第1章一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册一元二次方程，覆盖定义、解法、应用等核心知识，通过实际情境与跨学科问题设计，适配单元复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|一元二次方程定义、公式法、应用题|基础巩固，如第3题插秧机降价问题，体现模型意识| |填空题|8题|方程解法、参数取值、韦达定理|能力提升，如第14题奶茶销售利润，培养数据意识| |解答题|8题|多种解法、综合应用、创新实践|创新应用，如24题赵爽配方拼图，融合文化与几何直观；22题等腰三角形与方程结合，发展推理能力|

2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第1章 一元二次方程 一、选择题 1．下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是不等式，不是方程，故A不符合要求． B．分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求． C．整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程，故C符合要求． D．含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求． 2．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式为：， a、b、c的值分别是， 故选：C． 3．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 4．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】B 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 5．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 6．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 7．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 【答案】A 【解答】解：由题意得，BC＝60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， 根据羊圈的面积为600m2，得x（62﹣2x）＝600， 故选：A． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴ 二次项系数满足 ，即 ， 根的判别式满足 ， 解得 综上，的取值范围是且． 故选：C． 2、 填空题 9．一元二次方程的解是______． 【答案】4或/或4 【详解】解：， 开方得：． 10．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 11．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 14．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 15．已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【详解】解：，是方程的两个根， 则，，故． 16．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且，则k的值是　 　 ． 【答案】1． 【解答】解：由根与系数的关系得x1+x2＝2k，， ∵， ∴， ∴（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4， 整理可得k2+k﹣2＝0， 解得k＝﹣2或k＝1， ∵一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）＝4k≥0， ∴k≥0， ∴k＝1． 故答案为：1． 3、 解答题 17．解方程 (1)（配方法）； (2)（用适当的方法） (3) （用适当的方法） (4)（公式法）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， 解得， 解得； （2）解：， ， 可得， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， 可得， 可得， 解得． 18．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 19．（6分）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 20．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 21．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【答案】(1)， (2)长方形的面积存在最大值，最大值为9， 理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9． 【分析】本题主要考查配方法的应用． （1）根据题干中所给的配方法可进行求解； （2）由题意可得长方形的面积为，然后根据配方法可进行求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2） 略 22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0 （1）当k＝1时，请判断此方程根的情况． （2）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （3）若等腰△ABC的一边长为a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 【答案】（1）方程有两个相等的实数根；（2）见解析；（3）三角形的周长为16或22． 【解答】（1）解：∵Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k） ＝（k﹣1）2， 当k＝1时，Δ＝0，则方程有两个相等的实数根； （2）证明：Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2， ∵（k﹣1）2≥0， ∴Δ≥0， 所以无论k取什么实数值，方程总有实数根； （3）解：原方程因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0， 解得：x1＝2k，x2＝k+1， ∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k，c＝k+1， 当a、b为腰，则a＝b＝6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4＝16； 当b、c为腰，则k+1＝2k，解得k＝1， ∴b＝c＝2，这种情况不成立； 当a、c为腰k+1＝6则k＝5， ∴b＝10， ∴三角形的周长为：6+6+10＝22． 综上，三角形的周长为16或22． 23．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【答案】(1)； (2)的长度为16米 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 24．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期单元测试卷 第1章 一元二次方程 一、选择题 1．下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 3．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 5．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 6．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 7．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 2、 填空题 9．一元二次方程的解是______． 10．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 11．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 12．设，是方程的两个根，则________． 13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 14．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 15．已知，是方程的两个根，则__________． 16．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且，则k的值是　 　 ． 3、 解答题 17．解方程 (1)（配方法）； (2)（用适当的方法） (3) （用适当的方法） (4)（公式法）； 18．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 19．（6分）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 20．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 21．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    、 22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0 （1）当k＝1时，请判断此方程根的情况． （2）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （3）若等腰△ABC的一边长为a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 23．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 24．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 学科网（北京）股份有限公司 $