第十七章 因式分解 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

.a2十b=40,ab=14, .a2+b-2ab=12. 又·S阴影部分=S大正方形一S空白部分， ·S0影每分=a2-6B-4X2(a-b)b=ad2-B-2ab+28=a2- 2ab+b=12. 故答案为(1)S3=S1+2S2;(2)12. 24.【解1(1)：(x+y)2=44,xy=2, .2x2+2y2=2(x2+y)=2[(x+y)2-2xy]=2×(44-2X 2)=2×(44-4)=2×40=80 (2)·(x+y)2=44,xy=2, .(x-y)2-xy=(x十y)2-4xy-xy=(x十y)2-5xy=44- 5×2=44-10=34. 25.【解】(1)(m-n)2(m十nm)2-4mm (2)(m-n)2=(m十n)2-4mn (3)①25 分析：由(2)得，(m-n)2=(m+n)2-4mm=49-24=25. ②设a=4一x,b=5-x,则a-b=-1,ab=(4-x)(5-x)=6, .a十b=4-x十5-x=9-2x, .(9-2x)2=(a+b)2=(a-b)2+4ab=1+4X6=25 (4).BE=2,即x-y=2, ∴(x-y)2=4,即x2-2xy十y=4. x2+y=34,.xy=15. (x十y)2=x2+2xy十y=34+2X15=64,∴.x十y=8, S5分=Sam十S哪=7(x一)十合(x一》= 合(x+0x-0)=号×8x2=8. 12.第十七章学情调研 题号123456 7 8 答案BCDABD■ DA 1.B2.C3.D 4.A【解析】a2-4a十4=(a-2)2,而1十4a2,4b十4b-1,a2十 ab十都不是完全平方式，则完全平方式有1个.故选A 5.B【解析】(x+5)(x+n)=x2+nx+5x十5n, x2+mx-10=(x十5)(x十n),.nx+5x=mx,5n=-10, ∴.n十5=m,n=-2,.m=3, ∴.m”=（一2)3=一8.故选B. 6.D【解析】20256-2025224=2025224X(20252-1)= 20252024×(2025+1)×(2025-1)=2025224×2026×2024, ,2025226-20252o2=2025X2024X2026, .2025221X2026×2024=2025X2024×2026. ∴.x=2024.故选D. 7.D【解析】x-9xy2=x(x2-9y)=x(x十3y)(x-3y),当x= 10,y=1时，x=10,x十3y=10+3=13,x-3y=10-3=7, 所以用上述方法生成的密码可以是10137.故选D. 8.A【解析】2(a-2)2+2=b(a一b), 合(a2-4a+4)+2=ab-, 合cd-2a+2+2=abi, 2a2-2a-ab+8+4=0, (4ad2-ab+）+(a2-2a+4)=0, (2a-6)'+(2a-2)‘=0, 真题圈数学八年级上RJ5E 2a-b=0,2a-2=0,a=4,b=2. ,∴.3a2+4b+1012a-2024b+1=3×42+4×22+1012×4 2024×2+1=3×16+4×4+4048-4048+1=48+16+1= 65.故选A. 9.x(x十5)(x-5) 10.12y-3x-1【解析】36xy2-9x2y-3xy=3xy(12y-3.x-1). 故答案为12y-3x-1. 11.2x(答案不唯一)【解析】：x士2x+1=(x士1)2，x2+ (2x-1)+1=x2十2x=x(x+2),∴.○可以为2x,-2x,2x-1 等，答案不唯一.故答案为2x(答案不唯一). 12.110【解析】12.752-7.252=(12.75+7.25)×(12.75- 7.25)=20×5.5=110(cm).故答案为110. 13.a十2b【解析】：用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种 纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形， ∴.这个大正方形的面积=a2+4b+4ab=(a十2b)2, ∴.这个大正方形的边长为a十2b.故答案为a十2b. 14.35【解析】x-y=7,y+z=一2， .x-y十y十x=7-2=5,即x十x=5, ..2-yz+x(z-y)=-yz+xz-zy=(z+xx)+(-yz- xy)=x(x十)-y(x十z)=(x十)(x-y), .当x十z=5,x-y=7时，原式=5×7=35. 故答案为35. 15.6【解析】由题意可设x2+a.x-12=(x十m)(x十n),m,n为 整数，'.mn=一12，m十n=a. :-12=1×(-12)=(-1)×12=2×(-6)=(-2)×6= 3×(-4)=(-3)×4, .a=±11或a=士4或a=士1，共有6个.故答案为6. 16.(1)90(2)11【解析】(1)百位上的数字和个位上的数字相 同的三位数是“回文数”，当百位上的数字为1时，有10个“回 文数”，同理，百位上的数字为2时，有10个“回文数”，…， .三位数的“回文数”共有90个. (2)设四位数的“回文数”千位、百位、十位、个位上的数字分别 为a,b,b,a,.1000a+100b+10b+a=1001a+110b= 11(91a十10b),.1000a十100b+10b+a是11的倍数，即四位 数的“回文数”是11的倍数 故答案为(1)90；(2)11. 17.【解】(1)原式=xy(y2-1)=xy(y十1)(y-1). (2)原式=2(x2-10x+25)=2(x-5)2. 18.【解】(1)8252×3-1752×3=3×(8252-1752)=3×(825十 175)×(825-175)=3×1000×650=1950000. (2)57×99+44×99-99=99×(57+44-1)=99×100= 9900. 19.【解】若选择m和n,用“一”连接成m一n,则对其进行因式 分解为m-n=(m2+)(m2-t)=(m2+2)(m十n)(m n).(答案不唯一) 20.【解】①3a②3a(x2+2xy+y)③完全平方和④3a(x+y)2 21.【解】x(x十y)(x-y)-x(x+y)2=x(x十y)[(x一y)- (x+y)]=-2xy(x+y). 当x叶y=1,xy-号时，原式=-2×(-号)×1=1 22.【解】甲：2(x-3)(x+2)=2x2-2x-12, 乙：2(x-3)(x+4)=2x2+2x-24. ,甲同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，乙同学看错 了一次项系数，但没有看错常数项， ∴.b=2,c=-24, .原多项式为2x2-2x-24. :2x2-2x-24=2(x+3)(x-4), 答案与解析 .正确的分解结果为2(x十3)(x一4). 23.【证明】(a2+b-c2)2-4a2b =(a2+b-c2+2ab)(a2+b-c2-2ab) =[(a2+2ab+b)-c2][(a2-2ab+b)-c2] =[(a+b)2-2][(a-b)2-2] =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c). ,a,b,c为三角形的三边长， ∴.a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c0, .(a2+b-c2)2-4a2b<0, 故(a2十2-c2)2-4a26的值一定为负数. 24.【解】(1)C(2)能，最后的结果为(x一2)4 (3)设x2+6x=y, 则(x2+6x)(x2+6x+18)+81=y(y+18)+81=y2+18y+ 81=(y+9)2=(x2+6x+9)2=(x+3)4. 25.【解】(1)x-2xy十y-4=(x-y)2-4=(x-y十2)(x-y-2). (2)△ABC是等腰三角形.理由如下： a2-ab-ac+bc=0,..a (a-b)-c (a-b)=0, ∴.(a-c)(a-b)=0,∴.a=b或a=c, ∴.△ABC是等腰三角形. 26.【解】(1)(x-1)(x-1)(6x+5) (2)①(x+2) 分析：2a-b=2,∴.b=2a-2, .ax2+bx-4=ax2+(2a-2)x-4. ,当x=-2时，ax2+(2a-2)x-4=0, 即当x=-2时，a.x2+bx-4=0, .关于x的多项式ax2+bx一4有因式(x十2). ②.ax2+bx的值为4，.a.x2+bx一4的值为0. :ax2+bx-4=(x+2)(ax-2), 当x=2时，ax2+bx-4=0, a 即当x=名时，ar2+bx=4. :a为正整数，且有两个不同的整数x,使多项式ax2+bx的 值为4，吕为正整数a=1或a=2。 .所有满足条件的a之和为3. 27.【解】(1)如图所示.（图形不唯一） (2)6(5a+b)(a+b) (3)a+2b分析：3张边长为a的正 方形卡片的面积是3a,4张长为b,宽6 为a(b>a)的长方形卡片的面积是 4ab,5张边长为b的正方形卡片的面 第27题答图 积是5b,,a2+4ab+4=(a+2b)2, .拼成的正方形的边长最长为a十2b. 28.【解】(1)x2-4x+3=x2一4x十4-4+3=(x-2)2-1. (2)x2+y2-4x+6y+28=x2-4x+y2+6y+28=x2-4x+ 4-4+y2+6y+9-9+28=(x-2)2+(y+3)2+15. .(x-2)2≥0，(y+3)2≥0， ∴.当x一2=0，y十3=0时，原式有最小值， .当x=2,y=一3时，原式有最小值，最小值为15. (3)m>n 分析：，'m-n=a2十b-1-(2a-4b-7)=a2-2a+1十b+ 46+4+1=(a-1)2+(b+2)2+1>0,.m>n. 13.阶段学情调研（二） 题号1234567 8 1.B 2.C【解析】x÷x2=x,(x)=x,（-2x)3=-8x°，x与x 不是同类项，无法合并.故选C. 3.C4.B 5.C【解析】，(a·a)5=(a+")5=a+)=a2(a>0,且a≠ 1),.x十y=4.故选C. 6.C【解析】A直角三角形的两个锐角互余，不一定相等，故A 不符合题意；B.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角，故B不符合题意；D.有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形，故D不符合题意.故选C. 7.B【解析】设AB=a,AD=b, 由题意，得8a+8b=24,2a2+2b=12,即a十b=3,a2+=6, a6=2[a+-(a+8)]=号×(0-6=是， 即长方形ABCD的面积为2，故选B 8.C【解析】，△ABC的三边长分别为a,b,c,a<b<c, ∴.a+b>c,∴.(a+1)+(b+1)>c+1. :a<b<c,.a+1<b+1<c+1, ∴.以a十1，b十1，c十1为边长能组成三角形，故A不符合题意. a十b>c,.2a+2b>2c.a<b<c,∴.2a<2b<2c, ∴.以2a,2b,2c为边长能组成三角形，故B不符合题意. a<b<c,.a2<b<c2. :a2+b=(a十b)2-2ab,a+b>c,2ab的值不确定， .a2+与c2的大小关系不确定， ∴.以a,,2为边长不一定能组成三角形，故C符合题意. a<b<c,∴.|a-b+1=b-a+1,lb-c+1=c-b+1,|c a+1=c-a+1,..|a-bl+1+|b-c+1=c-a+2, ∴.|a-b+1+|b-c+1>c-a+1. .|a-b+1<|c-a|+1,|b-cl+1<|c-a+1, ∴.以a-b+1,lb-c+1,c-a+1为边长能组成三角形，故 D不符合题意.故选C. 身等腰三角形底边上的中线、底边上的离重合10,21山.立 12.4【解析】若多项式y一4y十m是完全平方式，则m= （会)=4故答案为4. 13.9【解析】如图，过点B作BD⊥AC于点D, A 在Rt△ABD中，.∠A=30°，AB=6, :BD-AB-3 :SAe=号AC.BD=号X6X3=9. 故答案为9. BL-----D 14.53°【解析】∠BAC-=90°，∠BAD=23°，第13题答图 .∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-23°=67. 在△DAC中，，∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°， ∴.∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=180°-67°-60°=53°. 故答案为53°. 15.1【解析】：a*b=2×2,2￥(x十1)=16， .22X2+1=24,∴.2+3=24， .x+3=4,.x=1. 故答案为1. 16.①②③⑤【解析】：∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中 点，∴.∠DAF=∠B=45°，AD=BD,∠ADB=90°. :∠ADB=∠EDF=9O°，∴.∠BDE=∠ADF. ∠B=∠DAF, 在△BED和△AFD中，BD=AD, (∠BDE=∠ADF, ∴.△BED≌△AFD(ASA), .BE=AF,.AC=AF+FC=BE+FC,故①②正确.真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ5E 泡 12.第十七章学情调研 (时间：120分钟满分：100分) 一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy-+y2 2.(期中·北京八十中)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( A.2a2-2a+1=2a(a-1)+1 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-4xy+4y2=(x-2y)2 D.x+1-x(z+z) 3.(期中·清华附中)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( 製 A.-a2-62 B.x2+(-y)2 C.(-x)2+(-y)2 D.-m2+1 4.(期末·朝阳区)在多项式a2一4a+4,1十4a2,4b2+4b一1，a2+ab+b中，完全平方式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个钟 5.(期末·北京八中)若x2+mx一10=(x十5)(x十n),则n"的值为() 如 A.-6 B.-8 c-8 金星教 名 棕 6.已知20252026-20252024=2025x×2024X2026,则x的值为( A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 7.情境题（期末·大兴亦庄实验中学）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式 分解”法生成的密码，方便记忆.如：对于多项式x4一y,因式分解的结果是(x一y)(x十y)(x2十 y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x一y=0,x十y=18,x2+y2=162,于是就可以把 “018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3一9xy2,取x=10,y=1时，用上述方法生成的密 警0 码可以是( H唰 A.101001 B.1307 题 C.1370 D.10137 敏 8.(期中·人大附中)已知实数a,b满足(a一2)2+2=b(a一b),则3a2+462+1012a一20246+1的 值是( ) A.65 B.105 C.115 D.2025 3 二、填空题（共16分，每题2分） 9.（中考·北京)分解因式：x3一25x= 10.多项式36xy2一9x2y-3xy提公因式后的另一个因式为 11.开放性试题（期末·海淀区）在○处填入一个整式，使关于x的多项式x2十○十1可以因式分解， 则○可以为 .(写出一个即可) 12.在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为 cm2. 13.(期末·西城区)如图，有甲、乙两种正方形纸片和丙种长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸 片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 (用含a,b的式子表示). 0- 甲 乙 丙 第13题图 14.（期中·人大附中)若x-y=7,y十之=一2，则x2-yz十x(之一y)的值为 15.(期中·清华附中创新班)若二次三项式x2+ax一12能分解成两个系数为整数的一次因式的乘 积，则符合条件的整数a的个数是 16.新定义试题（期末·东城区）“回文诗”就是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典 文学作品中的一种有趣的特殊体裁.如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻 鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”.在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为 “回文数”.例如11,343等. (1)在所有三位数中，“回文数”共有 范个，印 (2)任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外). 三、解答题（共68分，第17~20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第2324题，每题6 分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或 证明过程 17.(期末·西城区)分解因式： (1)xy3-xy. (2)2x2-20x+50. 18.用简便方法计算： (1)8252×3-1752×3. (2)57×99+44×99-99. 19.开放性试题（期末·顺义区）从单项式m,n,2mn2中任选2个，并用“一”连接成一个多项式，再 对其进行因式分解. 精品图书 金星教 20.(期中·北京一六一中学)在对整式3ax2+6axy十3ay2进行分解因式的时候，我们往往按照下面 的流程来进行，请按照提示的信息将过程补充完整 3ax"+6axy+3ay 第一步：提取公因式① ② 第二步：利用③ 公式继续进行分解因式 =④ 第20题图 3 21.(期中·西城区)将x(x十)(x一)一x(x十)进行因式分解，并求出当x十y=1,xy=一号时 此式的值. 22.(期中·海淀区)已知多项式2x2一bx十c,甲同学看错了常数项，分解因式为2(x一3)(x十2)，乙 同学看错了一次项系数，分解因式为2(x一3)(x十4)，请求出正确的分解结果. 盗印必穷 关爱学子 拒绝盗印 23.(期中·北京十二中)若a,b,c为三角形的三边长，求证：(a2十b2一c2)2一4ab的值一定为负数. 8- 24.思维探索阅读某同学对多项式(x2一4x+2)(x2一4x十6)十4进行因式分解的过程，并解决问题. 解：设x2-4x=y, 狗 则原式=(y十2)(y十6)+4（第一步） 的 =y2+8y+16(第二步) =(y十4)2（第三步） 尽 =(x2一4x十4)2.（第四步） 州 书期 (1)该同学第二步到第三步的变形运用了() A.提公因式法 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式 分解？如果能，请写出最后的结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2十6x)(x2+6x十18)+81进行因式分解. 製 25.方法探索（期中·海淀区）阅读下列材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如x2一4y2一2x十 4y,细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后 % 又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式.具体过程如下： x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2)-(2x-4y) 金星教育 =(x+2y)(x-2y)-2(x-2y) =(x-2y)(x+2y-2). 像这种将一个多项式适当分组后分解因式的方法叫作分组分解法. 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：x2-2xy十y2-4. (2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2一ab一ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由. 些咖 阳腳 题 品 39 26.(期中·清华附中改编)对于多项式x2十x一2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2十x一2的 值为0，这时可以确定多项式中有因式(x一1)；同理，可以确定多项式中有另一个因式(x十2)，于 是我们可以得到：x2十x一2=(x一1)(x十2). 又如：对于多项式2x2-3x一2，发现当x=2时，2x2-3x一2的值为0，则多项式2x2一3x一2中有 一个因式(x-2),我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx十n),解得m=2,n=1. 于是我们可以得到：2x2一3x一2=(x一2)(2x十1). 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当x=1时，多项式6x2一x-5的值为0，.多项式6x2一x一5中有因式 ,从而可以 将多项式进行因式分解：6x2一x一5= (2)若2a-b=2, ①关于x的多项式ax2十bx一4有因式 ②已知a为正整数，且有两个不同的整数x,使多项式a.x2+bx的值为4，求所有满足条件的a 之和. 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 27.(期中·北师大附属实验中学)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多 数学问题进行直观推导和解释.如图①，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片.用 若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图②的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a十 3ab+b2=(2a+b)(a+b). (1)若解释因式分解3a2+4ab+b=(a十b)(3a+b),需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片 都要取到)拼成一个长方形，请画出相应的图形 (2)若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为5a2+ mab+b2,则m的值为 ,将此多项式因式分解为 (3)有3张A类、4张B类、5张C类卡片，从中取出若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出的 这些卡片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 b 4类 B类 C类 ① ② 第27题图 真题 精品图书 金星教育 4 28.(期末·平谷区)阅读下列材料： 我们知道，对于二次三项式a2十2ab十b2,可以利用完全平方公式将它变形为(a十b)2的形式，但 是对于一般的二次三项式x2十bx十c就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在原式中先加上 一次项系数的一半的平方，即()，使其凑成完全平方式，再减去（名），使整个式子的值不变，这 样就有2+bx+c=(x+)°+m例如2-6x十1=2-6x+9-9+1=(x-3)2-8. 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式x2一4x+3变形为(x十m)2+n的形式. (2)当x,y分别取何值时，x2+y2一4x十6y十28有最小值？求出这个最小值. (3)若m=a2+b2一1，n=2a-4b-7,则m与n的大小关系是 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 0-