24.3 等腰三角形（分层作业）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖等腰三角形定义、性质、判定及综合应用，梯度从基础概念到探究创新，适配新授课知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|等腰三角形定义、等边对等角、三线合一|以选择填空为主，如边长计算、角度求解，强化几何直观| |综合应用|性质与判定结合证明|解答题为主，如多步推理证明，培养推理意识| |探究创新|动态问题与跨知识点综合|含动点、翻折等情境，如“含30°角直角三角形”探究，发展创新意识|

24.3 等腰三角形 题型一 等腰三角形的定义 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰的两边长分别为2和4，则等腰的周长为 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为 ． 4．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 题型二 等边对等角 1．（25-26八年级上·云南临沧·开学考试）如图，直线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 4．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据等边对等角证明 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 3．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)求证：平分． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 题型四 三线合一 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，若，则 ． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，D为中点，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 题型五 根据三线合一证明 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，点、在边上，，．求证：． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，和相交于点，的平分线交于点． 求证：． 4．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 题型六 等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为一边作等边，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，，求的度数． 题型七 等边三角形的判定 1．（22-23八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．    2．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 3．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图：，试说明是等边三角形． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    题型八 含30◦角的直角三角形 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，， 求证：． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 题型一 等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在，上，且，，过E作于F，过点D作于G． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求点D到的距离． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图中，连接交于，如图，求的值； (3)如图，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接，当点在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型二 等边三角形的性质与判定的综合应用 1．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 2．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点E是中点时，求证：． (2)当点E不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点E在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 3．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知为等边三角形，点D为边上一动点，E为下方一点，连接、，． (1)如图1，若点D与点C重合，求证：．； (2)如图2，若，求证； (3)如图3，，若点O为中点，连接OD，则的最小值为_______． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，平面内线段，点，，，满足：，，，连接，为的中点，连接、． (1)如图1，当点在线段上时，直接写出与的位置关系（提示：延长与交于点）． (2)如图2，当点在线段上方时，若，求的度数． (3)若点在线段下方，且线段同时落在和的内部，下列说法正确的有_____． ①；②平分；③；④ 3．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在中，点D是上一点，点E是上一点，连接，，点F是上一点，且，连接． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，点G为上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，若， ，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图所示，，，，，，，、平分、，连接交于点，是中点．连接、、，为上一定点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、，若为等腰直角三角形，证明：； (3)如图3，连接，，垂足为点，判断、的数量关系并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.3 等腰三角形 题型一 等腰三角形的定义 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰的两边长分别为2和4，则等腰的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 分“腰长为2，底边长为4”和“腰长为4，底边长为2”两种情况，先判断能否组成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时， ∵， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，4，4，2能组成三角形， ∴等腰的周长为：， 故答案为：10． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 【答案】22 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三边关系，分类讨论，再结合三角形三边关系，最后得出周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9， ∴当腰长为4，底边长为9时，则，不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当腰长为9，底边长为4时，则，符合三角形三边关系， ∴周长是． 故答案为：22． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论，再结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以，，不能构成三角形，不合题意，舍去； 若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为． 故答案为：25． 4．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义，根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案． 【详解】解：根据三角形的底角 ． 故答案为：． 题型二 等边对等角 1．（25-26八年级上·云南临沧·开学考试）如图，直线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质并作出辅助线是解题的关键．过点作，得出，再得出，则，结合，可求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图：过点作， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的定义和性质．由等边对等角得出，再由三角形外角的定义和性质得出，最后再根据等边对等角即可得出答案． 【详解】解∶∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形的一个外角等于， 与它相邻的内角， 三角形内角和为， 等腰三角形的顶角为， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：A． 题型三 根据等边对等角证明 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）首先证明，然后证明出，进而得到结论； （2）由全等三角形性质可得，进而证明即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 3．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由得，进而由可证； （）由得，，得，即得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 题型四 三线合一 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，若，则 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由，，则，所以，求出，最后根据直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，D为中点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及三角形内角和定理，先根据等腰三角形性质得出是的平分线，，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴是的平分线，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：27． 题型五 根据三线合一证明 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质， （1）根据角平分线的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一性质得，继而得到，利用证明全等即可； 解题的关键是掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、（仅用于证明直角三角形全等）． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，点、在边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再求出，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：作于点， ， ， ， ，即， ， ． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，和相交于点，的平分线交于点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先证明，得，根据等角对等边得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”． 【详解】证明：∵， ∴和是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴是边上的高， ∴． 4．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质证明即可． 【详解】证明：，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 题型六 等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为一边作等边，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）证明，根据即可证明． （2）由，得到，然后进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，为等边三角形， ∴． 则 ∴． ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【详解】（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形外角的性质，由等边三角形的性质得到，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型七 等边三角形的判定 1．（22-23八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定方法是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】证明：， 又， 是等边三角形． 3．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图：，试说明是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定、三角形外角的性质，先求出，得出，结合，即可证明结论． 【详解】解：， ， ， 又， 是等边三角形． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 题型八 含30◦角的直角三角形 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先利用垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角的性质求解； （2）先利用含有的直角三角形的性质求得，再利用求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含有的直角三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，， 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先结合题意确定，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”易得，再证明，进一步可得． 【详解】证明：∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．      (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可证明； （2）由，，得出为直角三角形，，再根据，得出，进而求出的长，进而求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，然后根据含角的直角三角形的性质依次求出，即可． 【详解】解：在中，，， ，    题型一 等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在，上，且，，过E作于F，过点D作于G． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求点D到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． （1）由题意得，根据证明，得，根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）根据等腰三角形的三线合一性质可得，即可得平分； （3）先证明是等腰直角三角形得到，再根据全等三角形对应边上的高相等可得结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）得，，， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点D作，垂足为H， ∵， ∴中边上的高与中边上的高相等，即， ∴点D到的距离． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)；理由见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）证明，根据全等三角形的性质即可求解． （2）在上截取，如图，证明，再证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ∵G为中点， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：线段和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 4．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图中，连接交于，如图，求的值； (3)如图，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接，当点在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)的值为2 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质与判定，添加辅助选构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，可得，结合等腰三角形的性质，利用AAS证明； （2）证明，得到，可得，进而证明，即可求解； （3）在上截取，证明，得出，，继而证明，得出，即可得出结论：． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴， ， 的值为； （3）解：． 证明：在上截取，如图， 在和中 ， ， ，， ∵为等腰直角三角形， ， ， 而， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型二 等边三角形的性质与判定的综合应用 1．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 2．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点E是中点时，求证：． (2)当点E不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点E在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)6或12． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质等，然后证，即可得出结论； （2）过点作交于点，则，，再证是等边三角形，得，然后证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①点在上时，证，，则，，得； ②点在的延长线上时，证，，则，，得；即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点是中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作交于点， 则，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时， ，， ， ， ， ，， ，， ， ； ②如图4，点在的延长线上时， ，， ， ， ， ，， ， ，； 综上所述，的长为6或12． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； （3）解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知为等边三角形，点D为边上一动点，E为下方一点，连接、，． (1)如图1，若点D与点C重合，求证：．； (2)如图2，若，求证； (3)如图3，，若点O为中点，连接OD，则的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）在上取点F，使，连接，根据等边三角形的性质得出，，证明是等边三角形，得出，，根据等式性质可得出，根据证明，得出，然后根据线段的和差关系和等量代换即可得证； （2）设，则，结合已知可求出，，进而得出，根据证明，根据全等三角形的性质得出，结合（1）中即可得证； （3）连接，过D作于E，作点O关于的对称点F，连接，，，根据直角三角形的性质以及轴对称的性质等可得，故当F、D、E三点共线时，的值最小，最小值为，此时，然后由等边三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明：在上取点F，使，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵ ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， 又， ∴， ∴； （3）解：连接，过D作于E，作点O关于的对称点F，连接，，， ∵，，O是中点，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点O、F关于对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴当F、D、E三点共线时，的值最小，最小值为， 此时，如图，， 又， ∴，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即的最小值为6， 故答案为：6． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，，见解析；②， 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全都三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质； （1）①选择小喆同学的解题思路：由，和平分，得到，即可证明，得到，再证明，得到，则，最后由，得到． ②选择小昀同学的解题思路：先证明是等边三角形，再证明，得到，根据证明即可． （2）参考（1）中的两种方法证明即可，注意部分细节结合图形有变化． （3）①由点C与点D关于直线对称，得到，，再根据和，得到，最后根据外角求得 ．在上取点M使，连接，则是等边三角形，证明，得到，即可证明． ②由点C与点D关于直线对称，得到，，则，，．在上截取，连接，则是等边三角形，再证明，得，最后根据证明即可． 【详解】解：（1）①选择小喆同学的解题思路：证明：如图1，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． ②选择小昀同学的解题思路：如图2，在射线上截取，连接， ，平分， ， ， 是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）证明：方法一：如图3，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． 方法二：如图4，在上截取，连接． ，平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即， ，， ， 又， ， ， ， ， ． （3）①结论：当时，，． 理由：如图5，连接，是等边三角形， ，， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上取点M使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， ， ． ②，． 如图6，连接， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，平面内线段，点，，，满足：，，，连接，为的中点，连接、． (1)如图1，当点在线段上时，直接写出与的位置关系（提示：延长与交于点）． (2)如图2，当点在线段上方时，若，求的度数． (3)若点在线段下方，且线段同时落在和的内部，下列说法正确的有_____． ①；②平分；③；④ 【答案】(1) (2) (3)①④ 【分析】（1）延长交延长线于点，由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行内错角相等可得，利用可证得，于是可得，，为中点，利用等式的性质可推出，由三线合一即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，又可证得为等边三角形，于是有，进而可得，于是得解； （3）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，由三线合一可得，故说法①正确；由三线合一可知，平分，而，故说法②错误；由各三角形之间的面积关系可得，故说法③错误；由各角之间的和差关系可得，故说法④正确；综合以上，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，延长交延长线于点， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为中点， ，， ， 即：， 为等腰三角形， 又为中点， ； （2）解：如图2，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰三角形，， 又， ， 故说法①正确； 由三线合一可知，平分， 而， 故说法②错误； ， ， ， ， 故说法③错误； ， 故说法④正确； 综上，说法正确的有：①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，多边形内角和问题，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在中，点D是上一点，点E是上一点，连接，，点F是上一点，且，连接． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，点G为上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，若， ，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理易得，于是易证，得到，则，进而完成解答； （2）如图：延长到P，使得，连接，由三角形外角性质可得，于是，再证得到，进而可得，以此可证得到，由此即可得即可证明结论； （3）如图：延长至点M，使，连接，则，易证则，根据垂线段最短可知当时，最小，即最小，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图：延长到P，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：延长至点M，使，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵D为的中点， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴和均为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，是通过作辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图所示，，，，，，，、平分、，连接交于点，是中点．连接、、，为上一定点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、，若为等腰直角三角形，证明：； (3)如图3，连接，，垂足为点，判断、的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）设和的交点为，连接，先证明，得到，，再证明和为等边三角形，推出，计算出，推出，得到，和都是等腰直角三角形，从而得到，借助得到，从而得证； （2）延长到点，使，连接、，构造等腰直角，证明，得出，，得出，则，再证，从而得证； （3）过点作交的延长线于点，由、平分、，得平分，，再证，得出，，结合，得出，证明为等边三角形，利用对称性证明，再证明，得出，从而得，则，再结合平行得，则可证，得，最后证明，从而得证． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形角平分线的性质，熟练掌握这些性质与判定，并根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：设和的交点为，连接, ，, , ，, , ，, , ， ∴, , 为等边三角形, 同理可证为等边三角形, , ，, , , , ，, , , , , 和都是等腰直角三角形, , , , ； （2）解：如图，延长到点，使，连接、， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，，和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∵、平分、， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $