1.2.4绝对值（分层作业，10大题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础理解到思维拔高，覆盖绝对值几何意义、性质、应用等核心知识点，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解）|绝对值几何意义、求绝对值、性质、比较大小、非负性、实际应用|基础题为主，含选择填空及实际应用题，强化概念理解与应用意识| |B组（掌握）|利用绝对值求字母的值|涉及字母参数，从具体到抽象，培养推理意识| |C组（运用）|绝对值几何意义求最值、解绝对值方程|综合应用几何意义与方程思想，提升创新意识与逻辑思维|

分层作业 1.2.4 绝对值 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 绝对值的几何意义 题型02 求一个数的绝对值 题型03 绝对值的性质 题型04 利用绝对值在数轴上比较大小 题型05 利用绝对值的非负性求值 题型06 绝对值的实际应用 B组 能力进阶 题型 利用绝对值求字母的值 C组 思维拔高 题型01 利用绝对值的几何意义求最值 题型02 解绝对值方程 绝对值的几何意义题型01 1．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 2．绝对值不大于3的整数的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】试题分析：绝对值不大于3的整数即为绝对值分别等于3、2、1、0的整数． 解：不大于3的整数绝对值有0，1，2，3． 因为互为相反数的两个数的绝对值相等， 所以绝对值不大于3的整数是0，±1，±2，±3； 故选D． 考点：绝对值． 3．（24-25上·上海·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点到原点的距离，掌握在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值是解题的关键．根据在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值即可求解． 【详解】解：在数轴上的点到原点距离等于， 该点的绝对值为， 该点表示的数是或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）我们都知道：表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）可理解为与__________两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为__________． 【答案】 11 【分析】本题考查绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的意义，根据题意，进行解答，即可． （1）根据题意，则可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，即可； （2）根据题意，则表示数轴上的数到与两点的距离之和，再根据数轴上表示数的点位于与之间，进行解答，即可． 【详解】解：（1）∵表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， ∴可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）由题意得，表示数轴上的数到与两点的距离之和， ∵数轴上表示数的点位于与之间， ∴表示的数到与两点的距离之和等于与之间的距离为， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 5．（24-25七年级上·贵州·月考）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题：      (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】(1)，1，4 (2)①；②或2或 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4，据此解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：最大的负整数是，的相反数是1， ∴，， ∵在数轴上点A，B，C从左到右依次排列， ∴, 又∵ ∴． 故答案为：，1，4． （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②i)折后，不动，在之间到，距离相等． 折后对应的数：． 点表示的数为：． ii)折后，动，不动，在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． iii)折后，动，不动，点在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 求一个数的绝对值题型02 1．3的相反数的绝对值是（   ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【分析】根据相反数和绝对值的定义求解． 【详解】解：3的相反数是-3；-3的绝对值是3 ∴3的相反数的绝对值是3 故选：D． 【点睛】本题考查相反数和绝对值的概念，认真审题掌握和理解相关概念是解题关键． 2．（25-26七年级上·山西临汾·月考）下列各数化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重括号，绝对值，熟练掌握多重括号的化简规则与绝对值的运算是解题的关键． 根据有理数的运算法则作答即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确， 故选：D． 3．（24-25七年级·期末）的相反数是________；绝对值是________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，熟记和灵活运用相反数和绝对值的定义是解题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，得到答案即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：；． 4．写出下列各数的绝对值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查绝对值，解题关键是理解绝对值的定义． 根据绝对值的定义逐个进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)0 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是按照运算顺序依次计算． （1）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再算减法运算即可； （2）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式=． 绝对值的性质题型03 1．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 2．下列判断正确的是（ ） A．-a不一定是负数 B．|a|是一个正数 C．若|a|=a，则a＞0；若|a|=-a，则a＜0 D．只有负数的绝对值是它的相反数 【答案】A 【详解】解：A．-a不一定是负数，故本选项正确； B．|a|不一定是个正数，当a=0时，就不是，故本选项错误； C．若|a|=a，则a＞0或a=0；若|a|=-a，则a＜0或a=0，故本选项错误； D．只有负数的绝对值是它的相反数，还有特殊的0，故本选项错误； 故选A． 点睛：此题考查了正数、负数、绝对值、相反数等知识点；解题的关键是根据它们的定义及特殊的数值0要考虑到． 3．若a，b为整数，且|a|+|b|=2，则a+b的值为_____． 【答案】±2或0 【分析】由绝对值的意义可知，a，b两数的值一个为0，另一个为±2，或a=±1，b=±1，分析情况代入a+b计算即可. 【详解】∵a，b为整数，且|a|+|b|=2， ∴a，b两数的值一个为0，另一个为±2，此时a+b=±2； 或a=±1，b=±1，若a，b异号，则a+b=0；若a，b同号，则a+b=±2； 综上，a+b的值为±2或0， 故答案为±2或0． 【点睛】本题考查了绝对值的意义及分类讨论的数学思想，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，即若a为有理数，则有.绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系. 4．表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式|a－b|＋|a－c|－|b＋c| 的值等于___________.    【答案】－2a 【分析】根据数轴求出a-b＜0，a-c＜0，b+c＞0，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：a＜0＜c＜b，|a|＞|b|， ∴a-b＜0，a-c＜0，b+c＞0， ∴|a-b|+|a-c|-|b+c| =b-a+c-a-b-c =-2a， 故答案为－2a. 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，整式的加减的应用，主要考查计算和化简能力． 5．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝___． 【答案】-4 【分析】利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c=0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可． 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c=0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m=-1-2+3=0； 当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m=1-2-3=-4， ∴x+y=0+（-4）=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 利用绝对值在数轴上比较大小题型04 1．（25-26七年级上·广西贺州·质检）有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用数轴比较大小，绝对值的几何意义． 根据有理数a，b在数轴上对应的点判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，． 故选B． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 3．（25-26七年级·期末）如图，将a，，b，，0按从小到大的顺序排列为_________．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小，数轴上的点表示有理数，绝对值，相反数，掌握相关知识是解决问题的关键．在数轴上，越往右的数越大． 【详解】解：a，，b，，0在数轴上的位置如图， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，，再根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：由数轴可知，，，， 则，，， 所以这四个数中绝对值最小的是， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·天津·期中）已知一组数：，0，，，1.5． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1) 如图所示． (2) 【分析】本题主要考查的是有理数与数轴，有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）先化简，再把各数在数轴上表示出来即可； （2）根据各数在数轴上的位置从左到右用“”连接起来． 【详解】（1）解：， （2）解：． 利用绝对值的非负性求值题型05 1．若|n+2|+|m+8|=0，则n﹣m等于（　　） A．6 B．﹣10 C．﹣6 D．10 【答案】A 【详解】试题分析：根据绝对值的非负性：任何数的绝对值不小于0，得|n+2|≥0，|m+8|≥0，再根据|n+2|+|m+8|=0，则只有当|n+2|=0，且|m+8|=0时成立，解得m、n的值，再求n-m. 解：∵|n+2|+|m+8|=0， ∴|n+2|=0，且|m+8|=0， 解得n=-2，m=-8， 则n-m=-2-（-8）=6． 故选A． 点睛：两个具有非负性的数的和等于0，则两个数都为0，是初中数学的常考点. 2．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m=　 　时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是　 　． 【答案】3，6． 【详解】分析: 直接利用绝对值的性质分析得出答案. 详解: 式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化， 当m=3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是：6． 故答案为3，6． 点睛: 此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键. 3．（24-25七年级·期末）若，则x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．已知整数满足，则的值为____________． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 5．已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 【答案】 （1）小， ，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键； （1）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围以及最值； （2）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围和最值，根据的取值范围可以得到的取值范围和最值； （3）根据的取值范围和最值确定的范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值； （4）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值； （5）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值. 【详解】解：（1）根据绝对值的非负性可知， 有最小值是，此时； （2） 则有最小值是，此时； （3）， ， ； 则有最大值是，此时； （4）， 则有最小值是，此时； （5） ； 则有最大值是，此时 故答案为：（1）小，，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， ． 绝对值的实际应用题型06 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）足球质量与标准质量相比，若超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，最接近标准质量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，绝对值，有理数的大小比较，理解正数和负数的实际意义是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为， ， 最接近标准质量的是， 故选： 2．按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是______饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【答案】甜味 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， ， 最符合标准的一种食品是甜味饼干， 故答案为：甜味． 3．现随机抽取某品牌5盒牛奶，对每100毫升牛奶的蛋白质含量进行检测，测得的数据如下：3.2，2.7，4.0，3.6，3.8． (1)若以每100毫升牛奶含蛋白质为基准，超过基准记作正数，不足基准记作负数，请将测得的数据按顺序填入下表： 食品检测序号 ① ② ③ ④ ⑤ 蛋白质含量 (2)若规定每100毫升牛奶蛋白质含量的误差值是，在这个范围内的是合格品，请通过误差的绝对值判断这5盒牛奶是否合格． 【答案】(1) 食品检测序号 ① ② ③ ④ ⑤ 蛋白质含量 -0.3 -0.8 +0.5 +0.1 +0.3 (2)这5盒牛奶中①③④⑤合格，②不合格 【分析】（1）用实测数值减去基准，得到对应正负数； （2）求出每组偏差的绝对值，和比较，小于等于为合格． 【详解】（1）解： 食品检测序号 ① ② ③ ④ ⑤ 蛋白质含量/g （2）解：由（1）可得，这5盒牛奶每100毫升牛奶含蛋白质的误差如下： ①；②； ③；④； ⑤． 所以这5盒牛奶中①③④⑤合格，②不合格． 4．已知零件的标准直径是100 mm，超过标准直径的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径的数量记作负数．检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下表： 序号 1 2 3 4 5 直径长度 0.1 -0.15 -0.2 -0.05 -0.25 (1)哪件样品的大小最符合要求？ (2)如果规定误差的绝对值在0.18 mm内是正品，误差的绝对值介于0.18 mm和0.22 mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22 mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)第4件样品的大小最符合要求． (2)第1，2，4件样品是正品  第3件样品是次品  第5件样品是废品． 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：，，，，， 且 ∴号样品的大小最符合要求． （2）解：∵，，， ∴第1，2，4件样品是正品． ∵，， ∴第3件样品是次品． ∵， ∴第5件样品是废品． 5．（24-25七年级上·江苏南通·月考）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 利用绝对值求字母的值题型 1．（24-25七年级上·北京·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 本题考查数轴、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， ∴或， ∴或． 故选：D． 2．若（3﹣m）x|m|﹣2﹣1=0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．±2 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可列方程和不等式，即可求m的值． 【详解】解：∵（3-m）x|m|-2-1=0是关于x的一元一次方程， ， ∴m=-3 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，利用一元一次方程的定义解决问题是本题的关键． 3．（25-26七年级上·期末）若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的几何意义（一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离）是解题的关键． 本题可根据绝对值的定义，分析出绝对值为3的数有两个，进而得到的取值． 【详解】解：∵绝对值的定义是：一个数的绝对值表示这个数在数轴上所对应点到原点的距离， ∴到原点距离为3的点有两个，分别是3和， ∵， ∴或， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）若与互为相反数，则_______． 【答案】6或4 【分析】本题考查相反数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到或，分别求出a的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 即或， 解得或． 故答案为：6或4． 5．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据结合条件可确定的值，即可求解； （2）根据结合条件可确定的所有可能取值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴或 ∴或 【点睛】本题考查了绝对值的应用．根据限制条件推断的可能取值是解题关键． 利用绝对值的几何意义求最值题型01 1．已知x是有理数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义，可得表示数轴上一点与到与到之间的距离的和，进而即可求解． 【详解】解：表示数轴上一点与到与到之间的距离的和， ∴当x在和2之间时距离的和最小，是3． 即的最小值为3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解表示数轴上表示与两点之间的距离，是解决本题的关键． 2．已知，则的最大值是 _______，最小值是 _______． 【答案】 15 【分析】表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． 故答案为：15， 【点睛】本题考虑数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 3．阅读材料 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．例如：可以看着数轴上表示数2的点与表示数1的距离，所以． 尝试应用 （1）的几何意义是表示的点与表示______的点之间的距离； （2）观察数轴，若，则的值可以是______； 拓展延伸 （3）求的最小值． 【答案】（1）－1；（2）1或−3；（3）2 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得； （2）由题意知表示数轴上到-1点距离为2的点，观察数轴可得； （3）求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当−1≤x≤1时，有最小值，最小值为2． 【详解】解：（1）的几何意义是表示的点与表示－1的点之间的距离， 故答案为：－1； （2）， 表示数轴上到-1点距离为2的点， 则由图可知x＝1或x＝−3， 故答案为：1或−3； （3）根据题意，表示数轴上到-1和1距离和， 如图可知当−1≤x≤1时，有最小值，且最小值为2，, ∴的最小值是2． 【点睛】本题考查的是绝对值的几何意义，理解题意是关键． 4．（24-25七年级上·湖南·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7； (2) (3)①，3；②1025156 【分析】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 5．（24-25七年级上·陕西西安·月考）我们知道，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．根据上述材料，请借助数轴解答下列问题： (1)若，则_______； (2)若，则_______． (3)①若，则的值是_______； ②当为_______时，代数式的最小值是． 【答案】(1)或 (2) (3)①或；②或 【分析】（）根据绝对值的几何意义可得表示的点到表示的点的距离为，进而由数轴上两点间距离公式即可求解； （）由绝对值的几何意义可得表示的点到表示的点的距离等于表示的点到表示的点的距离，即得在和之间，得到，据此即可求解； （）①根据绝对值的几何意义可得表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和等于，得到在的右边或的左边，不可能在和之间，再利用两点间距离公式解答即可求解； ②根据绝对值的几何意义可得式子表示表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和，当在与之间时，距离之和最小，最小值为，据此即可求解； 本题考查了绝对值的几何意义，两点间距离公式，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴表示的点到表示的点的距离为， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， 即表示的点到表示的点的距离等于表示的点到表示的点的距离， ∴在和之间， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∴等式表示表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和等于， ∴在的右边或的左边，不可能在和之间， 当在的右边时，， 解得， 当在的左边时，， 解得， ∴的值是或， 故答案为：或； ②∵， ∴式子表示表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和， 当在与之间时，距离之和最小，最小值为， ∴或， 故答案为：或． 解绝对值方程题型02 1．若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．﹣或 【答案】A 【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 【详解】因为方程|x﹣|＝1， 所以x﹣＝±1， 解得x＝或x＝﹣， 因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|＝1， 所以解方程x+2＝2（m﹣x）得， m＝， 当x＝时，m＝， 当x＝﹣时，m＝． 所以m的值为：或． 故选：A． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论． 2．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②； （3）或， 如下图所示， 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 3．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离与，与．并回答下列各题：    (1)你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与在数轴上的对应点的距离是 ． (2)若数轴上的点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离可以表示为 ． (3)结合数轴思考，的最小值为多少？ (4)满足，求的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据题意，计算即可； （2）根据题意，与两点间的距离表示为，整理式子即可； （3）根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”，故当时，的值最小，计算即可； （4）由（3）知，的最小值5；可知分“当时”和“当时”两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：根据题意，与两点间的距离表示为， 故答案为：； （3）解：根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为； （4）解：∵由（3）知，的最小值5， ∴； ∴当时，， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离、分类讨论是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2.4 绝对值 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 绝对值的几何意义 题型02 求一个数的绝对值 题型03 绝对值的性质 题型04 利用绝对值在数轴上比较大小 题型05 利用绝对值的非负性求值 题型06 绝对值的实际应用 B组 能力进阶 题型 利用绝对值求字母的值 C组 思维拔高 题型01 利用绝对值的几何意义求最值 题型02 解绝对值方程 绝对值的几何意义题型01 1．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 2．绝对值不大于3的整数的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25上·上海·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是________． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）我们都知道：表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）可理解为与__________两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为__________． 5．（24-25七年级上·贵州·月考）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题：      (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 求一个数的绝对值题型02 1．3的相反数的绝对值是（   ） A． B． C．-3 D．3 2．（25-26七年级上·山西临汾·月考）下列各数化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级·期末）的相反数是________；绝对值是________． 4．写出下列各数的绝对值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 5．计算： (1)； (2)． 绝对值的性质题型03 1．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 2．下列判断正确的是（ ） A．-a不一定是负数 B．|a|是一个正数 C．若|a|=a，则a＞0；若|a|=-a，则a＜0 D．只有负数的绝对值是它的相反数 3．若a，b为整数，且|a|+|b|=2，则a+b的值为_____． 4．表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式|a－b|＋|a－c|－|b＋c| 的值等于___________.    5．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝___． 利用绝对值在数轴上比较大小题型04 1．（25-26七年级上·广西贺州·质检）有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级·期末）如图，将a，，b，，0按从小到大的顺序排列为_________．（用“＜”连接） 4．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是_______________． 5．（25-26七年级上·天津·期中）已知一组数：，0，，，1.5． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 利用绝对值的非负性求值题型05 1．若|n+2|+|m+8|=0，则n﹣m等于（　　） A．6 B．﹣10 C．﹣6 D．10 2．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m=　 　时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是　 　． 3．（24-25七年级·期末）若，则x的取值范围是_____． 4．已知整数满足，则的值为____________． 5．已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 绝对值的实际应用题型06 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）足球质量与标准质量相比，若超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，最接近标准质量的是（ ） A． B． C． D． 2．按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是______饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 3．现随机抽取某品牌5盒牛奶，对每100毫升牛奶的蛋白质含量进行检测，测得的数据如下：3.2，2.7，4.0，3.6，3.8． (1)若以每100毫升牛奶含蛋白质为基准，超过基准记作正数，不足基准记作负数，请将测得的数据按顺序填入下表： 食品检测序号 ① ② ③ ④ ⑤ 蛋白质含量 (2)若规定每100毫升牛奶蛋白质含量的误差值是，在这个范围内的是合格品，请通过误差的绝对值判断这5盒牛奶是否合格． 4．已知零件的标准直径是100 mm，超过标准直径的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径的数量记作负数．检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下表： 序号 1 2 3 4 5 直径长度 0.1 -0.15 -0.2 -0.05 -0.25 (1)哪件样品的大小最符合要求？ (2)如果规定误差的绝对值在0.18 mm内是正品，误差的绝对值介于0.18 mm和0.22 mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22 mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 5．（24-25七年级上·江苏南通·月考）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 利用绝对值求字母的值题型 1．（24-25七年级上·北京·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 2．若（3﹣m）x|m|﹣2﹣1=0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．±2 3．（25-26七年级上·期末）若，则______． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）若与互为相反数，则_______． 5．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 利用绝对值的几何意义求最值题型01 1．已知x是有理数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最大值是 _______，最小值是 _______． 3．阅读材料 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．例如：可以看着数轴上表示数2的点与表示数1的距离，所以． 尝试应用 （1）的几何意义是表示的点与表示______的点之间的距离； （2）观察数轴，若，则的值可以是______； 拓展延伸 （3）求的最小值． 4．（24-25七年级上·湖南·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 5．（24-25七年级上·陕西西安·月考）我们知道，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．根据上述材料，请借助数轴解答下列问题： (1)若，则_______； (2)若，则_______． (3)①若，则的值是_______； ②当为_______时，代数式的最小值是． 解绝对值方程题型02 1．若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．﹣或 2．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 3．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离与，与．并回答下列各题：    (1)你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与在数轴上的对应点的距离是 ． (2)若数轴上的点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离可以表示为 ． (3)结合数轴思考，的最小值为多少？ (4)满足，求的值为多少？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $