工人生产甲、乙两种零件，每名工人每天平均 能生产甲种零件24个或乙种零件10个.已知2个甲种零件 和1个乙种零件配成一套，应分配多少名工人生产甲种零 件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零 件刚好配套？ 类型6古代数学问题 14.数学文化我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： 今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫、雁 俱起，问：何日相逢？其大意为：凫从南海飞到北海用7天，雁 从北海飞到南海用9天.它们从两地同时起飞，几天后相遇？ 设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是() A.7x+9x=1 B+x= 精品图 C.9x-7x=1 D一白星散6 15.(期末·房山区)列方程解应用题： 我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道 题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行 一十二日，问良马几何追及之.” 大意为：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150 里.现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追 它，问良马多少天能够追上驽马.（里：古代长度单位） 类型7阶梯收费问题 16.为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执行 方案如下表： 档级 每户每月用电量(kW·h) 执行电价[元/(kW·h)] 第一档 小于或等于200的部分 0.5 大于200且小于或等于400的 第二档 0.6 部分 第三档 大于400的部分 0.8 (1)若一户居民七月份用电420kW·h,则需缴电费多少元？ (2)若一户居民某月用电xkW·h(x大于200且小于400)， 则需缴电费多少元？（用含x的代数式表示） (3)某户居民五、六月份共用电500kW·h,缴电费262元.已 知该户居民六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电 量均小于400kW·h,问该户居民五、六月份各用电多少千 瓦时. 题型三数学归纳 17.学科融合化学（期中·北京二中分校改编）化学中把仅由碳 和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃. 如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C 和4个H,第2个结构式中有2个C和6个H,第3个结构式 中有3个C和8个H…按照此规律，第10个结构式中有 个C和 个H,第n个结构式中有 (用含n的式子表示)个H, H HH H HH HH HH H-C-H H-C-C-H H-C-C-C-H H-C- -c-c-H H HH HHH HHHH 第1个 第2个 第3个 第4个 第17题图 -16 18.(期末·石景山区)一组按规律排列的单项式为。，一兮，号， a8 ,…,依此规律，第6个单项式为 ,第n个单项 式为 19.（期中·顺义区)观察下列各式的规律：1×3=22一1,3×5= 42一1,5×7=62一1,7×9=82一1，…，请将发现的规律用含n 的式子表示为 20.如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数， 使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15.已知 第3个数为7，第5个数为m一1，第16个数为2，第78个数 为3一2m,则m的值为 ,第2025个数为 m-1 21.（期中·北京四中改编)如图所示是一组有规律的图案，它们 是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴 影，按照这样的规律，第4个图案中有 个涂有阴影 的小正方形，第n个图案中有 (用含n的代数式表 示)个涂有阴影的小正方形 第1个图案印 第2个图案 第3个图案 第21题图 22.(期末·昌平区)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6， 10,…这样的数称为“三角形数”；把1,4,9,16，…这样的数称 为“正方形数”.观察下图可以发现，任何一个大于1的“正方 形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和. ●●●● ●●/● ●●●● /● ●/●● ●●。 '●● ●●● ●●●● 4=1+3 9=3+6 16=6+10 第22题图 (1)“正方形数”25可以写成两个相邻的“三角形数” 与 之和 (2)“正方形数”n(n为大于1的整数)可以写成两个相邻的 “三角形数” 与 之和.答案与解析 …, 则S.=3×(2-1-1)+1=3×2-1-2. 故答案为(1)46：(2)3×2m-1一2. 17.【解3a2+2ab-4ab-2a2=a2-2ab. 18.【解】5x十2=3(x+2), 去括号，得5x十+2=3x十6， 移项，合并同类项，得2x=4, 系数化为1，得x=2. 所以，x=2是原方程的解. 19.【解】原式=3x十3y-2x十4y-1=x+7y-1, 当x=1,y=-1时，原式=1+7×(-1)-1=-7. 20.【解】(1)等式的基本性质2乘法分配律 分析：因为第一步是方程两边都乘6，去分母， 所以第一步是依据等式的基本性质2进行变形的. 因为第二步是去括号，所以第二步是依据乘法分配律进行变 形的. (2)三移项时没有变号 (3)x=一5 2 分析：2(2x一1)-3(3x-2)=6, 4x-2-9x+6=6, 4x-9x=6-6+2, -5x=2, 21.【解】由题意可得，参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团 的有(m十6)人，参加科技类社团的有[合(m+6)-1]人， 故参加三类社团的总人数为 m+(m+6)+[合m+6)-1]=m+m+6+合(m+6)-1= m+m+6+2m+8-1=号m+8 22.【解】懈3(x+号)=4x,得x=a. 解3415=1，得x=3a一8. 3 因为两个方程的解相同，所以a=3a一8，解得a=4. 故a的值为4. 23.【解】(1)小明的说法有道理.理由如下： 5.x3-4x3y+2x3+4x3y-7x3-3=5x3+2x3-7x3-4xy+ 4xy一3=一3，所以这个代数式的值与字母x,y的取值无关， (2)A=t-2m-(nt+m-2)=t-2m-t-m+2=-3m+2. 24.【解】方法一 分析：3x4(x十2) 解：设每台A型号的机器一天生产x件产品. 根据题意，得号-2，解得。=40，所以号-3X40=24 7 答：每台A型号的机器一天生产40件产品，每箱装24件产品。 方法二 分析：5x7x 解：设每箱装x件产品。 根据题意，得号-平-2，解得x=24,所以号-5X24=40, 3 答：每台A型号的机器一天生产40件产品，每箱装24件产品. 25.【解】(1)2025 (2)原式=2a+2b-4a-4b+21=-2a-2b十21=-2(a+b)+21. 因为a十b=5,所以原式=-2×5+21=-10+21=11， 所以2(a+b)-4a-4b+21的值为11. (3)方程可转化为3(10-2)=6+号(10-2x), 移项，得日10-2)-号(10-2)=6， 合并同类项，得-(10-2x)=6, 去括号，得一10+2x=6, 移项，得2x=6+10, 合并同类项，得2x=16, 系数化为1，得x=8. 26.【解】设七年级(1)班参与此活动的学生有x人， 则七年级(2)班参与此活动的学生有(x一5)人， 七年级(3)班参与此活动的学生有[101一x一(x一5)]人. 因为七年级(1)班有20多人，不足30人，所以(1)班最多有29 人购票，(2)班最多有24人购票，则(3)班最少有48人购票； (1)班最少有21人购票，(2)班最少有16人购票，则(3)班最多 有64人购票 根据题意，列出方程： ①15x+15(x-5)+12[101-x-(x-5)]=1365, 解得x=28.所以x-5=23,101-x-(x-5)=50. ②15x+15(x-5)+10[101-x-(x-5)]=1365, 解得x=38.因为(1)班不足30人，所以这种情况不存在 答：七年级(1)班参与此活动的学生有28人，七年级(2)班参与 此活动的学生有23人，七年级(3)班参与此活动的学生有 50人. 27.【解】(1)因为abc+bca+cab=100a+10b+c+100b+10c+a+ 100c+10a+b=111a+111b+111c=111(a+b+c), 所以abc十bca十cab一定是1ll的倍数. (2)①124（答案不唯一） 分析：因为abc+bca+cab=111(a+b十c), 而7不是111的因数，所以7一定是a+b十c的因数， 可令a=1,b=2,则c=4.(答案不唯一) ②a十b+c=7或a十b+c=14或a十b+c=21 分析：若abc十bca十cab能被7整除，由①知7一定是a十b+c的 因数，而a,b,c都为1~9的正整数，则a,b,c三个数必须满足 的数量关系为a+b+c=7或a+b+c=14或a十b+c=21. 28.【解】(1)是 分析：解方程2x一3=0，得x=号， 解方程2x+1=0,得x=-是因为是号-(-）=2， 所以方程2x一3=0是方程2x十1=0的“k一后移方程” (2)解方程2x十m十n=0,得x=二二n, 2 解方程2x十m=0,得x=-受. 因为关于x的方程2x十m十n=0是关于x的方程2x十m=0 的2一后移方程”，所以一2”-(-受）=2，所以n=一4. (3)解方程ax十b-1,得x1,解方程ax十c=1,得x12 因为关于x的方程a.x十b=1是关于x的方程ax十c=1的 “3一后移方程”，所以b_1二=3，所以c=3a+6, 所以6a+2b-2(c+3)=2(3a+b)-2c-6=2c-2c-6=-6. 5.重难题型卷（二）一元一次方程 1.A【解析】由题意，知3(x一2)+2(3一x)=0, 则3x-6+6一2x=0,所以x=0.故选A 2.D【解析】3x十6=0,3x=一6，x=-2,把x=-2代人方程 3x=2-2m,可得-6=2-2m,解得m=4.故选D. 3.7【解析】因为关于x的方程x一ax=b的解为x=6,所以关于 y的方程(y-1)-a(y-1)=b中y-1=6,解得y=7,即关于y 的方程(y一1)一a(y一1)=b的解为y=7.故答案为7. 4.【解】因为代数式M=(a+b+1)x3+(2a-b)x2+(a+3b)x-5 是关于x的二次多项式，所以a十b+1=0,且2a-b≠0， 即a+b=一1，且2a≠b. 因为关于y的方程3(a+b)y=ky一8的解是y=4,所以3(a十 b)×4=4k-8,所以3×（一1）×4=4k一8，解得k=-1. 5.【解】(1)-1 分析：32+5=3， 去分母，得3x-1十10=6， 移项，合并同类项，得3x=一3， 系数化为1，得x=-1. (2)设被污染的正整数为m,则有3x,1+m=3, 2 3x-1+2m=6,解得x=7-2m, 3 因为一0是正整数m为正整数，所以m一之 即被污染的正整数是2. 6.B 7.【解】(1)20 (2)设小张出发x秒后追上小李， 根据题意，得20十4x=5x,解得x=20. 答：小张出发20秒后追上小李 8.24【解析】设当小李做完时，小张还差x个没做， 依题意，得器-1解得=2儿故答案为24 9.【解】设还需要x天才能完成， 依题意，得是+（品+号）x=1,解得x=4.5, 答：还需要4.5天才能完成。 10.200【解析】设这件商品的成本价为x元， 则(x+0.2x)×0.9-x=16,解得x=200. 故这件商品的成本价为200元.故答案为200 11.【解】(1)方案一：41×30×0.8=984（元）， 方案二：(41-5)×0.9×30=972（元）. 因为984>972，所以(2)班班长该选择方案二， (2)设(1)班有x人，根据题意得x×30×0.8=(x一5)×0.9× 30,解得x=45,所以(1)班有45人 12.【解】设天头长为6xcm(x>0),地头长为4xcm,则左、右边的 宽为xcm.根据题意，得100+6x+4x=4×(27十2x), 解得x=4,则6x=24. 答：边的宽为4cm,天头长为24cm. 13.【解】设应分配x名工人生产甲种零件，(88一x)名工人生产乙 种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套.根据题意，得 24x=2×10(88-x),解得x=40,所以88-x=88-40=48. 答：应分配40名工人生产甲种零件，48名工人生产乙种零件， 才能使每天生产的这两种零件刚好配套， 14.B【解析】由题意可知，凫每天飞行总路程的7，雁每天飞行 总路程的号，设x天后相遇，则可列出方程7x十日x=1.故 1 1 选B. 15.【解】设良马x天能够追上驽马. 根据题意，得240.x=150(12十x),解得x=20. 答：良马20天能够追上驽马. 16.【解】(1)0.5×200+0.6×(400-200)+0.8×(420-400)= 236(元). 答：需缴电费236元， (2)0.5×200+0.6(x-200)=100+0.6x-120=(0.6x-20)(元). 真题圈数学七年级上5E (3)设五月份用电ykW·h,则六月份用电(500一y)kW·h. 分两种情况： ①当y≤200时，由题意可得 0.5y+0.5×200+0.6(500-y-200)=262, 解得y=180,500-y=320; ②当200<y<250时，由题意可得0.5×200+0.6(y一200)+ 0.5×200+0.6(500一y一200)=262，此时方程无解. 所以该户居民五月份用电180kW·h,六月份用电320kW·h. 17.1022(2n+2)【解析】因为第1个结构式中C的个数为 1,H的个数为4，第2个结构式中C的个数为2，H的个数为 6=4+2=4+2×1,第3个结构式中C的个数为3，H的个数 为8=4十2十2=4+2×2，…，以此类推，第10个结构式中C的 个数为10，H的个数为4十2×9=22，第n个结构式中H的个 数为4十2(n-1)=2n十2.故答案为10；22；(2m十2). 8器(~) 2m-1 19.(2m-1)(2n+1)=(2n)2-1【解析】根据1×3=22-1,3× 5=42一1,5×7=62一1,7×9=82一1可以知道，第一个式子中 1=2-1,3=2+1,2=2×1,第二个式子中3=4-1,5=4+1,4 =2×2,第三个式子中5=6-1,7=6+1,6=2×3，第四个式子 中7=8一1,9=8+1,8=2×4，故第n个式子中，等号左边的因 数为2n一1,2n+1,等号右边为(2n)2一1，所以(2n-1)(2n+1) =(2n)2-1.故答案为(2n-1)(2n+1)=(2n)2-1. 20。一4一5【解析】因为任意四个相邻小格子中所填数之和都 等于15，所以第5个数(5-4=1)与第1个数相同，都为m一1； 第16个数(16÷4=4)与第4个数相同，都为2： 第78个数(78÷4=19…2)与第2个数相同，都为3一2m; 所以m-1+3-2m+7+2=15,解得m=-4, 则m一1=一4一1=一5. 因为2025÷4=506…1，所以第2025个数是一5. 故答案为一4；一5. 21.17(4n十1)【解析】由题图可得，第1个图案中涂有阴影的 小正方形的个数为5，第2个图案中涂有阴影的小正方形的个 数为5十4=9，第3个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5+ 4十4=13，第4个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5十4+ 4十4=17，…，以此类推，第n个图案中涂有阴影的小正方形的 个数为5+4(n-1)=4n十1.故答案为17；(4n+1). 22.(1)1015(2)m(n。-)n(m+1 2 【解析】(1)因为4=22=1+2+1=1+3,9=32=1+2+3+2+ 1=3+6,16=42=1+2+3+4+3+2+1=6+10, 所以25=52=1+2+3+4+5+4+3+2+1=10+15. (2)m=1+2+3+4+…+(n-1)+n+(n-1)+(n-2)+…+1 =[1+2+3+4++(n-1)]+[n+(n-1)+(n-2)++1] =n(n-1+n(n十1) 2 2 故答案为(110；15，(2)nn21D,nn1D. 2 2 6.期中学情调研（一） 题号1 2 3 45 6 7 8 答案B DDBDB 1.B2.A 3.C【解析】10.2亿=1020000000=1.02×10°.故选C. 4.D【解析】a十a=2a,故A选项错误； 6x3与一5x不是同类项，不能合并，故B选项错误； 3x与2x不是同类项，不能合并，故C选项错误； 3ab一4ba=一ab,故D选项正确.故选D.