四川省仁寿县铧强中学2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

**基本信息** 高三开学诊断性数学试卷，涵盖函数、几何、统计等模块，以全运会金牌数据、阅读偏好调查等真实情境命题，注重空间观念与数据意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、命题否定、函数性质、概率、立体几何外接球|第7题将四面体外接球转化为长方体模型，考查空间观念；第9题结合全运会金牌数据分析统计量，体现数据意识| |填空题|3题15分|函数解析式、零点分布、导数应用|第14题通过不等式恒成立问题考查导数单调性，培养逻辑推理| |解答题|5题77分|统计案例、解三角形、立体几何折叠、导数零点与极值|第15题以阅读偏好调查为背景设计独立性检验与分层抽样，强化应用意识；第19题导数极值点证明，突出逻辑推理能力|

铧强中学2024级高三（上）第一次诊断性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 4．函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 5．已知，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（   ） A． B． C． D． 7．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 8．若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.在每小题给出四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得0份. 9．第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（    ） A．该组数据的众数为 B．该组数据的中位数为 C．该组数据的极差为 D．该组数据的分位数为 10．设，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．无最小值 11．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期为4的周期函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在（3，4）上单调递减 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，求函数的解析式___________． 13．若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 14．已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）： 专业类型 阅读偏好 合计 喜欢阅读纸质书 不喜欢阅读纸质书 文科 150 120 270 理工科 50 80 130 合计 200 200 400 (1)依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？ (2)从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 17．如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有且只有两个零点，求的值． 19．已知函数. (1)若函数在处的切线方程为，求实数； (2)若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 试卷第2页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 铧强中学2024级高三（上）第一次诊断性考试 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A A A A AC ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出. 【详解】，则，得. ，则，得 所以. 2．C 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是. 故选：C 3．B 【分析】分别求解不等式，，再根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由，得，解得； 由，得. 因为，推不出， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 4．D 【分析】应用分段函数解析式求解函数值. 【详解】函数，则. 故选：D. 5．A 【详解】因为，，则，， 若，则，解得. 6．A 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率公式可得答案． 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为， 所以甲乙都没有成功破译密码的概率， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 7．A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 8．A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 9．AC 【分析】将这个数据从小到大排列，依次按照众数、中位数、极差、百分位数的定义计算即可. 【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 对于A，观察这组数据，其中出现了次，其余数字均只出现次，因此，众数为，故A正确； 对于B，这组数据共有个，中间两个数是第个和第个数，分别是和，因此中位数为，故B错误； 对于C，这组数据中最大值为，最小值为，因此极差为，故C正确； 对于D，由于不是整数，因此该组数据的分位数是第个数，即，故D错误. 10．ABC 【分析】利用1的妙用可判断A，通过等量代换，结合二次函数可判断B,C，利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由可得， ， 因为，当且仅当且时等号成立， 即，所以的最小值为，A正确； 对于B，由可得，即，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 即，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由可得，， 当且仅当时取等号，即有最小值2，D错误. 故选：ABC 11．ABD 【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确； 因为为上的奇函数，所以，所以， 又当时，，其图象对称轴为直线， 结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确； 因为，，，， 则， 所以 ，故C不正确； 当时，，， 由，得， 其在上单调递减，所以D正确. 12． 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 13． 【分析】由一元二次函数有两个零点且开口向上，则求解即可. 【详解】若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0， 因为该二次函数开口向上，则，即. 故答案为：. 14．1 【分析】首先将去分母，将问题等价转化为是增函数，即在上恒成立，分离参数后构造函数即可求解. 【详解】. 不妨取，则， 所以，即， 亦即. 令， 则问题等价转化为是增函数. 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立. 令， 则， 因为二次函数在上单调递增， 所以当时，， 即，所以是增函数， 所以，即，所以实数的最大值为1. 故答案为：1. 15．(1)有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关. (2) 随机变量的分布列为 1 2 3 期望为 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，求得抽取的8人中，文科人数为人，理科人数为人，得到变量的可能取值为，结合超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）假设认为该校大学生 “是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”无关， 由列联表中的数据，可得：， 因为，所以拒绝假设， 所以有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关. （2）由列联表中的数据，喜欢纸质书的共有200人，其中文科150人，理科50人， 按比例抽取8人，则文科人数为人，理科人数为人， 从这8人中抽取3人，为文科人数，则随机变量的可能取值为， 可得，， ， 所以随机变量的分布列为 1 2 3 所以期望为. 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，结合两角和的余弦公式展开化简即可求解； （2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理​，可得， 结合已知条件，得， 即， 又， 代入整理得：，又，， 即，所以； （2）由余弦定理，代入，，， 得： ，​​ 化简得：，由边长为正得，则， 代入三角形面积公式 . 17． （Ⅰ）因为，，是的中点，，所以 即在图2中， ， 从而平面 又，所以平面． （Ⅱ）． 【详解】试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值． 试题解析：（Ⅰ）略 （Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，， 所以为二面角的平面角，所以． 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 得，． 设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为， 则，得，取， ，得，取， 从而， 即平面与平面夹角的余弦值为． 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用． 18．(1)当时，函数在上是增函数， 当时，函数增区间是，，减区间是， 当时，函数增区间是，，减区间是； (2)或． 【分析】（1）由出，分类讨论确定和的解得增区间和减区间； （2）由（1）得两个极值点有一个是零点，解方程即得． 【详解】（1）， 时，恒成立，在上是增函数， 时，由得或，由得， 增区间是，，减区间是， 时，由得或，由得， 增区间是，，减区间是； 综上：当时，函数在上是增函数， 当时，函数增区间是，，减区间是， 当时，函数增区间是，，减区间是； （2）因为时，，时，， 所以有且只有两个零点，由（1）可得或且， ，， ．， 综上，或． 19．(1)； (2) ①； ②因为或， 而， 所以，而， 所以， 令，所以，所以在上单调递减， 所以， 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义和函数在处切线的概念，可求的值. （2）①问题转化为有两个不同的解求参数的取值范围； ②先结合①的结论，确定的取值范围，在根据得到的表达式，通过对函数单调性的分析，可求的取值范围. 【详解】（1）因为在处的切线斜率为0， 所以，即；此时切点坐标为，所以. （2）①因为， 当时，在单调递增，只有一解，显然不符合题意； 当时，设，则. 由；由. 所以即在上单调递增，在上单调递减. 因为函数存在两个极值点. 所以需有两解，所以为必要条件，即为必要条件， 当时，时，时，， 分别在及各有一零点， 综上：. ②略. 答案第2页（共10页） 答案第3页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $