25.1--25.2.1 一元二次方程的概念+配方法--导学案--2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程，通过雕像设计、矩形铁皮制作方盒等实际问题导入，引导学生从具体情境中抽象出一元二次方程概念，衔接平方根、完全平方式复习，搭建直接开平方法到配方法的学习支架。 资料以生活化情境培养学生数学眼光，通过问题链引导观察方程共性发展推理意识，例题与分层练习助力掌握配方法，用方程表达实际问题强化模型意识，有效提升学生抽象能力与应用能力。

25 一元二次方程 25.1、一元二次方程的概念 引言 在设计人体雕像时，使雕像的腰以上与腰以下的身长比，等于腰以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为5m，那么它的腰以下应设计为多高？ 如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系： AC:BC=BC:5，即 BC2=5AC. 设雕像腰以下高xm，可得方程 x2=5(5-x) 整理得 x2+5x-25=0 ① 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒底面积为3600cm2，得 (100-2x)(50-2x)=3600 整理，得 4x2-300x+1400=0 化简，得 x2-75x+350=0 ② 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸. 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队参赛？ 全部比赛的场数为 4×7=28. 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它(x-1)个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场. 列方程x(x-1)=28，整理，得，化简，得 x2-x=56 ③ 由方程③可以得出参赛队数. 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+5x-25=0 ① x2-75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 思考 方程①②③有什么共同点？ 特点：(1) 都是整式方程；(2) 只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是2. 4x2=9，x2+3x=0，3y2-5y=7-y等也是这样的方程. 像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. · 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例如，x=8是x2-x=56的解. 例1 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 练习1 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项： 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； (2) 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 25.2、降次----解一元二次方程 复习：1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. a(a≥0)的平方根记作：±. x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知， x＝±. 2.完全平方式：a2＋2ab＋b2＝(_____)2，a2_________＝(a－b)2 3.练一练：若x2＝16，则x＝____；x2－6x＋9＝_______. 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm 2. 根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2＝1500 ① 整理，得 x2＝25 根据平方根的意义，得 x＝±5 即 x1＝5，x2＝-5 可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm. 一般地，对于方程 x2＝p， (Ⅰ) (1) 当p＞0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根 x1＝，x2＝-； (2) 当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根 x1＝x2＝0； (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根. 探究 对照前面解方程10×6x2=1500 ①的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5及9x2-12x+4=3？ 在解方程①时，由方程x2=25得x=±5. 由此想到： 由方程 (x+3)2=5， ② 得 x+3=± 即 x+3=，或x+3=-. ③ 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 x1=-3+，x2=-3-. 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. 由方程 9x2-12x+4=3 化成 (3x-2)2=3 得 3x-2=± 即 3x-2=，或3x-2=-. 于是，方程9x2-12x+4=3的两个根为 ， 知识梳理 ●知识点一 直接开平方 方程 x2=p(p≥0)的解为x1=，x2=-. 由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n=或mx+n=-. ●知识点二 降次思想 一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种方法. 练习2 解下列方程： (1) 2x2-8=0 (2) 9x2-5=3 (3) (x+6)2-9=0 (4) 3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6) 9x2+5=1 25.2.1 降次----解一元二次方程之一（配方法） 复习： 1.在代数式x2-2x中，一次项系数为____. 2.若a=b，则a+5=b+___. 3.应用完全平方公式填空： (1) x2+6x+___=(x+3)2 (2) x2-12x+___=(x-___)2 探究 怎样解方程x2+6x+4=0？ x2+6x+9=5 (x+3)2=5 完全平方形式(x+3)2，5非负数 直接开平方法(降次)解方程 x+3=± → x+3=，或x+3=- → ∴ x1=-3，x2=--3 能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？ x2+6x+4=0(移项)→x2+6x=-4(两边加9(即)使左边配成x2+2bx+b2的形式)→x2+6x+9=-4+9(左边写成完全平方形式)→(x+3)2=5(直接开平方(降次))→x+3=±→x+3=，或x+3=-(解一次方程)→x1=-3，x2=--3 为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？ · 像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两一个一元一次方程来解. 例1 解下列方程： (1) x2-8x+1=0 (2) 2x2+1=3x (3) 3x2-6x+4=0 解：(1)移项，得 x2-8x=-1 配方，得 x2-8x+42=-1+42 (x-4)2=15 由此可得 x-4=± ∴ x1=4+，x2=4- 解：(2)移项，得 2x2-3x=-1 二次项系数化为1，得 x2-x=- 配方，得 x2-x+()2=-+()2 由此可得 x-=± ∴ x1=1，x2= 解：(3)移项，得 3x2-6x=-4 二次项系数化为1，得 x2-2x=- 配方，得 x2-2x+12=-+12 (x-1)2=- 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根. 归纳总结 · 配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)把常数项移到方程的右边； (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1； (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数； (5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p (Ⅱ) (1) 当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根 x1＝－n－，x2＝－n＋； (2) 当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n； (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根. 练习3 1.填空： (1) x2+10x+___=(x+__)2 (2) x2-12x+___=(x-__)2 (3) x2+5x+___=(x+__)2 (4) x2-x+___=(x-__)2 2.解下列方程： (1) x2+10x+9=0 (2) x2-x-=0 (3) 3x2+6x-4=0 (4) 4x2-6x-3=0 (5) x2+4x-9=2x-11 (6) x(x+4)=8x+12 答案： 练习1 2、（1）解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0. （2）解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0. （3）解：x=(1-x)2，化成一般形式为x2-3x+1=0. 练习2 (1) 2x2-8=0 (2) 9x2-5=3 (3) (x+6)2-9=0 解：(2)9x2=8 x2= x =± ∴ x1=，x2=- 解：(3)( x+6)2=9 x+6=±3 即x+6=3，或x+6=-3 ∴ x1=-3，x2=-9 解：(1)2x2=8 x2=4 x =±2 ∴ x1=2，x2=-2 (4) 3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6) 9x2+5=1解：(6) 9x2=-4 x2=- ∵ ∴ 方程无实数根. 解：(5) ( x-2)2=5 x-2=± 即x-2=，或x-2=- ∴ x1=2+，x2=2- 解：(4) 3( x-1)2=6 ( x-1)2=2 x-1=± 即x-1=，或x-1=- ∴ x1=+1，x2=-+1 练习3 解：(1)移项，得 x2+10x=-9 配方，得 x2+10x+52=-9+52 (x+5)2=16 由此可得 x+5=±4 ∴ x1=-1，x2=-9 解：(2)移项，得 x2-x= 配方，得 x2-x+()2=+()2 (x-)2=2 由此可得 x-=± ∴ x1=+，x2=- 解：(3)移项，得 3x2+6x=4 二次项系数化为1，得 x2+2x= 配方，得 x2+2x+12=+12 (x+1)2= 由此可得 x+1=± 解：(4)移项，得 4x2-6x=3 二次项系数化为1，得 x2-x= 配方，得 由此可得 ∴ ， 解：(5)移项，合并得 x2+2x=-2 配方，得 x2+2x+12=-2+12 (x+1)2=-1 ∵ -1＜0 ∴ 原方程无实数根 解：(6)去括号，得 x2+4x=8x+12 移项，合并得 x2-4x=12 配方，得 x2-4x+22=12+22 (x-2)2=16 由此可得 x-2=±4 ∴ x1=6，x2=-2 学科网（北京）股份有限公司 $