第十五章 轴对称 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ5E 狗 6.第十五章学情调研 (时间：120分钟满分：100分) 一、选择题（共16分，每题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.传统文化篆体（期末·西城区）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它 们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的 是( 酥 苦 C D 2.(期中·北师大附属实验中学)如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的 点，连接PA,PB,下列判断错误的是( A.AM-BM B.∠MAP=∠MBP C.AP=BN D.∠ANM=∠BNM 精品图 钟 金 教育 第2题图 第3题图 第5题图 3.(期中·清华附中望京学校)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D是BC边的中点，则下列 结论不正确的是() A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.∠BAD=∠CAD D.AB=2BC 4.(期中·北京一零一中学)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,一1)，则点A关于x轴的对称点 警0 的坐标是( ) 阳副 A.(3,1) B.(-3,1) 圈) C.(-3,-1) D.(-1,3) 感 5.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20°，AB十BD=AC,将△ABD沿AD所在直线翻折，点B 在AC边上的落点记为点E,那么∠AED的度数是() A.80° B.60 C.40° D.30° 6.(期中·北大附中)如图，在△ABC中，AB<AC<BC,如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点 P,使PA十PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是( B 第6题图 A D 7.(期中·北京五十七中)《蝶几图》是明朝人戈汕厅作的一部组合家具的设计图，如图为某蝶几设计 图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人 位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP,DP.若∠ADQ=25°，则∠DCP的度数 为() A20° B.21° C.24 D.25° B B 第7题图 第8题图 8.(期中·北京八中)如图，在长方形ABCD的对称轴L上找一点P,使得△PAB,△PBC,△PDC, △PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有( ) A.5个 B.4个 C.3个 袋绝盗D.1个 二、填空题（共16分，每题2分） 9.(月考·首师大附中)如图，△ABC与△A'B'C关于直线l对称，则∠B的度数为 ④ ① ③ ② 。。。 N 第9题图 第11题图 第12题图 10.命题“等边对等角”的逆命题是： ,它是 (填“真”或“假”)命题. 11.（期中·北京十四中改编)如图，图中阴影部分是由四个完全相同的正方形拼接而成的，若要在① ②③④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对 称图形，则这个正方形应该添加在区域 .(填序号) 12.(期中·北京二中分校)如图，在△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM=3cm,△ABC的周 长是16cm,则△ABN的周长是 cm. 13.(期末·朝阳区)如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO=30°， 若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 B B 第13题图 第14题图 第15题图 14.(期末·东城区)如图，在△ABC中，∠B=39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将 △ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE= 15.(期中·北京八中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,BD平分 ∠ABC,如果点M,N分别为BD,BC上的动点，那么CM+MN的 最小值是 B, 16.数学归纳（期中·清华附中）如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3, …在射线ON上，点B1,B2,B3,…在射线OM上，△A1BA2, R △A2B2A,△AB3A4,…均为等边三角形，若OA1=a,则△A2BA0 的边长为 A A2 A N ,△AB A+1的边长为 第16题图 三、解答题（共68分，第17题7分，第18题4分，第1922题，每题5分，第23~24题，每题6 分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤 或证明过程. 17.(期中·北京十四中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥ AC交BC于点E,连接AE.若AE=3,求BC的长， 解：.AB=AC, .∠B=∠C( ). (填推理的依据) ∠B=30°， ∴.∠C=30°， 金星教育 ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C= 第17题图 ,点D是AC的中点，且DE⊥AC, ∴.EC=EA=3( ),(填推理的依据) ∴.∠EAC=∠C=30°， .∠BAE=∠BAC-∠EAC= 0 ,在Rt△ABE中，∠B=30°， ∴.BE=2 ∴.BC=BE+EC= 18.(月考·北京东直门中学)在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角 形称为格点三角形.图中△ABC是一个格点三角形.请在图①和图②中各画出一个与△ABC成 轴对称的格点三角形，并画出对称轴： A ① ② 第18题图 19.(期中·清华附中)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F.求证：DE=DF 中 D 第19题图 20.(期末·怀柔区)如图，在△ABC中，DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,连接BD.若 ∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数. B 爱学子 第20题图 拒绝盗印 21.(期中·北京十一学校)尺规作图，保留作图痕迹 如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB上取一点D,使得AD=AC,连接CD,作CD的垂直平分线 交BC于点E. (1)补全图形. (2)∠BAC与∠BCD满足的等量关系是 B 第21题图 一 22.(期中·北京理工大附中)如图，在△ABC中，BD,CD分别为∠ABC,∠ACB的平分线，过点D 作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F,AB=6,AC=12,求△AEF的周长 狗 书期 第22题图 23.(期中·北京中关村中学)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,P,Q分别是边AC,AB上 的点，且AP=PQ=QC=BC,求∠PCQ的度数. P 精品图书 第23题图 金星教育 24.(期中·北大附中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,若∠ABC与∠ACD互补， CD=5,求BC的长. 围 D 第24题图 25.(期末·大兴区)已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点C关于直线AB的对称点 为C,连接CB,点P是线段CB上的一点，连接AP,PD,延长AB到点E,使BE=BD,连接PE. 求证：PD=PE. 第25题图 26.(期中·北京广渠门中学改编)如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交BC 于点D,点A与点E关于直线BC对称，连接BE,CE,延长AD交BE于点F.求证： (1)△BDF是等腰三角形 (2)AB+BD-2AC. 爱学子 拒绝盗印 A 第26题图 9 27.(期中·北京一六六中学)已知等边三角形ABC,点D为AC边上一点，连接BD,在AC的右侧作 射线CM,使∠ACM=∠ABD,延长BD交射线CM于点E,连接AE,作AH⊥ME于点H. (1)如图①，当点D为AC的中点时，∠AEH= ,是的值为 (2)如图②，当点D在AC上运动时 ①直接写出∠BEC的度数； ②用等式表示线段BE,CE,EH之间的数量关系，并证明. M H D ① ② 第27题图 真题圈 精品图书 金星教 2 28.(期末·西城区)在平面直角坐标系xOy中，已知点T(t,0),直线l经过点T且与x轴垂直.对于 图形M和图形N,给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为M1,图形M1关于直线l对 称的图形记为M2,若图形M2与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”. 例如，如图①，当t=一2时，对于点P(1.5,一2.5)和第三象限平分线OQ,点P关于y轴的对称点 是P(-1.5,-2.5),点P1关于直线1的对称点P2(-2.5,一2.5)在射线OQ上，则点P是射线 OQ的“双称图形”， 已知点A(2t,1),B(2t十3,1)，图形N是以线段AB为一边在直线AB上方所作的正方形ABCD, (1)当t=1时，直线1和正方形ABCD如图②所示. ①在H(0,3),R(-4,2),K(3,4)这三个点中，点 是图形N的“双称图形” ②已知点E(m,2),F(m十2,2)，G(m十1,3)，△EFG是图形N的“双称图形”，求m的取值范围. (2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围. 5 4 3 2 -32-y012x R -5-4-3-2-1,2345678x P 盗印必 ② 第28题图 关爱学子 拒绝盗印 0:∠CPB=54°，.∠A+∠ACP=54,∴.∠ACP=36, .∠ACP=2∠A,∴.△ACP是“倍角三角形” ②：∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”， .△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°， .∠BCP的度数为36°或72° 又∠ACB=∠ACP+∠BCP=90°，.∠ACP的度数为54或18. (2)如图①，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条 件，此时∠BCP=45°；如图②，当∠A=60°，CP LAB时，满足 条件，此时∠BCP=60°；如图③，当∠A=60°，∠BPC=100时， 满足条件，此时∠BCP=50°；如图④，当∠B=60°，∠APC= 100时，满足条件，此时∠BCP=40°：如图⑤，当∠B=60°， CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=30. 综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或45°或50° 或60°. ① ③ 1009 100° B D P ⑤ ① 第26题答图 27.【解】(1)∠ADC+∠AEB=2∠A. 证明：由折叠得∠AED=令(180°-∠AEB),∠ADE 合(180°-∠ADC),在△ADE中，∠A+∠AED+∠ADE= 180°，∠A+号(180°-∠AEB)+号(180°-∠ADC)- 180°，整理得∠ADC+∠AEB=2∠A. (2)∠AEB-∠ADC=2∠A. 分析：由折叠得∠ADE=号（∠ADC+180),∠AED- 合180-∠AEB, 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°， ·∠A+2(ZADc+1809)+2180°-∠AEB)=180, 整理得∠AEB一∠ADC=2∠A. 28.【解】(1)补全图形如图①. △ADG△AGF EF=FD+BE A --------1G A B E B E ① ② 第28题答图 (2)上述结论依然成立. 证明：如图②，延长CB至点M,使BM=DF,连接AM :∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，.∠1=∠D. (AB=AD, 在△ABM与△ADF中，∠1=∠D, BM-DF, 真题圈数学八年级上RJ5E .△ABM≌△ADF(SAS).∴.AM=AF,∠3=∠2. '∠EAF=2∠BAD,·∠2+∠4=∠EAR :∠2+∠4=∠3+∠4=∠MAE,∴.∠MAE=∠FAE. (AE-AE, 在△AME与△AFE中，{∠MAE=∠FAE, AM=AF, .∴.△AME≌△AFE(SAS),.EF=EM, ,∴，EF=EM=BE+BM=BE+DF. (3)EF-BE-FD 分析：如图③，在BE上截取BG, 使BG=DF,连接AG. :∠B+∠ADC=180°， A ∠ADF+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中， E (AB=AD, 第28题答图③ ∠B=∠ADF BG=DF, .△ABG≌△ADF(SAS), ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF, ·.∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD-∠EAF=Z∠BAD, ·.∠GAE=∠BAD=∠EAR ,AE=AE,.△AEG≌△AEF(SAS),.EG=EF. .·EG=BE-BG,∴.EF=BE-FD. 6.第十五章学情调研 题号12345678 答案DCDACDAA 1.D2.C3.D4.A 5.C【解析】根据折叠的性质可得BD=DE,AB=AE.,AC= AE+EC,AB+BD=AC,.DE=EC,.∠EDC=∠C=20°， ,∴.∠AED=∠EDC+∠C=40°.故选C. 6.D【解析】PB+PC=BC,PA+PB=BC,.PA=PC, ∴.点P在AC的垂直平分线上，即点P为AC的垂直平分线与 BC的交点.故选D. 7.A【解析】，点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ=25°， ∴.∠PDQ=∠ADQ=25°，AD=DP. ,△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形， .∠CDB=∠ADB=45°，CD=AD, ∴.∠CDP=∠CDB+∠ADB+∠ADQ+∠PDQ=140°. :AD=DP,CD=AD,∴.CD=DP,即△DCP是等腰三角形， ·∠DCP=2(180°-∠CDP)=20.故选A 8.A【解析】i.在线段MN上作点P,使PA=AB,如图①，点P 满足条件；同理在线段MN上作点P,使PB=AB,如图②，点P 满足条件i.在NM的延长线上作点P,使PA=AB,如图③，点 P满足条件；同理在MN的延长线上作点P,使PB=AB,如图 ④，点P满足条件.迅如图⑤，作AB或CD的垂直平分线交1于 点P,点P满足条件.综上可知，满足条件的点P有5个故选A A M ① 9 答案与解析 N D ③ M D P D ④ ⑤ 第8题答图 9.100°【解析】：△ABC与△A'B'C关于直线L对称，∠C= 30°，∠A=50°，.∠C=∠C=30,.∠B=180°-∠A-∠C= 180°-50°-30°=100°.故答案为100° 10.等角对等边真11.④ 12.10【解析】，MN是AC的垂直平分线，∴.AN=NC,AM= MC=3 cm,.'BC=CN+BN=AN+BN,AC=6 cm. 又△ABC的周长是16cm,.AB+BC=10cm, ,∴.△ABN的周长为AB+BN+AN=AB+BC=10cm. 故答案为10. 13.(4,0)【解析】如图，过点A作AD⊥ x轴于点D,∴.∠BAD=90°-30°= 60°，∴.∠OAD=90°-60°=30°. 在Rt△OAD中， -10 B OA=20D=2×1=2, 第13题答图 在Rt△OAB中，OB=2OA=2X2= 4,∴.点B的坐标为(4,0).故答案为(4,0). 14.24°【解析】：点D是AB的垂直平分线与BC的交点， .DA=DB,∴.∠BAD=∠B=39°， .∠ADC=∠B+∠BAD=78°， ∴.∠ADB=180°-∠ADC=102°. 将△ABD沿着AD翻折得到△AED: ∴.∠ADE=∠ADB=102°， ∴.∠CDE=∠ADE-∠ADC=102°-78°=24， 故答案为24°. 15.4.8【解析】如图，过点C作CE ⊥AB于点E,交BD于点M,过 N 点M作MN⊥BC于点N,此时 D人 M CM什MN最小，最小值为CE的长. :在Rt△ABC中，∠ACB=90, E AC=6,BC=8,AB=10,CE⊥ 第15题答图 AB,'Sow-AB CE-AC.BC, ∴.10CE=6×8,∴.CE=4.8,即CM+MN的最小值是4.8. 故答案为4.8. 16.2a2-1a【解析】：△A1B1A2为等边三角形，∠MON= 30°，∴.∠B1A1A2=60°，.∠A1OB1=∠A1BO=30°， OA=A1 B=A2 B=a. 同理A20=AB2=2a=2a,AB=A0=2A0=4a= 22a,…. 依次类推可得△A.B.A+1的边长为AnBn=21a. 故答案为2a;2-1a. 17.【解】等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）120线段 垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等90AE 69 18.【解】如图①②，△DEF即所求（答案不唯一）. E 0 ② 第18题答图 19.【证明】如图，连接AD. ,AB=AC,点D是BC边的中点，∴.AD平分∠BAC ,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴.DE=DF. E B D A 第19题答图 第21题答图 20.【解】DE垂直平分BC,∴.DB=DC,∴.∠DBC=∠C. :∠A=100°，∠ABD=22°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°. :∠DBC+∠C+∠BDC=180,.∠C=180°，122-=29 2 21.【解】(1)补全图形如图所示. (2)∠BAC=2∠BCD 分析：如图，连接DE.由题意知AE垂直平分CD, ∴.DA=CA,DE=EC,.∠DAE=∠CAE,∠ECD=∠EDC ,∠ACB=90°，.∠ACD+∠DCE=90° :∠EAC+∠ACD=90°， .∠DCE-∠EAC=∠DAE,∴.∠BAC=2∠BCD. 22.【解】.'BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB, ∴.∠ABD=∠DBC,∠ACD=∠DCB. :EF∥BC,∴.∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB, .∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD,∴.ED=EB,FD=FC, ,∴.△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF= AE+EB+CF+AF=AB+AC=18,∴.△AEF的周长为18. 23.【解】AP=PQ,∴.∠A=∠PQA,∴.∠QPC=2∠A. 设∠A=x,则∠QPC=2x. PQ=QC,∴.∠QCP=∠QPC=2x, ∴.∠BQC=∠A+∠QCP=3.x. :QC=BC,∴.∠QBC=∠BQC=3x. ,AC=AB,∴.∠ACB=∠ABC=3x,.∠BCQ=x. :∠BQC+∠QBC+∠BCQ=180°，∴.3x+3x+x=180°， x=180 ,∠PcQ-2×180°-360 7 24.【解】如图，延长AB,CD交于点E.,AD 平分∠BAC,CD⊥AD,.∠EAD= ∠CAD,∠ADE=∠ADC=90° 在△ADE和△ADC中，∠EAD= ∠CAD,AD=AD,∠ADE=∠ADC, .△ADE≌△ADC(ASA), ∴.ED=CD=5,∠E=∠ACD :∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与 E------D C ∠CBE互补， 第24题答图 .∠E=∠ACD=∠CBE,∴.BC=CE=2CD=10. 25.【证明】连接AC,如图. C △ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°. :点C关于直线AB的对称点为C', .AC'=AC,BC=BC. /B D 在△ABC和△ABC中， B (AC=AC, 第25题答图 〈BC=BC, (AB=AB, .△ABC≌△ABC(SSS),.∠ABC=∠ABC=60°， ∴.∠PBD=∠ABC+∠ABC=120°，∠PBE=180°-∠ABC= 120°，∴.∠PBD=∠PBE. (PB=PB, 在△PBD和△PBE中，∠PBD=∠PBE, BD-BE. .△PBD≌△PBE(SAS),∴.PD=PE 26.【证明】(1)：AC=BC,∠ACB=90°， .∠CAB=∠CBA=45. :AD是∠CAB的平分线，∴.∠CAD=∠BAD=22.5, .∠BDF=∠ADC=90°-22.5°=67.5. 点A与点E关于直线BC对称，∴AC=EC 又∠ACB=∠ECB,CB=CB,.∴.△ACB≌△ECB(SAS)， .∠EBC=∠ABC=45°，.∠ABF=90, .∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°， .∠BDF=∠AFB,∴.BD=BF,.△BDF是等腰三角形 (2)如图，过点D作DK⊥AB于点K. :AD平分∠CAB, .∠CAD=∠KAD. ,DK⊥AB,∠ACB=90°， .∠AKD=90°=∠ACD. 在△ACD和△AKD中， D ∠ACD=∠AKD, ∠CAD=∠KAD, y AD-AD, K .'.△ACD≌△AKD(AAS), 第26题答图 ∴.AC=AK,CD=DK. :AC=BC,∠ACB=90°，∴.∠KBD=45°， .△KBD是等腰直角三角形，BK=DK,.BK=CD. .AB=AK+BK,..AB=AC+CD, .AB+BD=AC+CD++BD=ACBC=AC+AC=2AC. 27.【解11)602 (2)①∠BEC=60°. ②BE=CE+2EH,证明：如图，在 M BE上截取BK=EC,连接AK, :AB=AC,∠ABK=∠ACE,BK= CE,.△ABK≌△ACE(SAS), .∴.AK=AE,∠BAK=∠CAE, K .∠KAE=∠BAC=60°， B .△AKE是等边三角形， 第27题答图 .∠AEK=60°，AE=EK, ∠BEC=60°，∴.∠AEH=60°. AH⊥CM,∴.∠EAH=30°，.AE=2EH,∴.KE=2EH, .'BE=BK+KE=CE+2EH. 28.【解】(1)①H,K分析：当t=1时，A(2,1),B(5,1),.AB=3. ,四边形ABCD为正方形，.C(5,4),D(2,4). 设点(x,y)是图形N的“双称图形”，第一次对称后的坐标为 (一x,y),第二次对称后的坐标为(2十x,y), 真题圈数学八年级上J5E .2≤2十x≤5,1≤y≤4，.0≤x≤3,1≤y≤4， .点H和K都是图形N的“双称图形”. ②由①可知E2(2+m,2),F2(m十4,2)，G2(m+3,3), 当△EF,G与正方形ABCD有交点时，m十2≤2≤m十4或 m十2≤5≤m十4，∴.-2≤m≤0或1≤m≤3. 2)-8< 分析：设点(x,y)是图形N的“双称图形”，第一次对称后的坐 标为（一x,y),第二次对称后的坐标为(2t十x,y), ∴.A2(4t,1),B2(4t+3,1),C2(41+3,4),D2(4t,4). ,正方形ABCD和正方形A2B,CD2有交点， /42+3,. -3 4t+3≥2t,1 -< 7.重难题型卷（三） 轴对称 1.A【解析】如图，B(2,一3)， B(-2,-3), 4 3 ∴.点B与点B关于y轴对称，即线 A12 段AB与线段A'B'关于y轴对称， .点A的坐标为(1,2).故选A -4-3-2-1,1234x 2.B【解析】：在长方形ABCD中， -2 AD∥BC, B -31 ·B ∴.∠ADB=∠FBD. -4 由折叠的性质可知，DE=AD=5, 第1题答图 ∠FDB=∠ADB, ∴.∠FDB=∠FBD,.FD=FB=3, ∴.EF=DE-DF=5一3=2.故选B. 3.1580【解析】点P关于OA的对称点是P1,点P关于 OB的对称点是P2, ∴.PN=P2N,PM=PM,∴.∠P2=∠P2PN,∠P=∠PPM, ∴.△PMN的周长为PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15. :∠AOB=50°，易知∠P2PP1=130°，.∠P1十∠P2=50°， .∠MPN=130°-50°=80°.故答案为15；80. 4.(1)【解】补全图形如图①. 90°-号 分析：：AB=BC,∠ABC=a, ·∠ACB=∠BAC=(180°-)÷2=90°-号. :点A,F关于BC对称，·∠BCF=∠ACB=90°-号 B M ① ② 第4题答图 (2)①【证明】补全图形如图②，连接AE,AM,设AF交BC于 点H,a=60°，AB=BC,BD=ED,∴.△ABC和△BDE都是 等边三角形，'.BD=BE,∠BAC=∠ACB=∠ABC=∠EBD= 60°，∴.∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD,即∠DBC= (BE=BD, ∠EBA,∴.在△AEB和△CDB中，∠EBA=∠DBC, AB=CB,