第十六章 整式的乘法 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ5E 狗 10.第十六章学情调研 (时间：120分钟满分：100分) 一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.(期中·北京师达中学)下列运算结果为a5的是() A.a3·a2 B.a3+a* C.(a2)3 D.al8÷a3 2.(期中·北京四中)下列各式计算正确的是() A.(a2)4=(a4)2 B.2x3·5x2=10x C.(-c)8÷(-c)6=-c2 D.(ab3)2=ab6 3.(期中·清华附中)在下列各式中，能运用平方差公式计算的是() A.(a-b)(b-a) B.(a-1)(-a+1) C.(2a-b)(a+2b) D.(-a-b)(-b+a) 苹 4.(期中·北京中关村中学)已知xm=2,x”=3,则xm+n的值是(、) A.5 B.6 C.8 D.9 5.(期中·北京文汇中学)若(x一3)(.x十5)=x2+mx一15，则m的值为( ) A.-8 B.2 C.-2 D.-5 6.（期中·北京二中分校)已知式子(2x十3)(x一a)的计算结果中不含x的一次项，则a的值 为() h 品 A.-3 B.3 C.1.5 D.0 7.(期中·北京一零一中学)如图，在长为3a十2、宽为2b一1的长方形铁片上，挖去一个长为2a十4、 宽为b的小长方形铁片，则剩余部分的面积是() A.6ab-3a146 B.4ab-3a-2 C.6ab-3a+8b-2 D.4ab-3a+8b-2 ① ①① ①②① 3a+2 ①③③① 警0 2b-1 阳删 b ①⑤而05① 胞) 2a+4 @句西四西可① 鼠 第7题图 第8题图 8.数学文化“杨辉三角”也叫“贾宪三角”（如图），是中国古代数学伟大的成就，被后世广泛运用.用图 中的“杨辉三角”可以解释(a十b)"(n=1,2,3,4,5,6)的展开式中项的系数规律.例如，在“杨辉三 角”中第3行的3个数1,2,1，恰好对应着(a+b)2的展开式a2+2ab十b2中各项的系数；第4行的4 个数1,3,3,1，恰好对应着(a十b)3的展开式a3+3ab+3ab2+b3中各项的系数，等等.当n是大于 6的自然数时，上述规律仍然成立，那么(。一)” 的展开式中a?的系数是() A.9 B.-9 C.36 D.-36 二、填空题（共16分，每题2分） 9.化简(3.14一π)°的结果为 10.（期中·北京二十中改编)计算：0.252025×42026= 11.(期中·北京交大附中)若3x+1=27,则x= 12.（期中·北京一零一中学)已知a十b=6,a2+b2=26,则ab的值为 13.(期中·北京八十中)若号xy与-3xy是同类项，则这两个单项式的积为 14.(期中·北京八中)已知a=8131,b=271,c=91,则a,b,c的大小关系是 (用“<”连 接起来) 15.（期中·北京中学)某“数学乐园”展厅的Wi一Fi密码被设计成如图数学问题.小明在参观时认真 思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 账号：shu xue le yuan [x15y2x3]=1523 [x2y2x·x3y]=531 [(x5)6yz5÷x10y2]=密码 第15题图 16.新定义试题设a,b是实数，定义的一种运算如下：a￥b=(a十b)2,则下列结论中： ①若a￥b=0,则a=0且b=0;②a*b=b*a;③a*(b十c)=a￥b十a￥c;④a*b=(一a)￥(-b). 正确的有 个 三、解答题（共68分，第17~20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23~24题，每题6 分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤 或证明过程 17.（期末·东城区)计算：a·a3-(a2)2十2a÷a2 18.(期中·北京八十中)计算：[(x十y)2-(x十y)(x-y)]÷2y 19.(期中·清华附中)运用所学乘法公式进行简便运算：5149十51×49. 2 20.(期中·北师大附属实验中学)已知x2一2x一1=0，求代数式(x一1)2+(x一3)(x十3)一2(x一5) 的值. 卷 精品图书 金星教育 21.(期中·北京一零一中学)一个长方体的包装箱，长为3a米，宽为2b米，高为(a十b)米. (1)该包装箱的体积为 立方米 (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 22.在计算(2x十a)(x十b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2十8x-24;乙错把十a看成了一a, 得到的结果是2x2+14x十20，求a,b的值. 23.(期末·大兴区)求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n十1)2一(2n一1)2是这两个奇数 的和的2倍 24.(期中·北京一六六中学)如图，甲长方形的两边长分别为m十1，m十7，面积为S1,乙长方形的两 边长分别为m十2，m十4，面积为S2(其中m为正整数). (1)S1= ,S2= (用含m的多项式表示)，S S2(填“>”“<”或“=”)， (2)有一正方形，其周长与甲长方形的周长相等，面积为S,求证：S一S为定值. m+4 m+7 m+1 甲 m+2 乙 第24题图 32- 25.数学归纳数式规律（期末·大兴区）观察下列各式： (a+1)(a2-a+1)=a3+1; 狗 (a-2)(a2+2a+4)=a3-8; 归 犯 (3a-2)(9a2+6a+4)=27a3-8. 共 (1)请你按照以上各式的运算规律填空： ①(x-3)(x2+3x+9)= 低州 书0 ②(2x+1)( )=8x3+1; ③( )(x2+xy十y2)=x3-y3. (2)应用规律计算：(a2-b)(a2+ab+b2)(a2-ab十b2) 直题圈 精品图书 金星教育 留 26.(期中·首师大附中)“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法” 时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：(a十b)2=a2十2ab十b2 (如图①).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决 代数问题 e 6 b 6 aa ab 6 ① ② ③ 第26题图 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图②可得等式： ,利用图②得到的结论，解决问题：若α +b+c=15,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2= (2)如图③，若用其中x张边长为a的正方形、y张边长为b的正方形、之张边长分别为a,b的长方 盗印必究 形纸片拼出一个面积为(2a十b)(a十2b)的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x十y+ 之= 关爱学子 拒绝盗印 33 27.新知探索爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式 除以多项式的方法，通过查阅资料，小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除 法”，综合除法主要用于一元多项式aox十a1x"-1十a2x-2十十am-1x十an除以一次多项式x一m 的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下： 第一步，如图①，写出分离系数竖式 m ao a az an-1 an 第27题图① 第二步，如图②，进行相关计算： 将ao落下得到b,计算mb并置于a1下方，计算a1十mb得到b1;计算mb1并置于a2下方，计算 a2十mb1得到b2…计算mbn-1并置于am下方，计算an十mbn-1得到bn. m a0a1a2…an-1an mbo mbi...mon-2 mon-1 b0b1b2…bm-1bm 第27题图② 第三步，写出计算结果： aox"十a1x1十a2,x-2+…十ar-1x十an除以x一m得到商式bx1+b1x-2+…十bn-2x十bn-1和 余式bn. 解决问题：利用综合除法求3x3+13x2一9x十7除以x十5的商式和余式（如图③），请把图③补充 完整. 第27题图③ 由此可知，3x3+13x2-9x十7除以x十5的商式是窗 ,余式是 28.(期中·北大附中改编)若整式A只含有字母x,且A的次数不超过3次，令A=ax3+bx2十cx十 d,其中a,b,c,d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M(b十d,a十b十c十d)为整式A的相关 点，我们规定次数超过3次的整式没有相关点 例如，若整式A=2x2+3x-4,则a=0,b=2,c=3,d=一4，故A的相关点为(-2,1). (1)若A=2x3一4x2+x+3,则A的相关点为 (2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与(x一3)(2x十1)的乘积，若整式C的相关点 为(0,24)，求整式B的表达式. (3)若整式D=x一3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E平方的乘 积，若整式F的相关点为（一200,0），请直接写出整式E的表达式. 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 4-P E、 --G ① ② 第28题答图 (2)存在，画出图形如图②.证明如下： 如图②，延长CD,交BA的延长线于点Q,作CD的垂直平分线 EP,交AB的垂直平分线PF于点P,连接CP,DP,AP,BP. PE垂直平分CD,PF垂直平分AB,∴PC=PD,PA=PB, PE⊥CD,PF⊥AB,∴.∠DPE=∠CPE,∠APF=∠BPF. :∠ABC+∠DCB=90°，∴.∠Q=90°. PE⊥CD,PF⊥AB, .∠EPF=90°，∴.∠APD+∠DPE+∠APF=90° :∠APD+∠BPC=∠APD+∠EPF+∠CPE+∠BPF= ∠APD+∠DPE+∠APF+90°， .∠APD+∠BPC=l80°，且PC=PD,PA=PB, .△PAD与△PBC互为“顶补三角形”， 10.第十六章学情调研 题号12345 6 7 8 答案CA DBB CB B 1.C 2.A【解析】A(a2)4=(a)2=a8,故本项正确；B.2x3·5x2= 10x,故本项错误；C.（-c)8÷(-c)6=c2,故本项错误； D.(ab)2=ab,故本项错误.故选A. 3.D 4.B【解析】x”=2,x=3,x+=x”·x=2X3=6.故选B 5.B【解析】(x-3)(x十5)=x2+2x-15=x2+mx-15, ∴.m=2.故选B. 6.C【解析】'.多项式(2x十3)(x一a)=2x2+(3一2a)x-3a不 含x的一次项，∴.3-2a=0,解得a=1.5.故选C. 7.B【解析】剩余部分的面积为(3a+2)(2b-1)-b(2a+4)= 6ab-3a+4b-2-2ab-4b=4ab-3a-2.故选B. 8.B【解析】结合“杨辉三角”可得(a-子)》'的各项系数（不考 虑正负号)为1,9,36,84,126,126,84,36,9,1.a可由 。·（一日)儿得出，系数的符号为负号，系数的绝对值为第二 项的系数9，.a的系数为一9.故选B. 9.1 10.4【解析】0.252晒×42s=(0.25×4)225×4=4.故答案为4. 11.2【解析】：3+1=27,3+1=33，∴.x十1=3，.x=2. 故答案为2. 12.5【解析】，(a十b)2=a2+b+2ab,.2ab=(a+b)2-(a2+ b)=62一26=10，∴.ab=5.故答案为5. 13.-xy【解析】若3xy与-3xy是同类项， 则n一1=2，m=3,所以n=3, 所以这两个单项式的积是号士y×(-3y)=一心. 故答案为一xy. 14.c<b<a【解析】a=811=(3)31=3124,b=271=(33)1= 3123,c=91=(32)1=3122,且312<3123<3124，∴.c<b<a.故答 案为c<b<a. 真题圈数学八年级上J5E 15.2024【解析】由题意知，[x5yz]=1523,[xyx·xy]= [xyz]=531,所以等号右边的数字依次为等号左边方括号内 最简代数式中x,y,之的指数. 又因为(x5)yz5÷xyx=x2”yx, 所以[(x)yx5÷xyz]=2024.故答案为2024. 16.2【解析】，a*b=0,a*b=(a十b)2,∴.(a十b)2=0, 即a十b=0,∴.a,b互为相反数，因此①不正确 a*b=(a十b)2,b*a=(b十a)2,因此②正确， a￥(b+c)=(a十b十c)2,a*b十a*c=(a十b)2+(a+c)2,故③ 不正确. a*b=(a+b)2,(-a)*(一b)=(-a一b)2, ,(a十b)2=(-a-b)2,.a*b=(-a)*(-b),故④正确. 因此正确的有2个，故答案为2. 17.【獬】a·a3-(a2)2+2a5÷a2=a-a+2a4=2a. 18.【解】原式=(x2+2xy+y2-x2+y)÷2y=(2xy+2y2)÷ 2y=x+y. 19.【解)512,49+51×49=50+1)2(50-1D+(50+1)× (50-1）=50+1+100502+1-10+502-1=50+1+ 502-1=5000. 20.【解】原式=x2一2x+1+x2-9-2x+10=2x2-4x+2= 2(x2-2x)+2, .x2-2x-1=0,.x2-2x=1. .原式=2×1+2=4. 21.【解】(1)(6ab+6ab) (2)长方体的表面积为2×3a·2b+2×2b·(a+b)+2×3a· (a+b)=12ab+4ab+4+6a2+6ab=(6a2+22ab+4)平方米. 答：共需喷上(6a2+22ab+4)平方米的油漆. 22.【解】，甲错把b看成了6，∴.(2x十a)(x+6)=2x2十(12十 a)x十6a=2x2+8x-24,可得a=-4. ,乙错把十a看成了-a,∴.(2x-a)(x十b)=(2x十4)(x+ b)=2.x2+(2b+4)x+4b=2x2+14x+20,可得b=5. 23.【证明】(2n+1)2-(2n-1)2=(4t2+4n+1)-(4n2-4n+1)= 8n,2[(2n+1)+(2n-1)]=2×4n=8n, .(2n+1)2-(2m-1)2=2[(2n+1)+(2n-1)], 即当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2 是这两个奇数的和的2倍. 24.(1)【解】m2+8m+7m2+6m+8≥ (2)【证明】甲长方形的周长为(m+7+m+1)×2=4m+16, “周长为4m十16的正方形的边长为4m中16=m十4， ∴.边长为m十4的正方形的面积S=(m十4)2=m2十8m十16， .S-S=(m2+8m+16)-(m2+8m+7)=9, 即S-S为定值. 25.【解】(1)①x3-27②4x2-2x+1③x-y (2)原式=(a-b)(a+b)(a2+ab+b)(a2-ab+b) =[(a-b)(a2+ab+b)][(a+b)(a2-ab+b)] =(a3-b3)(a3+b3) =a5-b5. 26.【解】(1)(a+b+c)2=a2+b+c2+2ab+2ac+2bc155 分析：由题图②可知：(a十b+c)2=a2十+c2十2ab十2ac+2bc, .'a+b+c=15,ab+ac+bc=35, .∴.a2+b+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=152-2×35= 225-70=155. (2)9分析：(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b=2a2+ 5ab+26,2a2+5ab+2b可以看成2张边长为a的正方形、2 张边长为b的正方形、5张边长分别为a,b的长方形纸片拼成 的大长方形的面积，∴，x=2,y=2,之=5，∴.x十y十之=9. 答案与解析 27.【解】如图，3x2一2x十12 分析：由题意可得右图： 则3x+13x-9x+7除以当 3 13-9 7 -1510-5 x十5的商式为3x2-2x十 3 -212 1,余式是2. 第27题答图 28.【解】(1)(-1,2) 分析：'A=2x3-4x2+x+3,则a=2,b=-4,c=1,d=3, .∴.b+d=-4+3=-1,a+b+c+d=2+(-4)+1+3=2, .A的相关点为（一1,2）. (2)由题意得，B的次数不超过1次，(x一3)(2x十1)=2x2 -5.x一3，整式C是B与(x-3)(2x十1)的乘积，且整式C有相 关点，.设B=mx十n, 则C=(mx十n)(2x2-5x-3) =2mx3-5mx2-3m.x+2m.x2-5nx-3n =2mx23+(2n-5m)x2-(3m+5n)x-3n. 整式C的相关点为(0,24)， /2n5m-3m=0, 2m十（2m-5m-（3m十5m-3n=24.解鸦/m n=-5, .整式B的表达式为x-5. (3)E=5x-5或E=一5x+5. 分析：根据题意，设E=sx十t(s≠0)， ∴.F=(sx十t)2(x-3)=(s2x2十2tsx十t2)(x-3)= s2x3+(2ts-3s2)x2+(t2-6ts)x-32, .∴.a=s2,b=2ts-3s2,c=t-6ts,d=-3t」 整式F的相关点为(-200,0)， .2ts-3s2-32=-200,32+2s-332+2-6ts-3=0, .s2+2ts十t2=0. (t+s)2=2+2ts十32，.(t+s)2=0,∴.t=-s 把t=-s代入2ts-3s2-32=-200, 得一2s2-32-3s2=一200，解得s2=25, ∴.s=士5，.当s=5时，t=-5;当s=-5时，t=5, ∴.E=5x-5或E=-5x+5. 11.重难题型卷（四）整式乘法的应用 1.D【解析】m(m-2)+(m+2)2=m2-2m+m2+4m+4= 2m2+2m+4.当m2+m=5时，原式=2(m2+m)+4=2×5+ 4=10十4=14.故选D. 2.6【解析】xy=2,x十y=3,.(x十1)(y+1)=xy十x十 y十1=xy+(x十y)十1=2+3+1=6.故答案为6. 3.【解】原式=(3x5-6x3+3x十6.x3-3x)÷x=3x5÷x4=3x 当x=一1时，原式=3×（一1）=一3. 4.【解】原式=x2-y-x2+2xy=-y2+2xy. 当x=3y=3时，原式=一9+2=-7 5.【解】原式=9a2+6a+1-a2+1=8a2+6a+2=2(4a2+3a)+2, 由条件可知4a2+3a=4,则原式=2×4十2=10. 6子 7.809984【解析】原式=(30一2)×(30+2)×904=(302一2)× 904=(900-4)×(900+4)=9002-42=810000-16= 809984.故答案为809984. 8.1【解析】原式=20242-(2024+1)×(2024-1)=20242一 (20242一1)=1.故答案为1. 9.【解】(1)原式=(100-1)×(100+1)×(10000+1)= (10000-1)×(10000+1)=100000000-1=99999999. (2原式=(0-名)=80-2×80×8+8号 6400-140+程=6260得 10.一x2一2x一4【解析】由题意得A十(2x2十5x一3)=x2十3x 7,所以A=(x2+3x-7)-(2x2+5x一3)=x2+3x-7- 2x2-5x十3=一x2-2x-4.故答案为-x2-2x-4. 11.2x2-5x十2【解析】甲把“+a”抄成“-a”,则(x-a)(2x十 b)=2x2+(-2a十b)x-ab=2x2+3x-2,故-2a+b=3, 一ab=一2.乙漏抄了第二个多项式中x的系数，则(x十a)(x+ b)=x2+(a十b)x十ab=x2-3x+2,故a+b=-3,ab=2.由 一2a十b=3,a+b=一3，解得a=一2，b=一1，.正确的计算 结果为(x-2)(2x-1)=2x2-5x+2.故答案为2x2一5x十2. 12.【解】错误的步骤是第①步，改正：原式=26-(a2-2ab十ab一 26)=26-a2+2ab-ab+28=46+ab-a2. 13.【解】-3x2-14x+33 解答过程如下：因为A十2B=9x2十2x一6，A十B=2x2一4x十 9,所以B=(A+2B)-(A+B)=(9x2+2x-6)-(2x2-4x+ 9)=7x2+6x-15,则A=(A+B)-B=(2x2-4x十9)- (7x2+6x一15)=-5x2-10x+24,故2A+B=2(-5x2 10x+24)+(7x2+6.x-15)=-10x2-20x+48+7x2+6.x 15=-3.x2-14x+33. 14.3【解析】由题意得y=3x-3十5-(a十b)x=(3-a-b)x+ 2,因为不论输入的x值为多大，y都是定值，所以3一α一b=0, 所以a十b=3.故答案为3. 15.0【解析】(-6x3)(x2+ax+1)=-6x5-6ax-6x, ,展开式中不含x项，∴.-6a=0,解得a=0.故答案为0. 16.【解】(2x3-3x2y-2xy)-(x3-2xy+y)+(-x+3xy y)=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy-y2-x3+3x2y-y= 一2y,因为化简的结果中不含x,所以原式的值与x值无关 当y=一1时，原式=一2×（一1）3=2. 17.【解】原式=3x2+a.x-y十6+6bx2+4x-5y十1=(3+6b)x2+ (a十4)x一6y十7，，该多项式的值与字母x的取值无关， 3+6b=0,a+4=0,.a=-4,b=-2 18.【解】(1)m(2x-3)+2m2-4x=2mx-3m+2m2-4x=(2m 4)x+2m2-3m, ,多项式的值与x的取值无关，.2m一4=0，解得m=2. (2).A=(2x+1)(x-2)一x(1-3m)=2x2-3x-2-x十 3mx=2x2+(3m-4)x-2,B=-x2+mx-1,∴.A+2B= 2x2+(3m-4)x-2+2(-x2+mx-1)=2x2+(3m-4)x- 2-2x2+2mx-2=(5m-4)x-4. :A十2B的值与x的取值无关，∴5m-4=0,解得m=号 (3)设AB=x,由题图可知S=a(x-3b),S2=2b(x-2a), .S,-S=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab. :当AB的长变化时，S一S2的值始终保持不变， .S一S的值与x的取值无关，.a一2b=0,.a=2b. 19.A【解析】：(a+1)(a-1)=35,.a2-1=35, .a2=36,∴.a=士6.故选A 20.C【解析】原式=[(x十y)(x-y)]2=(x2-y)2=32=9. 故选C 21.B 22.3【解析】.(s-t)2=4,(s十t)2=16,∴.s2-2st十t=4①， s2+2st+t=16②，②一①得4st=12,.st=3.故答案为3. 23.(1)S3=S1+2S2(2)12 【解析】(1)如图，由题意知： S=a2+B,S2=ab. :S3=(a+b)2 =a2+b+2ab, ∴.S3=S1+2S2. b (2).S1=40,S2=14,a>b>0, 第23题答图