第三单元 数与运算的再认识［单元自测•能力提升］-2026-2027学年数学六年级上册（苏教版·新教材）

**基本信息** 聚焦“数与运算的再认识”单元，通过整数、小数、分数运算算理的跨域对比与历史情境（如《九章算术》“经分”），强化运算一致性理解，适配单元复习，提升抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题10分|运算单位直接加减、计数单位比较|第4题古代符号计数，渗透文化传承| |填空题|27分|分数除法、运算算理一致性|第7题结合《九章算术》情境，体现数学文化| |解答题|33分|分数乘除算理、运算定律应用|23题画图表示算理，25-28题通过“拆分—重组”探究跨数域运算逻辑，发展数学表达|

绝密★启用前 第三单元 数与运算的再认识［单元自测•能力提升］ 试卷总分：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题（每题2分，共10分） 1．下面算式中的3和5能直接相加的是（    ）。 A．823＋451 B．2.34＋7.05 C． D． 2．观察7、0.7和这三个数，它们的（    ）相同。 A．大小 B．计数单位 C．计数单位的个数 D．数位 3．在解释“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的有（    ）。    分数除以整数① 面积为1       整数除以分数② 分数除以分数③ 每2张一份    整数除以整数④ A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．有①②③④ 4．在没有产生现在的数字和数位之前，人们用特殊的符号表示计数单位，用这些单位相加的形式表示数。假设用|表示一，∩表示十，△表示百，○表示千。例如1231，用符号表示成○△△∩∩∩｜。那么用符号表示3214，正确的是（    ）。 A．○○○○△∩∩||| B．○○○△△|∩∩∩∩ C．○○○△△∩|||| D．○○○∩∩|△△△△ 5．学习要善于比较和总结，结合下表对学过的整数、小数和分数的加减法进行归纳，发现整数、小数、分数加减计算的相同点：只有（    ）相同，才能直接相加减。 整数 个十加个十 小数 个减个 分数 个加个 A．位数 B．计数单位 C．数位 D．数级 二、填空题（每空1分，共27分） 6．小刚小时骑行6千米，平均每小时骑行( )千米，平均每千米需要( )小时。 7．在我国古代数学著作《九章算术》中，分数除法被称为“经分”。例如，照样子算一算______。 8．观察下列算式：①45－32；②0.45＋3.2；③4.5＋3.2；④；⑤。这些算式中“5”和“2”可以直接相加减的是( )（填序号）。从这些算式可以发现整数、小数和分数加、减法计算的原理是一样的，当( )相同时才能直接相加减。 9．是由( )个组成的，6008是由( )个千和( )个一组成的，0.06是由( )个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 10．计算整数、小数、分数乘法的运算道理其实是一样的，请你想一想，填一填。 ①200×40＝（2×100）×（4×10）＝（2×4）×（100×10）＝8×1000＝8000 ②0.2×0.04＝（2×0.1）×（4×0.01）＝（2×4）×（_____________________）＝8×0.001＝0.008 ③（____________）（_____________）_____________ 11．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 20×300＝6000 0.2×0.03＝0.006 12．在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是( )，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自( )个数的累加。 13．观察下面算式的计算过程，想一想，整数、小数和分数的加、减法在计算时有什么联系？ 我发现：无论是整数、小数还是分数，在加减计算的过程中都是：( )相加减。 14．“乐学”小组在整理复习时发现了整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如下所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整并填一填。 我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个（    ）相乘得到新的计数单位，若干个（    ）相乘得到新的计数单位的个数。 15．淘气在学习过程中通过对比发现数的运算算理其实是相通的。他写出了四道算式：              上面的算式中的“4”和“1”不可以直接相加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，1表示1个( )。从这些算式中，我们发现，整数、小数、分数加减法的算理是一样的，相同的( )才可以相加减。 三、判断题（每题2分，共10分） 16．整数、分数的大小都是其单位个数的累加。( ) 17．整数、分数和小数每相邻两个计数单位间的进率都是十。( ) 18．整数加减、小数加减、分数加减的共同之处：都是相同计数单位个数的累加和递减。( ) 19．一个数除以另一个数（除数不为零），就相当于乘这个数的倒数。( ) 20．在计算2.6＋4.3时，错把2.6看成了26，算出的结果比正确结果多23.4。( ) 四、计算题（共20分） 21．计算下面各题，能简算的要简算。                             4.35×101－4.35                             3.36×5.7＋66.4×0.57 22．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 五、解答题（共33分） 23．（1）在长方形中画一画、涂一涂，表示出计算的道理和结果。 （2）在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40＝（2×10）×（4×10）＝（2×4）×（10×10）＝8×100＝800 ②0.2×0.4＝（2×0.1）×（4×0.1）＝（2×4）×（0.1×0.1）＝8×0.01＝0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③＝ 24．解释说明。 在计算分数除以整数“÷3＝”时，小林和小欣用了不同的方法。 小林的方法：用分数的分子除以整数的商作分子，分母不变，即； 小欣的方法：分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数，即。 请你选择其中一种方法解释可以这样算的道理。 25．经过多年的数学学习，淘气发现在计算乘法时，还可以从计数单位的角度来运算。比如： 整数乘法 30×40 ＝（3×10）×（4×10） ＝（3×4）×（10×10） 小数乘法 0.3×0.4 ＝（3×0.1）×（4×0.1） ＝（3×4）×（0.1×0.1） 按照这样的思路，分数乘法是不是也有以上的计算方法呢？如果有，请用这样的方法计算如果没有，请说明理由。 26．在“数的运算一致性”主题探究活动中，兴趣小组对整数与小数的乘法算法展开了深度拆解，发现二者在运算逻辑上高度统一，以下是他们探究片段： (1)上述运算过程中，小组同学运用了( )和( )这两种运算定律。 (2)请你仿照上述“拆分—重组—计算”的思路，以为例，完整写出这道分数乘法的运算过程。 (3)结合整数、小数、分数乘法的运算案例，思考并填空。 两个数相乘，等于这两个数的( )的积，去乘( )的积。 27．小智用下面的方法计算了整数乘法。 40×30                            0.4×0.2                             ＝（4×10）×（3×10）            ＝（4×0.1）×（2×0.1）            ＝（4×_____）×（2×_____） ＝（4×3）×（10×10）            ＝（___×___）×（___×___）    ＝（___×___）×（___×___） ＝12×100                        ＝______×______                ＝______×______ ＝1200                            ＝______                        ＝______ (1)请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。 (2)小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。 28．数学课上李老师让同学们根据下图写乘法算式。 小美列出的算式是：3×3＝9，她解释：“图中的一个○表示计数单位‘一’那么这幅图就可以表示3个3，所以列式是3×3”。 小晋列出的算式是：30×3＝90；小丽列出的算式是：0.3×3＝0.9。 (1)小晋和小丽的算式对吗？请解释其中的道理。 (2)这幅图还可以表示哪个算式？请你写出一个算式。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 第三单元 数与运算的再认识［单元自测•能力提升］ 试卷总分：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题（每题2分，共10分） 1．下面算式中的3和5能直接相加的是（    ）。 A．823＋451 B．2.34＋7.05 C． D． 【答案】C 【分析】只有计数单位相同的数才能直接相加，据此判断各选项即可。 【详解】A．823中的3在个位，计数单位是1；451中的5在十位，计数单位是10，计数单位不同，3和5不能直接相加。 B．2.34中的3在十分位，计数单位是0.1；7.05中的5在百分位，计数单位是0.01，计数单位不同，3和5不能直接相加。 C．的分数单位是，的分数单位是，计数单位相同，3和5可以直接相加。 D．的分数单位是，的分数单位是，计数单位不同，3和5不能直接相加。 2．观察7、0.7和这三个数，它们的（    ）相同。 A．大小 B．计数单位 C．计数单位的个数 D．数位 【答案】C 【分析】根据数位顺序表可知，小数点的左边是整数位，小数整数部分的数位与整数的数位相同，依次是个位、十位、百位、千位……，对应的计数单位分别是一、十、百、千……；小数点的右边是小数位，依次是十分位、百分位、千分位……，对应的计数单位分别是十分之一或、百分之一或、千分之一或……；数位上是几，就表示有几个这样的计数单位。 【详解】A．，因为，所以，这三个数的大小不相同，此选项错误； B．的计数单位是一，的计数单位是，的计数单位是，计数单位不相同，此选项错误； C．里面有个一，里面有个，里面有个，计数单位的个数都是，它们计数单位的个数相同，此选项正确； D．在个位，的在十分位，数位不相同，此选项错误。 3．在解释“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的有（    ）。    分数除以整数① 面积为1       整数除以分数② 分数除以分数③ 每2张一份    整数除以整数④ A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．有①②③④ 【答案】D 【分析】根据除法的意义：表示一个数里面有几个另一个数；商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；据此逐一分析各算式即可。 【详解】①把单位“1”平均分成3份，取其中2份，就是，除以4表示把平均分成4份，其中的一份是多少，用算式：表示，即除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，合理； ②表示整体“1”里面有3个，表示“1”里面有（4×3）个，可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，合理； ③根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）商不变。可得，即分数除以分数等于分数乘除数的倒数，合理； ④把单位“1”平均分成6份，其中的一份是，6÷3表示6个单位“1”的是多少，用算式表示为：。可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，合理。 所以解释合理的有①②③④。 4．在没有产生现在的数字和数位之前，人们用特殊的符号表示计数单位，用这些单位相加的形式表示数。假设用|表示一，∩表示十，△表示百，○表示千。例如1231，用符号表示成○△△∩∩∩｜。那么用符号表示3214，正确的是（    ）。 A．○○○○△∩∩||| B．○○○△△|∩∩∩∩ C．○○○△△∩|||| D．○○○∩∩|△△△△ 【答案】C 【分析】先把3214按数位拆分，3个千、2个百、1个十、4个一，对应符号：○代表千，△代表百，∩代表十，|代表一，对应写出3个○，2个△，1个∩，4条竖线。 【详解】用符号表示3214，正确的是○○○△△∩｜｜｜｜ 5．学习要善于比较和总结，结合下表对学过的整数、小数和分数的加减法进行归纳，发现整数、小数、分数加减计算的相同点：只有（    ）相同，才能直接相加减。 整数 个十加个十 小数 个减个 分数 个加个 A．位数 B．计数单位 C．数位 D．数级 【答案】B 【分析】整数加减法中，相同数位上的数才能直接相加减，本质是相同计数单位相加减；小数加减法小数点对齐，也是让相同计数单位相加减；分数加减法中，分数单位相同才能直接相加减。由此可知，整数、小数、分数加减计算的相同点是只有计数单位相同，才能直接相加减。 【详解】A．位数相同不一定能直接相加减，不符合题意； B．计数单位相同，才能直接相加减，符合题意； C．数位是整数和小数中的说法，分数加减法中要看分数单位是否相同，不符合题意； D．数级不是三类数加减计算都要依据的共同点，不符合题意。 所以整数、小数、分数加减计算的相同点是只有计数单位相同，才能直接相加减。 二、填空题（每空1分，共27分） 6．小刚小时骑行6千米，平均每小时骑行( )千米，平均每千米需要( )小时。 【答案】 / 【分析】求平均每小时骑行多少千米，根据数量关系“速度＝路程÷时间”列式计算；求平均每千米需要多少小时，即求行单位路程所需的时间，根据数量关系“时间÷路程”列式计算。 【详解】平均每小时行驶的距离：（千米） 平均每千米需要的时间：（小时） 7．在我国古代数学著作《九章算术》中，分数除法被称为“经分”。例如，照样子算一算______。 【答案】 //1.5 【分析】观察题干中给出的“经分”法示例：。可以看出，该方法的计算思路是：利用分数的基本性质，先将除数通分，使其分母与被除数的分母相同，然后直接用被除数的分子除以除数的分子，最后将结果化为最简分数。本题要求“照样子算一算”，即需采用这种同分母分数除法的方法进行解答。 【详解】根据“经分”法的计算规律，先将和通分，化为同分母分数，再进行计算。 ＝＝1.5。 8．观察下列算式：①45－32；②0.45＋3.2；③4.5＋3.2；④；⑤。这些算式中“5”和“2”可以直接相加减的是( )（填序号）。从这些算式可以发现整数、小数和分数加、减法计算的原理是一样的，当( )相同时才能直接相加减。 【答案】 ①③④ 计数单位 【分析】只有当两个数中对应数字所在的数位相同（整数和小数）或者分数单位相同（分数）时，这两个数字才能直接进行加减运算。在数学上，这统称为“计数单位”。因此，整数、小数和分数加减法计算的原理是一样的，当计数单位相同时才能直接相加、减。 【详解】①45－32：在45中，数字“5”在个位上，表示5个一；在32中，数字“2”也在个位上，表示2个一，因为它们的计数单位都是“一”，所以“5”和“2”可以直接相减。 ②0.45＋3.2：在0.45中，数字“5”在百分位上，表示5个0.01；在3.2中，数字“2”在十分位上，表示2个0.1。因为它们的计数单位不同（一个是0.01，一个是0.1），所以“5”和“2”不能直接相加。 ③4.5＋3.2：在4.5中，数字“5”在十分位上，表示5个0.1；在3.2中，数字“2”也在十分位上，表示2个0.1.因为它们的计数单位都是“0.1”，所以“5”和“2”可以直接相加。 ④：在中，分子“5”表示5个；在中，分子“2”表示2个，因为它们的分数单位（计数单位）都是，所以“5”和“2”可以直接相减。 ⑤：在中，分子“1”表示1个；在中，分子“2”表示2个。题目问的是“5”和“2”能否直接相加。这里的“5”是第一个分数的分母，表示把单位“1”平均分成5份，它不是表示数量的分子，不能与第二个分数的分子“2”直接相加。 因此，可以直接相加减的是①③④。从这些算式可以发现整数、小数和分数加、减法计算的原理是一样的，当计数单位相同时才能直接相加减。 9．是由( )个组成的，6008是由( )个千和( )个一组成的，0.06是由( )个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 【答案】 3 6 8 6 【分析】分数的计数单位是，是由3个组成的； 根据数位和计数单位知识可知，6008是由6个千和8个一组成的； 两位小数的计数单位是0.01，0.06是由6个0.01组成的。 【详解】是由3个组成的，6008是由6个千和8个一组成的，0.06是由6个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 10．计算整数、小数、分数乘法的运算道理其实是一样的，请你想一想，填一填。 ①200×40＝（2×100）×（4×10）＝（2×4）×（100×10）＝8×1000＝8000 ②0.2×0.04＝（2×0.1）×（4×0.01）＝（2×4）×（_____________________）＝8×0.001＝0.008 ③（____________）（_____________）_____________ 【答案】 【分析】（1）整数乘法的分解过程，发现其规律是将数分解为“数字”与“计数单位”的乘积，再利用乘法交换律和结合律，将“数字”与“数字”相乘，“计数单位”与“计数单位”相乘。 （2）小数乘法，需将小数分解为整数与小数计数单位（0.1，0.01等）的乘积，仿照第①题规律填空。 （3） 分数乘法，需将分数分解为整数与分数单位（，等）的乘积，同样利用运算定律分组计算。 【详解】0.2×0.04＝（2×0.1）×（4×0.01）＝（2×0.1 ）×（4×0.01）＝（2×4）×（0.1×0.01）＝（2×4）×（0.1×0.01）＝8×0.001＝8×0.001＝0.008＝0.008 11．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 20×300＝6000 0.2×0.03＝0.006 【答案】 20×300＝6000 0.2×0.03＝0.006 【分析】观察可知，整数和小数乘法都是先求出两个因数计数单位个数的乘积，再求出计数单位的乘积，最后求出这两个结果的乘积就是算式的得数，由此求出分数乘法的计算结果。 【详解】 12．在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是( )，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自( )个数的累加。 【答案】 计数单位 计数单位 【分析】对于整数，计数单位是个、十、百等；对于小数，计数单位是0.1、0.01等；对于分数，计数单位是几分之一。根据前面整数、小数计数单位的思考方式，来理解数的组成和面积、体积的计量。 【详解】在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是计数单位，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自计数单位个数的累加。 13．观察下面算式的计算过程，想一想，整数、小数和分数的加、减法在计算时有什么联系？ 我发现：无论是整数、小数还是分数，在加减计算的过程中都是：( )相加减。 【答案】相同计数单位的数 【分析】整数加减是计数单位“十”的个数相加减，所以只有相同计数单位的数可以直接运算。小数加减是相同计数单位（如0.1）的个数相加减，所以需要先对齐小数点保证计数单位相同。异分母分数加减要先通分统一分数单位，所以实际是相同分数单位的个数相加减。 【详解】整数减法30－10里，30是3个十，10是1个十，计数单位都是十；小数加法0.3＋0.1里，0.3是3个0.1，0.1是1个0.1，计数单位都是0.1；分数加法先通分，变成，也就是8个加3个，分数单位也就是计数单位统一成。即加减法计算过程中，都是：相同计数单位的数相加减。 14．“乐学”小组在整理复习时发现了整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如下所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整并填一填。 我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个（    ）相乘得到新的计数单位，若干个（    ）相乘得到新的计数单位的个数。 【答案】见详解； 计数单位；计数单位对应的个数 【分析】对于20×300，也就是2个10乘3个100，得到6个1000，就是6000；对于0.2×0.03，也就是2个0.1乘3个0.01，得到6个0.001，就是0.006；类比可推出：，也就是2个乘3个，得到6个，就是。 【详解】 我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个计数单位相乘得到新的计数单位，若干个计数单位对应的个数相乘得到新的计数单位的个数。 15．淘气在学习过程中通过对比发现数的运算算理其实是相通的。他写出了四道算式：              上面的算式中的“4”和“1”不可以直接相加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，1表示1个( )。从这些算式中，我们发现，整数、小数、分数加减法的算理是一样的，相同的( )才可以相加减。 【答案】 一 计数单位 【分析】一个数中每个数字所占据的位置叫数位，每个数位对应一个计数单位，一个数字在数的什么位置，就有多少个这样的计数单位，计算加减法时相同计数单位才能相加减，分数的计数单位，分母是几就是几分之一，分子是几，就有几个这样的计数单位。 【详解】264＋291：4和1都在个位，计数单位都是一，可以直接相加； 8.43−2.13：4和1都在十分位，计数单位都是0.1，可以直接相减； ​：4代表4个一，​里的1代表1个，计数单位不同，因此不能直接相加减； ​：两个分数的计数单位都是，可以直接相加。 所以“4”和“1”不可以直接相加减的是，算式中的4表示4个一，1表示1个，相同的计数单位才能相加减。 三、判断题（每题2分，共10分） 16．整数、分数的大小都是其单位个数的累加。( ) 【答案】√ 【分析】数的本质是计数单位和计数单位的个数，整数的计数单位有个、十、百、千，整数的大小可以看作是其基本计数单位个数的累加，分数的计数单位有、、，分数的大小可以看作是其分数单位个数的累加，因此该说法正确。 【详解】整数的大小是其计数单位个数的累加，如整数123可表示为1个百、2个十和3个一的累加，分数的大小是其分数单位个数的累加，如分数可表示为3个的累加，因此，整数和分数的大小都是其单位个数的累加。 故答案为：√ 17．整数、分数和小数每相邻两个计数单位间的进率都是十。( ) 【答案】× 【分析】无论是小数还是整数，其计数单位都是按照一定规律排列的，相邻的计数单位之间的进率都是固定的。对于小数来说，每相邻两个计数单位之间的进率是十，比如十分位和百分位之间的进率就是十；对于整数同样如此，比如个位和十位之间的进率也是十。但分数就没有这种每相邻两个计数单位间的进率都是十的说法，所以此题目表述内容不正确。 【详解】根据分析可知，整数和小数每相邻两个计数单位间的进率都是十，但分数没有这种说法，故题目内容表述不正确。 故答案为：× 18．整数加减、小数加减、分数加减的共同之处：都是相同计数单位个数的累加和递减。( ) 【答案】√ 【分析】整数加减法的计算法则是相同数位对齐再相加减；小数加减法的计算法则是小数点对齐，相同数位上面的数字相加减；分数加减法的计算法则是先通分，把分数单位不同的分数化为分数单位相同的分数，再按照分母不变，分子相加减的方法计算，据此解答。 【详解】分析可知，整数、小数、分数加减法的计算法则看上去不同，但本质是一样的，都是相同计数单位个数相加减，如：21＋40＝61，3.6＋7.2＝10.8，＝＝＝。 故答案为：√ 【点睛】掌握整数、小数、分数加减法的计算方法是解答题目的关键。 19．一个数除以另一个数（除数不为零），就相当于乘这个数的倒数。( ) 【答案】√ 【详解】根据分数除法的计算法则，一个数除以另一个数（除数不能为零），等于这个数乘除数的倒数； 例如：1÷＝1×2＝2； 故答案为：√ 20．在计算2.6＋4.3时，错把2.6看成了26，算出的结果比正确结果多23.4。( ) 【答案】√ 【分析】加法运算中，一个加数不变，另一个加数变大多少，和就对应变大多少。 【详解】正确结果： 错误结果： 结果差值： 可知算出的结果比正确结果多23.4，原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题（共20分） 21．计算下面各题，能简算的要简算。                             4.35×101－4.35                             3.36×5.7＋66.4×0.57 【答案】 4；435； 9；57 【分析】运用乘法分配律简便计算； 将4.35写成4.35×1，再利用乘法分配律进行简算； 运用加法交换律将小数相加凑整，再利用减法性质将同分母分数相加，最后将两个结果相减； 根据积不变的规律把3.36×5.7转化成33.6×0.57，再利用乘法分配律进行简算。 【详解】 22．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 【答案】×＝ 【分析】对于20×300，也就是2个10乘3个100，得到6个1000，就是6000； 对于0.2×0.03，也就是2个0.1乘3个0.01，得到6个0.001，就是0.006； 类比可推出：×，也就是2个乘3个，得到6个，就是。 【详解】略 五、解答题（共33分） 23．（1）在长方形中画一画、涂一涂，表示出计算的道理和结果。 （2）在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40＝（2×10）×（4×10）＝（2×4）×（10×10）＝8×100＝800 ②0.2×0.4＝（2×0.1）×（4×0.1）＝（2×4）×（0.1×0.1）＝8×0.01＝0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③＝ 【答案】（1） （2）＝（2×）×（4×）＝（2×4）×（）＝8×＝ 【分析】（1）把长方形平均分成3行，将其中的2行涂上一种颜色（比如灰色），这表示长方形的。把已经涂灰色的这部分再平均分成5列，将其中的4列涂上另一种颜色（比如绿色）。此时，绿色部分就表示的，也就是。从图中可以直观地看到，整个长方形被平均分成了3×5＝15份，绿色部分占了2×4＝8份，所以＝。 （2）从已知算式可知，整数乘法、小数乘法，可以先把乘数看成有几个计数单位，然后把计数单位的个数和计数单位分别相乘，得到的积再相乘。 【详解】（1）＝，图略。 （2）可以把看成2×，把看成4×，再根据乘法交换律和结合律计算即可。 ＝（2×）×（4×）＝（2×4）×（）＝8×＝ 24．解释说明。 在计算分数除以整数“÷3＝”时，小林和小欣用了不同的方法。 小林的方法：用分数的分子除以整数的商作分子，分母不变，即； 小欣的方法：分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数，即。 请你选择其中一种方法解释可以这样算的道理。 【答案】我选小欣的方法：÷3的意义是把平均分成3份，求1份是多少，本质就是求的是多少，即。（答案不唯一） 【分析】分数除以整数，可以用分子除以整数的商作分子，分母不变。其算理是将分数看作若干个分数单位，把这些分数单位平均分成整数份，每份的分数单位个数即为新的分子，分母保持不变。分数除以整数，也等于乘这个整数的倒数。因为除法的本质是平均分，求每份是多少，就是求这个数的几分之一是多少，因此可以转化为分数乘法计算。 【详解】小林的方法：的分数单位是，把平均分成3份，就是把6个平均分成3份，每份是2个，即。因此：。 小欣的方法：根据除法的意义，表示把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，因此：。 25．经过多年的数学学习，淘气发现在计算乘法时，还可以从计数单位的角度来运算。比如： 整数乘法 30×40 ＝（3×10）×（4×10） ＝（3×4）×（10×10） 小数乘法 0.3×0.4 ＝（3×0.1）×（4×0.1） ＝（3×4）×（0.1×0.1） 按照这样的思路，分数乘法是不是也有以上的计算方法呢？如果有，请用这样的方法计算如果没有，请说明理由。 【答案】有； 【分析】依据题中给出的计算方法，找出和这两个分数的分数单位，再将两个分数都拆成一个数与分数单位相乘的式子，运算过程中运用乘法交换律、结合律，保证拆分和重组的运算逻辑正确，由此解题。 【详解】分数乘法有以上的计算方法； 的计算结果是。 26．在“数的运算一致性”主题探究活动中，兴趣小组对整数与小数的乘法算法展开了深度拆解，发现二者在运算逻辑上高度统一，以下是他们探究片段： (1)上述运算过程中，小组同学运用了( )和( )这两种运算定律。 (2)请你仿照上述“拆分—重组—计算”的思路，以为例，完整写出这道分数乘法的运算过程。 (3)结合整数、小数、分数乘法的运算案例，思考并填空。 两个数相乘，等于这两个数的( )的积，去乘( )的积。 【答案】(1) 乘法交换律 乘法结合律 (2) (3) 计数单位 计数单位个数 【分析】（）交换乘数的位置并把两个乘数结合在一起运用了乘法交换律和乘法结合律； （）根据分数的意义，可表示为个，即，可表示为个，即；依据乘法交换律和结合律，将“计数单位”与“计数单位的个数”分别结合，得到；先算“计数单位”，再算“新计数单位的个数”（个），最后相乘得到结果。 （）根据前面可得两个数相乘，等于这两个数的计数单位的积，去乘计数单位的个数的积。 【详解】（1）上述运算过程中，小组同学运用了乘法交换律和乘法结合律这两种运算定律。 （2）略； （3）两个数相乘，等于这两个数的计数单位的积，去乘计数单位个数的积。 27．小智用下面的方法计算了整数乘法。 40×30                            0.4×0.2                             ＝（4×10）×（3×10）            ＝（4×0.1）×（2×0.1）            ＝（4×_____）×（2×_____） ＝（4×3）×（10×10）            ＝（___×___）×（___×___）    ＝（___×___）×（___×___） ＝12×100                        ＝______×______                ＝______×______ ＝1200                            ＝______                        ＝______ (1)请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。 (2)小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。 【答案】(1)4；2；0.1；0.1；8；0.01；0.08 ；；4；2；；；8；； (2)同意；整数乘法是将因数拆分为整十、整百等数与一位数的乘积形式，再利用乘法交换律和结合律进行计算；小数乘法是将小数拆分为整数与小数的乘积形式，同样利用乘法交换律和结合律计算；分数乘法是将分数拆分为整数与分数的乘积形式，还是利用乘法交换律和结合律计算。（理由不唯一） 【分析】（1）先参照小智计算整数乘法的拆分思路，把小数和分数分别拆成“数字×计数单位”或“数字×分数单位”的形式，再运用乘法交换律与结合律，分别计算数字部分的乘积和计数单位（或分数单位）部分的乘积，最后将两个结果相乘得到答案。 （2）先回顾整数、小数、分数乘法的计算过程，发现三者都遵循“拆分数字与计数/分数单位，分别计算两部分乘积，合并结果”的逻辑，且都运用了乘法交换律和结合律，因此可以判断三类乘法的计算方法存在内在联系，同意小智的说法。 【详解】（1）0.4×0.2 ＝（4×0.1）×（2×0.1） ＝（4×2）×（0.1×0.1） ＝8×0.01 ＝0.08 × ＝（4×）×（2×） ＝（4×2）×（×） ＝8× ＝ （2）同意小智的说法；理由略。 28．数学课上李老师让同学们根据下图写乘法算式。 小美列出的算式是：3×3＝9，她解释：“图中的一个○表示计数单位‘一’那么这幅图就可以表示3个3，所以列式是3×3”。 小晋列出的算式是：30×3＝90；小丽列出的算式是：0.3×3＝0.9。 (1)小晋和小丽的算式对吗？请解释其中的道理。 (2)这幅图还可以表示哪个算式？请你写出一个算式。 【答案】(1)对；当○表示的计数单位是“十”，3个○即30，有这样的3组，即30×3＝90。当○表示的计数单位是“0.1”， 3个○即0.3，有这样的3组，即0.3×3＝0.9。 (2)300×3＝900（答案不唯一） 【分析】（1）图中的○表示一个计数单位，可以表示整数的计数单位：“一”、 “十”、 “百”……， 也可以表示小数的计数单位：“0.1”、 “0.01”、 “0.001”……。据此这幅图可以是3个十乘3，即30×3＝90；这幅图可以是3个0.1乘3，即0.3×3＝0.9。 （2）同理，表示两个计数单位再乘3即可。 【详解】（1）小晋和小丽的算式是对的。当○表示的计数单位是“十”，3个○即30，有这样的3组，即30×3＝90。当○表示的计数单位是“0.1”， 3个○即0.3，有这样的3组，即0.3×3＝0.9。 （2）略。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 绝密★启用前 第三单元 数与运算的再认识［单元自测•能力提升］ 试卷总分：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题（每题2分，共10分） 1．下面算式中的3和5能直接相加的是（    ）。 A．823＋451 B．2.34＋7.05 C． D． 2．观察7、0.7和这三个数，它们的（    ）相同。 A．大小 B．计数单位 C．计数单位的个数 D．数位 3．在解释“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的有（    ）。    分数除以整数① 面积为1       整数除以分数② 分数除以分数③ 每2张一份    整数除以整数④ A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．有①②③④ 4．在没有产生现在的数字和数位之前，人们用特殊的符号表示计数单位，用这些单位相加的形式表示数。假设用|表示一，∩表示十，△表示百，○表示千。例如1231，用符号表示成○△△∩∩∩｜。那么用符号表示3214，正确的是（    ）。 A．○○○○△∩∩||| B．○○○△△|∩∩∩∩ C．○○○△△∩|||| D．○○○∩∩|△△△△ 5．学习要善于比较和总结，结合下表对学过的整数、小数和分数的加减法进行归纳，发现整数、小数、分数加减计算的相同点：只有（    ）相同，才能直接相加减。 整数 个十加个十 小数 个减个 分数 个加个 A．位数 B．计数单位 C．数位 D．数级 二、填空题（每空1分，共27分） 6．小刚小时骑行6千米，平均每小时骑行( )千米，平均每千米需要( )小时。 7．在我国古代数学著作《九章算术》中，分数除法被称为“经分”。例如，照样子算一算______。 8．观察下列算式：①45－32；②0.45＋3.2；③4.5＋3.2；④；⑤。这些算式中“5”和“2”可以直接相加减的是( )（填序号）。从这些算式可以发现整数、小数和分数加、减法计算的原理是一样的，当( )相同时才能直接相加减。 9．是由( )个组成的，6008是由( )个千和( )个一组成的，0.06是由( )个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 10．计算整数、小数、分数乘法的运算道理其实是一样的，请你想一想，填一填。 ①200×40＝（2×100）×（4×10）＝（2×4）×（100×10）＝8×1000＝8000 ②0.2×0.04＝（2×0.1）×（4×0.01）＝（2×4）×（_____________________）＝8×0.001＝0.008 ③（____________）（_____________）_____________ 11．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 20×300＝6000 0.2×0.03＝0.006 12．在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是( )，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自( )个数的累加。 13．观察下面算式的计算过程，想一想，整数、小数和分数的加、减法在计算时有什么联系？ 我发现：无论是整数、小数还是分数，在加减计算的过程中都是：( )相加减。 14．“乐学”小组在整理复习时发现了整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如下所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整并填一填。 我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个（    ）相乘得到新的计数单位，若干个（    ）相乘得到新的计数单位的个数。 15．淘气在学习过程中通过对比发现数的运算算理其实是相通的。他写出了四道算式：              上面的算式中的“4”和“1”不可以直接相加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，1表示1个( )。从这些算式中，我们发现，整数、小数、分数加减法的算理是一样的，相同的( )才可以相加减。 三、判断题（每题2分，共10分） 16．整数、分数的大小都是其单位个数的累加。( ) 17．整数、分数和小数每相邻两个计数单位间的进率都是十。( ) 18．整数加减、小数加减、分数加减的共同之处：都是相同计数单位个数的累加和递减。( ) 19．一个数除以另一个数（除数不为零），就相当于乘这个数的倒数。( ) 20．在计算2.6＋4.3时，错把2.6看成了26，算出的结果比正确结果多23.4。( ) 四、计算题（共20分） 21．计算下面各题，能简算的要简算。                             4.35×101－4.35                             3.36×5.7＋66.4×0.57 22．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 五、解答题（共33分） 23．（1）在长方形中画一画、涂一涂，表示出计算的道理和结果。 （2）在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40＝（2×10）×（4×10）＝（2×4）×（10×10）＝8×100＝800 ②0.2×0.4＝（2×0.1）×（4×0.1）＝（2×4）×（0.1×0.1）＝8×0.01＝0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③＝ 24．解释说明。 在计算分数除以整数“÷3＝”时，小林和小欣用了不同的方法。 小林的方法：用分数的分子除以整数的商作分子，分母不变，即； 小欣的方法：分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数，即。 请你选择其中一种方法解释可以这样算的道理。 25．经过多年的数学学习，淘气发现在计算乘法时，还可以从计数单位的角度来运算。比如： 整数乘法 30×40 ＝（3×10）×（4×10） ＝（3×4）×（10×10） 小数乘法 0.3×0.4 ＝（3×0.1）×（4×0.1） ＝（3×4）×（0.1×0.1） 按照这样的思路，分数乘法是不是也有以上的计算方法呢？如果有，请用这样的方法计算如果没有，请说明理由。 26．在“数的运算一致性”主题探究活动中，兴趣小组对整数与小数的乘法算法展开了深度拆解，发现二者在运算逻辑上高度统一，以下是他们探究片段： (1)上述运算过程中，小组同学运用了( )和( )这两种运算定律。 (2)请你仿照上述“拆分—重组—计算”的思路，以为例，完整写出这道分数乘法的运算过程。 (3)结合整数、小数、分数乘法的运算案例，思考并填空。 两个数相乘，等于这两个数的( )的积，去乘( )的积。 27．小智用下面的方法计算了整数乘法。 40×30                            0.4×0.2                             ＝（4×10）×（3×10）            ＝（4×0.1）×（2×0.1）            ＝（4×_____）×（2×_____） ＝（4×3）×（10×10）            ＝（___×___）×（___×___）    ＝（___×___）×（___×___） ＝12×100                        ＝______×______                ＝______×______ ＝1200                            ＝______                        ＝______ (1)请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。 (2)小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。 28．数学课上李老师让同学们根据下图写乘法算式。 小美列出的算式是：3×3＝9，她解释：“图中的一个○表示计数单位‘一’那么这幅图就可以表示3个3，所以列式是3×3”。 小晋列出的算式是：30×3＝90；小丽列出的算式是：0.3×3＝0.9。 (1)小晋和小丽的算式对吗？请解释其中的道理。 (2)这幅图还可以表示哪个算式？请你写出一个算式。 第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页 第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $