专题08 圆的方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，从定义出发，系统梳理标准方程、一般方程（含系数条件）、特殊位置方程，再到点与圆位置关系（几何与代数法）、求方程方法（几何法、待定系数法等），最后拓展阿波罗尼斯圆，构建从基础到应用的学习支架。 该资料以高频考点为纲，知识点与例题结合紧密，通过几何与代数方法对比培养数学思维中的推理能力，阿波罗尼斯圆等内容发展数学眼光中的抽象与创新意识。课中辅助教师系统教学，课后分层例题帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决轨迹、最值问题的能力。

专题08 圆的方程高频考点精讲 知识点1： 圆的定义 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 知识点2： 圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： 知识点3： 圆的一般方程 圆方程为，圆心坐标：，半径： ①的系数相同，方程中无项 ②对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③二元二次方程，表示圆的充要条件是 ④以 为直径端点的圆的方程为 知识点4： 几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 知识点5： 点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 知识点6： 求圆方程的方法 ①几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 ②待定系数法 I根据题意，选择标准方程或一般方程； II根据条件列出关于或的方程组； III解出或，代入标准方程或一般方程 ③相关点法（代入法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）． ④换元法（参数方程法） 若圆心为点，半径为，则可将圆上的点换元为为．其中为参数， ． 知识点7： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 阿波罗尼斯圆性质： ①阿波罗尼斯圆圆心在直线上，圆心为 ，； ②阿波罗尼斯圆上任一点P都满足（且）； ③设阿波罗尼斯圆直径两端点分别为，则分别是线段的内分点和外分点，且 ，（且）：分别是的内角和外角平分线，且． 考点一　由圆的标准方程确定圆心与半径 考点二　求圆的方程 考点三　求过已知三点的圆的方程 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 考点五　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点六　判断点与圆的位置关系 考点七　点与圆的位置关系求参数 考点八　轨迹问题-圆（阿氏圆） 考点九　圆的对称性的应用 考点十　定点到圆上点的最值(范围) 考点一　由圆的标准方程确定圆心与半径 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 【答案】C 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：C. 2．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 3．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中曲线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是一个圆的标准方程， 其中圆心坐标为，半径， 圆的周长为． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 考点二　求圆的方程 5．（26-27高三·全国·一轮复习）求经过两点，且圆心C在直线上的圆的标准方程． 【答案】 【分析】解法1：设圆的标准方程为，再利用待定系数法求出圆心和半径，然后得到圆的标准方程；解法2：根据圆心在的垂直平分线，结合圆心C在直线上，联立得到圆心坐标，进而求出半径，然后得到圆的标准方程． 【详解】解法1 ：设该圆的标准方程为． 由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组 ， ，得， 化简、整理，得 ⑤， 联立③⑤解得 ， 代入①，得 ， 故所求圆的标准方程为 （如图（1））． 解法2： 如图（2），连接，作的垂直平分线交于点D， 则圆心C是线段的垂直平分线与直线l的交点． 线段的垂直平分线的方程为． 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组， 解得，即圆心C的坐标为． 又该圆经过点A，则 ， 故所求圆的标准方程为． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法联立方程即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 7．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 8．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 考点三　求过已知三点的圆的方程 9．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 10．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两点间距离求,再应用点到直线距离求出高,最后应用面积公式即可; （2）根据外心是三边垂直平分线的交点得出外接圆圆心,再应用两点间距离求出半径,最后根据圆的标准方程求解. 【详解】（1）因为，，， ， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点到直线距离为， 因此面积， （2）因为，，， 所以线段中点为，又直线的斜率为， 因此其中垂线的方程为，即， 直线的斜率为，线段中点为， 则中垂线方程，即， 联立，求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 11．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知圆过点，，，则其标准方程为________． 【答案】 【分析】设，，，根据，得出圆是以为直径的圆，进而计算圆心和半径即可. 【详解】设，，，则, 则，故，于是圆是以为直径的圆， 故其圆心为，半径， 故圆的标准方程为． 故答案为：． 12．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (3)求的外接圆方程； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，再由点斜式即可求得直线的方程； （2）设圆心，则，又圆过点、，所以，联立方程即可求解； （3）设圆的一般方程为，将、、三点代入，联立求解，即可得圆的方程. 【详解】（1）因为、，所以，则其高线的斜率， 又高线过点，所以高线所在的直线方程为，即； （2）设圆心，因为圆心在直线上，所以①， 又圆过点、，所以，即， 化简得②， 联立①②，解得，，圆的半径为， 所以圆的标准方程为； （3）设的外接圆方程为， 又、、在圆上， 所以可得，解方程组得， 所以的外接圆方程为，即. 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 13．（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 14．（2026高三·全国·专题练习）若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】∵直线平分的周长， ∴圆心在直线上， 可得0，解得． ，当且仅当时等号成立， 因此的取值范围为． 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 16．（25-26高二·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 考点五　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 17．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 【答案】且， 【分析】根据圆的一般式满足的关系即可求解. 【详解】由题意可得，故方程变形为， 因此，解得且， 故答案为：且， 19．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的半径及已知条件列不等式计算求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径， 由题意，得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 20．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【详解】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 考点六　判断点与圆的位置关系 21．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 22．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 23．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 24．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断. 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 考点七　点与圆的位置关系求参数 25．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 26．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 27．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 28．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 考点八　轨迹问题-圆（阿氏圆） 29．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 30．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意求出点的轨迹方程；对于B，由，可由点的轨迹方程得当的最大值，从而求得的面积的最大值；对于CD，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，同时根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值． 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 31．（25-26高二上·广东汕头·期末）若平面内两定点间的距离为4，动点满足，则的最大值是______． 【答案】 【分析】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设根据已知得出点的轨迹方程，然后表示出，根据所得表达式结合已知条件分析求解即可. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：       因为，所以，设， 由得：，两边平方化简得： ，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为 的圆， 如图所示：           此时，           所以， 又，则， 所以， 因为点在圆上运动， 所以要使有最大值，即点在点处， 此时，所以的最大值为：. 故答案为： 32．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【答案】 【分析】以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据两点间的距离公式，求出圆的方程，再数形结合，求出结果. 【详解】 如图所示，以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为. 故答案为： 33．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得点的轨迹，根据将问题转化为求的最小值，再根据几何关系点在线段上时有最小值，最后联立方程求解点的坐标即可 . 【详解】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 34．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程求出曲线的轨迹方程即可； （2）求出点与圆心的距离，即可求出最值； （3）根据圆心到直线的距离求最值即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 考点九　圆的对称性的应用 35．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 36．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 37．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 38．（25-26高二上·天津西青·期末）已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______． 【答案】 【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程. 【详解】解：圆，圆心为，半径 圆，经整理为，其圆心为，半径； 故中点为， ， 由对称性知， ，整理得直线l的方程为. 故答案为： 39．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知方程. (1)若此方程表示圆，求正整数m的值； (2)在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】(1)1 (2). 【分析】（1）根据圆的一般式满足的条件即可求解， （2）根据对称求解M关于直线的对称点，即可求解. 【详解】（1）若此方程表示圆，则，解得， 因为为正整数，故； （2）在（1）的条件下，方程表示圆： 由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即. 40．（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求关于对称的点，利用对称性求得何时光线经过的路程最小，求出最小值. 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.    设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 考点十　定点到圆上点的最值(范围) 41．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在复平面中对应点，，即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值,. 42．（25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． 43．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 44．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 45．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 46．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的方程高频考点精讲 知识点1： 圆的定义 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 知识点2： 圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： 知识点3： 圆的一般方程 圆方程为，圆心坐标：，半径： ①的系数相同，方程中无项 ②对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③二元二次方程，表示圆的充要条件是 ④以 为直径端点的圆的方程为 知识点4： 几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 知识点5： 点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 知识点6： 求圆方程的方法 ①几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 ②待定系数法 I根据题意，选择标准方程或一般方程； II根据条件列出关于或的方程组； III解出或，代入标准方程或一般方程 ③相关点法（代入法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）． ④换元法（参数方程法） 若圆心为点，半径为，则可将圆上的点换元为为．其中为参数， ． 知识点7： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 阿波罗尼斯圆性质 ①阿波罗尼斯圆圆心在直线上，圆心为 ，； ②阿波罗尼斯圆上任一点P都满足（且）； ③设阿波罗尼斯圆直径两端点分别为，则分别是线段的内分点和外分点，且 ，（且）：分别是的内角和外角平分线，且． 考点一　由圆的标准方程确定圆心与半径 考点二　求圆的方程 考点三　求过已知三点的圆的方程 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 考点五　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点六　判断点与圆的位置关系 考点七　点与圆的位置关系求参数 考点八　轨迹问题-圆（阿氏圆） 考点九　圆的对称性的应用 考点十　定点到圆上点的最值(范围) 考点一　由圆的标准方程确定圆心与半径 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 2．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 3．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中曲线的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 考点二　求圆的方程 5．（26-27高三·全国·一轮复习）求经过两点，且圆心C在直线上的圆的标准方程． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 7．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 考点三　求过已知三点的圆的方程 9．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 11．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知圆过点，，，则其标准方程为________． 12．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (3)求的外接圆方程； 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 13．（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 14．（2026高三·全国·专题练习）若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 考点五　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 17．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 19．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 考点六　判断点与圆的位置关系 21．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 22．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 24．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 考点七　点与圆的位置关系求参数 25．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 28．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 考点八　轨迹问题-圆（阿氏圆） 29．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 31．（25-26高二上·广东汕头·期末）若平面内两定点间的距离为4，动点满足，则的最大值是______． 32．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 33．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 考点九　圆的对称性的应用 35．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 36．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 37．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 38．（25-26高二上·天津西青·期末）已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______． 39．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知方程. (1)若此方程表示圆，求正整数m的值； (2)在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 40．（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 考点十　定点到圆上点的最值(范围) 41．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 43．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 44．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 45．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 46．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $