广东省潮州市潮安区启成学校2025-2026学年八年级上学期周测数学试卷

**基本信息** 本卷以三角形与多边形为核心，通过生活情境（如窗钩固定、黄河距离测量）与探究任务（如平面密铺、等对角四边形），分层考查几何推理与实际应用能力，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、全等判定、多边形性质|结合生活场景（如窗钩稳定性），基础与综合题结合（如折叠与角平分线综合）| |填空题|5/15|多边形对角线、折叠角度计算、角平分线性质|注重空间观念（如七边形对角线）与推理意识（如折叠后角度转化）| |解答题|8/55|全等证明、密铺探究、测量方案设计|突出创新应用（如平面密铺条件探究）与数学表达（如兰州黄河距离测量方案论证）|

2025-2026学年广东省潮州市潮安区启成学校八年级（上）周测数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 2．（3分）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 3．（3分）如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明CD∥AB，证明过程中判定△CMN≌△EFG的依据是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 4．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AD，BE的中点，已知△ABC的面积为16cm2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 6．（3分）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AD＝4，则AC的取值范围为（　　） A．2＜AC＜14 B．2＜AC＜12 C．1＜AC＜4 D．1＜AC＜8 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝114°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．51° C．59° D．69° 8．（3分）到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（　　） A．三条垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对 9．（3分）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝72°，则∠B的度数为（　　） A．44° B．43° C．36° D．34° 10．（3分）如图，AM是△ABC的角平分线，且MB：MC＝2：3，若∠AMB＝60°，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是　 　 ． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，∠BPC＝　 　 ． 13．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EDC＝36°，则∠B的度数是　 　 ． 14．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　 度． 15．（3分）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，过点F作FG⊥EH于点G，且FE平分∠AFG，∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠EHF＝∠HFD；②∠AFG+∠EHC＝∠FGH；③FD平分∠HFB；④∠E＝60°．其中正确的结论是　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．对于n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2）•180°，根据多边形内角和度数，可求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下： 正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 正多边形内角的度数 60° 90° 108° 120° 135° 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 问题①：如图，通过拼图发现用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是　 　 ． A．内角都是整十数度数 B．边数都是3的整数倍 C．内角整除360° D．内角整除180° 问题②：除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形　 　 ． 问题③：你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究多种正n多边形的密铺． 问题④：已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围密铺，A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．试分别确定A，B是什么正多边形． 问题⑤：用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是　 　 ． 17．（7分）已知：如图，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC．求证：∠1＝∠2． 18．（7分）如图，C是直线AB上一点，D，E是直线AB上方的两点，连接CD，CE，DE． （1）图中与∠D构成同旁内角的角共有　 　 个． （2）添加一个与∠D及其同旁内角相关的条件，使得DE∥AB，并写出平行的理由． 四．解答题（共3小题，满分18分） 19．（9分）兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭A点处，正对他的黄河中B点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点C； ②从C点沿河岸继续向前走与AC等长的距离，到达点D； ③在D点向左转90°（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像C与羊皮筏子B在同一直线上时，停下记作点E． 测量数据 AC＝40米，CD＝40米，DE＝20米 （1）凉亭A与羊皮筏子B之间的距离是 　 　 米； （2）请说明小明做法的正确性． 20．（9分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 21．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝60°，∠D＝95°，∠B≠∠D．求∠B的度数． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，证明：四边形ACED是“等对角四边形”． （3）如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，请你直接写出对角线AC的长． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求∠BEC的度数； （3）过点A作AM⊥DE于点M，若AM＝3.5，BD＝5，求线段BC的长． 23．（14分）数学兴趣小组在学习四边形及其内角和后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“四边形的两个外角的和等于与其不相邻的两个内角的和”．请你完成这个结论的证明，并运用它解题． 已知：在四边形ABCD中，∠MBC和∠NDC是该四边形的两个外角，且∠BAD＝α，∠BCD＝β． 【结论证明】 （1）如图1，证明：∠MBC+∠NDC＝α+β； 【结论应用】 （2）如图2，若BE，DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，探究∠BGD，α，β之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC的平分线的反向延长线BE，DF相交于点G时，∠BGD，α，β之间的数量关系是　 　 ； （4）如图4，当外角的平分线互相平行，即BE∥DF时，α，β之间的数量关系是　 　 ． 2025-2026学年广东省潮州市潮安区启成学校八年级（上）周测数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．（3分）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性． 3．（3分）如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明CD∥AB，证明过程中判定△CMN≌△EFG的依据是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【分析】由尺规作图可知EG＝EF＝CM＝CN，GF＝MN，进而可依据“SSS”判定△EGF和△CNM全等，据此即可得出答案． 【解答】解：由尺规作图可知：EG＝EF＝CM＝CN，GF＝MN， 在△EGF和△CNM中， ， ∴△EGF≌△CNM（SSS）， ∴∠GEF＝∠NCM， ∴CD∥AB． 故选：D． 【点评】此题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图，全等三角形的判定是解决问题的关键． 4．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】由角平分线的性质推出DF＝DE＝2.8，由三角形的面积公式得到（AB+AC）•DE＝16.8，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DF＝DE＝2.8， ∵△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积， ∴AB•DEAC•DF（AB+AC）•DE＝16.8， ∵DE＝2.8，AC＝5， ∴AB＝7． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DF＝DE． 5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AD，BE的中点，已知△ABC的面积为16cm2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 【分析】由三角形的面积公式得到阴影部分的面积S△ABC＝6（cm2）． 【解答】解：∵点D是边BC的中点， ∴S△ACDS△ABC， ∵E是AD的中点， ∴S△CDES△ACDS△ABC， 同理S△BDES△ABC， ∵F是BE的中点， ∴S△DEFS△BDES△ABC， ∴阴影部分的面积＝S△CDE+S△DEFS△ABC16＝6（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出阴影部分的面积S△ABC． 6．（3分）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AD＝4，则AC的取值范围为（　　） A．2＜AC＜14 B．2＜AC＜12 C．1＜AC＜4 D．1＜AC＜8 【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE＝4，连接BE， ∵点D是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ，∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴EB＝AC， ∵AB＝6， ∴2＜BE＜14， ∴2＜AC＜14， 故选：A． 【点评】本题考查对全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，解题的关键是掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想的应用． 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝114°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．51° C．59° D．69° 【分析】先推导求出∠A＝48°，在△ADE中可求得∠ADE+∠AED＝132°，由翻折的性质可得∠ADA′+∠AEA′＝264°，接下来根据两个平角和为360°及∠1的度数即可求出∠2． 【解答】解：∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB， ∵∠A′BC+∠A′CB+∠BA′C＝180°，∠BA′C＝114°， ∴∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣114°＝66°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A′BC+∠A′CB）＝2×66°＝132°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣132°＝48°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣48°＝132°， 由翻折可得，∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，即∠A′DA＝2∠ADE，∠A′EA＝2∠AED， ∠A′DA+∠A′EA＝2（∠ADE+∠AED）＝2×132°＝264°， ∵∠1+∠ADA′＝180°，∠2+∠AEA′＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠ADA′，∠2＝180°﹣∠AEA′， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝360°﹣264°＝96°， ∵∠1＝45°， ∴∠2＝96°﹣∠1＝96°﹣45°＝51°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角定理，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 8．（3分）到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（　　） A．三条垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对 【分析】根据角平分线的性质分析即可． 【解答】解：△ABC的三条角平分线的交点到三条边距离相等， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 9．（3分）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝72°，则∠B的度数为（　　） A．44° B．43° C．36° D．34° 【分析】根据AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线，得出∠FAC＝2∠PAC，∠ECA＝2∠PCA，根据∠P＝72°，得出∠PAC+∠PCA＝108°，根据∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°，得出∠BAC+∠BCA＝144°，最后根据三角形的内角和，得出∠B＝36°． 【解答】解：∵∠P＝72°， ∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣∠P＝180°﹣72°＝108°， ∵∠ACE和∠CAF的平分线交于点P， ∴∠FAC＝2∠PAC，∠ECA＝2∠PCA， ∴∠FAC+∠ECA＝2∠PAC+2∠PCA＝2（∠PAC+∠PCA）＝2×108°＝216°， ∴∠BAC+∠BCA＝360°﹣（∠FAC+∠ECA）＝360°﹣216°＝144°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣144°＝36°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，邻补角的有关计算，解题的关键是根据角平分线和邻补角的定义求出∠BAC+∠BCA＝144°． 10．（3分）如图，AM是△ABC的角平分线，且MB：MC＝2：3，若∠AMB＝60°，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】在AC上截取AD＝AB，过D作DE⊥BC于点E，则∠MED＝∠CED＝90°，证明△ABM≌△DAM（SAS），所以AB＝AD，BM＝DM，∠AMB＝∠DMB＝60°，则∠DME＝60°，得∠MDE＝30°，所以，设MB＝2x，MC＝3x，则ME＝x，则，CE＝MC﹣ME＝3x﹣x＝2x，所以，设点M到AB、AC的距离为h，点A到BC的距离为m，所以，，由MB：MC＝2：3，得到AB：AC＝2：3，设AB＝2a，AC＝3a，则AD＝AB＝2a，所以，然后代入即可求解． 【解答】解：如图，在AC上截取AD＝AB，连接DM，过D作DE⊥BC于点E，则∠MED＝∠CED＝90°， ∵AM是△ABC的角平分线， ∴∠DAM＝∠BAM， 在△ABM和△ADM中， ∵AM＝AM， ∴△ABM≌△ADM（SAS）， ∴BM＝DM，∠AMB＝∠DMB＝60°，AB＝AD， ∴∠DME＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠MDE＝90°﹣60°＝30°， ∴， 由MB：MC＝2：3， 设MB＝2x，则MC＝3x，ME＝x， ∴，CE＝MC﹣ME＝3x﹣x＝2x， ∴， 设点M到AB、AC的距离为h，点A到BC的距离为m， ∴，， ∵MB：MC＝2：3， ∴AB：AC＝2：3， 设AB＝2a，则AC＝3a， ∴AD＝AB＝2a， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是　4　 ． 【分析】多边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（n﹣3）条，由此求解即可． 【解答】解：∵七边形有三个点不能连对角线， ∴7﹣3＝4（条）， ∴七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查多边形的对角线，熟练掌握多边形的对角线条数与顶点个数的关系是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，∠BPC＝　114°　 ． 【分析】根据角平分线定理和三角形内角和定理即可解答． 【解答】解：根据邻补角定义得：∠AEP＝180°﹣∠1，∠ADP＝180°﹣∠2， 根据折叠的性质得：∠AED∠AEP＝90°∠1，∠ADE∠ADP＝90°∠2， ∴∠AED+∠ADE＝180°（∠1+∠2）， ∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°， ∴∠A+180°（∠1+∠2）＝180°， ∴∠A（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2＝96°， ∴∠A＝48°， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，∠BPC＝90°， ∴∠A＝114°， 故答案为：114°． 【点评】此题主要考查了角平分线定义和三角形内角和定理，掌握定理是解题关键． 13．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EDC＝36°，则∠B的度数是　72°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠B＝∠ADE，AB＝AD，由三角形的外角性质推出∠BAD＝∠EDC＝36°，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ADB＝72°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∵∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠EDC＝36°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB（180°﹣36°）＝72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，等边对等角． 14．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝　540　 度． 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质进行计算即可》 【解答】解：∵∠1+∠2+∠5＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠5， ∵∠3＝∠5+∠6，∠4＝∠5+∠7， ∴∠1+∠2+∠3+∠4 ＝360°﹣∠5+∠5+∠6+∠5+∠7 ＝360°+∠6+∠5+∠7 ＝360°+180° ＝540°， 故答案为：540． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和是180°以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是正确解答的关键． 15．（3分）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，过点F作FG⊥EH于点G，且FE平分∠AFG，∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠EHF＝∠HFD；②∠AFG+∠EHC＝∠FGH；③FD平分∠HFB；④∠E＝60°．其中正确的结论是　①②④　 ． 【分析】根据FD∥EH直接得出∠EHF＝∠HFD，判断①正确；根据FD∥EH，FG⊥EH，得出∠GFD＝180°﹣∠FGH＝90°，∠AFG+∠BFD＝180°﹣∠GFD＝90°；根据AB∥CD，得到∠BFD＝∠D，得出∠EHC＝∠D＝30°，求出∠E＝60°，即可判断②④正确；根据已知条件，无法推出∠HFD的度数，即可判断③错误． 【解答】解：∵FD∥EH， ∴∠EHF＝∠HFD， 故①正确，符合题意； ∵FD∥EH，FG⊥EH， ∴∠GFD＝180°﹣∠FGH＝90°， ∴∠AFG+∠BFD＝180°﹣∠GFD＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D； ∵∠AFG＝2∠D， ∴2∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴∠AFG＝2×30°＝60°， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D＝30°， ∴∠EHC+∠AFG＝30°+60°＝90°＝∠FGH， 故②正确，符合题意； ∵∠EGF＝90°，∠EFG＝∠AFE∠AFG＝30°， ∴∠E＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 故④正确，符合题意； 根据已知条件，无法推出∠HFD的度数， ∴无法推出FD平分∠HFB， 故③错误，不符合题意； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了根据平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．对于n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，得到其内角和是（n﹣2）•180°，根据多边形内角和度数，可求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下： 正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 正多边形内角的度数 60° 90° 108° 120° 135° 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 问题①：如图，通过拼图发现用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是C ． A．内角都是整十数度数 B．边数都是3的整数倍 C．内角整除360° D．内角整除180° 问题②：除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形　正六边形可以进行平面密铺　 ． 问题③：你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究多种正n多边形的密铺． 问题④：已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围密铺，A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．试分别确定A，B是什么正多边形． 问题⑤：用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是m+2n＝6　 ． 【分析】（1）平面密铺要求拼接点处所有内角和恰好为360°，据此解答即可； （2）结合（1）的结论，根据正六边形每个内角的度数解答即可； （3）正五边形每个内角的度数为108°，不能整除360°，由此即可得； （4）设正多边形B每个内角的度数为x，则正多边形A每个内角的度数为，建立方程，解方程即可； （5）根据平面密铺要求拼接点处所有内角和恰好为360°列式化简即可． 【解答】解：（1）∵平面密铺要求拼接点处所有内角和恰好为360°， ∴用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是：内角整除360°． 故选：C； （2）∵正六边形每个内角的度数为120°，且360°÷120°＝3， ∴正六边形可以进行平面密铺． 故答案为：正六边形可以进行平面密铺； （3）正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形每个内角的度数为108°，不能整除360°， ∴若干个正五边形的内角无法在拼接点恰好凑成360°，会出现空隙或重叠，即正五边形不能进行密铺． （4）已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围密铺，A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． 设正多边形B每个内角的度数为x，则正多边形A每个内角的度数为， 由题意得：， 解得x＝60°， ∴， ∴由材料中的表格数据可知，正多边形A是正四边形，正多边形B是正三角形． （5）∵正三角形每个内角的度数为60°，正六边形每个内角的度数为120°， ∴60°m+120°n＝360°， ∴m+2n＝6． 故答案为：m+2n＝6． 【点评】本题考查多边形的内角和外角，正确进行计算是解题关键． 17．（7分）已知：如图，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC．求证：∠1＝∠2． 【分析】证明△ABC≌△DCB（SAS），得∠ACB＝∠DBC，即可解决问题． 【解答】证明：在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DCB﹣∠ACB， 即∠1＝∠2． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（7分）如图，C是直线AB上一点，D，E是直线AB上方的两点，连接CD，CE，DE． （1）图中与∠D构成同旁内角的角共有　3　 个． （2）添加一个与∠D及其同旁内角相关的条件，使得DE∥AB，并写出平行的理由． 【分析】（1）根据同旁内角定义进行判断即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行，进行求解即可． 【解答】解：（1）图中与∠D构成同旁内角的角有∠DCB，∠DCE，∠DEC，共3个， 故答案为：3； （2）添加的条件为∠D+∠DCB＝180°，根据题意可以判定DE∥AB． 【点评】本题考查了平行线的判定，同位角、内错角、同旁内角，关键是相关性质的熟练掌握． 四．解答题（共3小题，满分18分） 19．（9分）兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭A点处，正对他的黄河中B点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点C； ②从C点沿河岸继续向前走与AC等长的距离，到达点D； ③在D点向左转90°（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像C与羊皮筏子B在同一直线上时，停下记作点E． 测量数据 AC＝40米，CD＝40米，DE＝20米 （1）凉亭A与羊皮筏子B之间的距离是 　20　 米； （2）请说明小明做法的正确性． 【分析】（1）由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC，且AB与DE是对应边，可知AB＝DE＝20米； （2）由题意可知AC＝CD＝40米，∠A＝∠D＝90°，∠ACB与∠DCE是对顶角，由“ASA”可判定△ABC≌△DEC，则AB＝DE＝20米，说明小明的方案是正确的． 【解答】（1）解：由题意可知，△ABC≌△DEC，DE＝20米， ∴AB＝DE＝20米， 故答案为：20； （2）证明：由题意可知，∠A＝∠D＝90°，AC＝DC＝40米， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE＝20米， 即测得DE的长就是凉亭与游船之间的距离． 因此，小明的方案是正确的． 【点评】此题考查全等三角形的应用，函数的表示方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． 20．（9分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 【分析】（1）直接利用SAS证明△ACE≌△BDF即可； （2）根据全等三角形的性质得到BD＝AC＝2，则AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【解答】（1）证明：∵AD＝BC， ∴AD﹣CD＝BC﹣CD，即AC＝BD， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）； （2）解：∵△ACE≌△BDF，AC＝2， ∴BD＝AC＝2， 又∵AB＝8， ∴CD＝AB﹣BD﹣AC＝8﹣2﹣2＝4． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 21．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝60°，∠D＝95°，∠B≠∠D．求∠B的度数． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，证明：四边形ACED是“等对角四边形”． （3）如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，请你直接写出对角线AC的长． 【分析】（1）利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2）先判断出∠ACD＝∠A，进而判断出∠CED＝∠A，最后判断出∠ACE≠ADE，即可得出结论； （3）先构造直角三角形求出AB和BC，最后用勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝∠C，∠B≠∠D， ∴∠C＝∠A， ∵∠A＝60°， ∴∠C＝60°， ∵∠D＝95°， ∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠D＝145°； （2）证明：∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠ACD＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB+∠ACD＝90°， ∴∠DCB+∠A＝90°， ∵DE⊥CD， ∴∠CED+∠BCD＝90°， ∴∠CED＝∠A， ∵∠ACE＝90°，∠ADE＞90°， ∴∠ACE≠ADE， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：对角线AC的长为；理由如下： 已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，如图 3，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F， ∴∠ADE＝30°， ∴AEAD＝2， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：DE2， ∴BE＝AB﹣AE＝3， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠B＝90°， ∴∠DFB＝∠DEB＝∠B＝90°， ∴四边形DEBF是矩形， ∴DF＝BE＝3，BF＝DE＝2， 在Rt△DCF中，∠BCD＝60°， ∴∠CDF＝30°， ∴DC＝2CF， 由勾股定理得：CD2﹣CF2＝DF2， ∴（2CF）2﹣CF2＝32， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解答本题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求∠BEC的度数； （3）过点A作AM⊥DE于点M，若AM＝3.5，BD＝5，求线段BC的长． 【分析】（1）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，推出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，得到∠BAD＝∠CAE，即可证明△ABD≌△ACE； （2）由题意得：AD＝AE，∠DAE＝90°，得到∠ADE＝∠AED＝45°，∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，由（1）△ABD≌△ACE，得到∠AEC＝∠ADB＝135°，即可求得∠BEC的度数； （3）已知AM⊥DE，得到∠AMD＝∠AME＝90°，△ADM和△AEM都是等腰直角三角形，推出DM＝EM＝AM＝3.5．BE＝12，由（1）△ABD≌△ACE，得到CE＝BD＝5，在Rt△BEC中，利用勾股定理即可求得线段BC的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC． ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． （2）解：∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°． ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°． ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC． ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠AEC＝∠ADB＝135°． ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°． （3）解：∵AM⊥DE， ∴∠AMD＝∠AME＝90°． ∵∠ADE＝∠AED＝45°， ∴△ADM和△AEM都是等腰直角三角形． ∴DM＝EM＝AM＝3.5． ∴BE＝BD+DM+EM＝5+3.5+3.5＝12． ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC． ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD＝5． 在Rt△BEC中， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23．（14分）数学兴趣小组在学习四边形及其内角和后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“四边形的两个外角的和等于与其不相邻的两个内角的和”．请你完成这个结论的证明，并运用它解题． 已知：在四边形ABCD中，∠MBC和∠NDC是该四边形的两个外角，且∠BAD＝α，∠BCD＝β． 【结论证明】 （1）如图1，证明：∠MBC+∠NDC＝α+β； 【结论应用】 （2）如图2，若BE，DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，探究∠BGD，α，β之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC的平分线的反向延长线BE，DF相交于点G时，∠BGD，α，β之间的数量关系是　∠BGD（α﹣β）　 ； （4）如图4，当外角的平分线互相平行，即BE∥DF时，α，β之间的数量关系是　α＝β　 ． 【分析】（1）根据四边形的内角和是360°以及平角的定义进行计算即可； （2）由（1）的结论以及三角形外角的性质进行计算即可； （3）由（2）的结论进行解答即可； （4）根据（2）的结论以及平行线的性质即可的长答案． 【解答】（1）证明：∵∠α+∠β+∠ABC+∠ADC＝360°，∠MBC+∠ABC+∠ADC+∠NDC＝180°+180°＝360°， ∴∠MBC+∠NDC＝α+β； （2）解：∠BGD（β﹣α），理由如下：如图2， 由（1）得∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE平分∠MBC，DF平分∠NDC， ∴∠MBG＝∠CBG∠MBC，∠NDG＝∠CDG∠NDC， ∴∠MBG+∠NDC（∠MBC+∠NDC）（α+β）， 连接AG， ∵∠MBG＝∠BGA+∠BAG，∠NDG＝∠DGA+∠DAG， ∴∠MBG+∠NDG＝∠BGA+∠BAG+∠DGA+∠DAG， 即∠MBG+∠NDG＝∠BGD+α ∴（α+β）＝∠BGD+α， ∴∠BGD（β﹣α）； （3）解：∠BGD（α﹣β），理由如下：如图3， 由（1）得∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE平分∠MBC，DF平分∠NDC， ∴∠MBP＝∠CBP∠MBC，∠NDQ＝∠CDQ∠NDC， ∴∠CBP+∠CDQ（∠MBC+∠NDC）（α+β）， 连接AG， ∵∠CBP＝∠BCG+∠BGC，∠CDQ＝∠DCG+∠DGC， ∴∠CBP+∠CDQ＝∠BCG+∠BGC+∠DCG+∠DGC， 即∠CBP+∠CDQ＝∠BGD+β， ∴（α+β）＝∠BGD+β， ∴∠BGD（α﹣β）， 故答案为：∠BGD（α﹣β）； （4）解：α＝β，理由如下： 如图4，过点C作CH∥BE，则CH∥BE∥DF， ∵CH∥BE∥DF， ∴∠EBC＝∠BCH，∠FDC＝∠DCH， ∴∠EBC+∠FDC＝∠BCH+∠DCH＝∠BCD＝β， 由（2）得，∠EBC+∠FDC（α+β）， ∴（α+β）＝β， ∴α＝β， 故答案为：α＝β． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握多边形内角和的计算方法，三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行线的性质是正确解答的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/3 15:56:38；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $