22.4 整数指数幂（分层作业）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦整数指数幂核心知识，通过基础巩固-综合应用-拓展探究三层设计，实现从概念理解到运算能力再到创新意识的递进培养，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|科学记数法表示与还原、整数指数幂直接运算|结合生活情境（如古代“忽”单位、花粉直径），强化抽象能力与符号意识| |应用层|整数指数幂运算综合、化简求值|设置多步骤运算（如先化简再求值），提升运算能力与推理意识| |拓展层|对数概念探究与性质应用|通过问题链引导逻辑推理（如乘方、开方到对数的关联），发展创新意识与数学思维|

22.4 整数指数幂 题型一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）用科学记数法表示 ． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m． 题型二 还原用科学记数法表示的小数 1．（2025·四川·三模）已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（    ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·海南海口·期末）数据用小数表示为（   ） A．0.00108 B．0.000108 C． D．0.0000108 题型三 整数指数幂的运算 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是 ． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 3．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算： 4．（22-23八年级上·山西朔州·期末）计算： ． 1．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）化简求值：，其中． 3．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）（1）若，求的值； （2）若，求的值． 4．（25-26八年级上·河南·阶段练习）一次数学兴趣小组活动，老师和几个同学一起探讨：中的，，三者的关系． 同学甲：已知，，可以求，是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方．如：，其中是的次方． 同学乙：已知，，可以求，是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根．如：，其中是的二次方根（或平方根）；，其中是的三次方根（或立方根）． 老师：两位同学说得很好，那么请大家计算： (1)的四次方根等于 ；的五次方根等于 ． 同学丙：老师，如果已知和，那么如何求呢？这又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问得好，已知，，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，叫做以为底的对数，记作：．例如：，3叫做以为底的对数，记作．根据题意，请大家计算： (2) ； ． 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． (3)请你利用上述性质计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.4 整数指数幂 题型一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数的绝对值是原数中第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的0）． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型二 还原用科学记数法表示的小数 1．（2025·四川·三模）已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（    ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用小数表示为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 4．（23-24八年级下·海南海口·期末）数据用小数表示为（   ） A．0.00108 B．0.000108 C． D．0.0000108 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法与小数的相互转化，熟练掌握（为正整数）转化为小数时将的小数点向左移动位是解题的关键．本题解题思路是根据科学记数法中（，为正整数）转化为小数的规则，将的小数点向左移动位． 【详解】解：， 故选：B． 题型三 整数指数幂的运算 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂的运算性质，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 依次对每个因子进行平方运算，并将负指数化为正指数后即可得解． 【详解】解：． 故答案为： ． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方、单项式除以单项式及负整式指数幂，熟练掌握积的乘方、单项式除以单项式及负整数指数幂是解题的关键．利用幂的乘方和同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为． 3．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了指数运算，负整数指数幂，需运用指数法则（如幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法）进行简化计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·山西朔州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据根据积的乘方的运算法则，可得到，再根据单项式的除法法则以及负整数指数幂的运算法则可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，单项式的除法法则，负整数指数幂的运算法则等知识点，熟记和灵活应用公式是解决问题的关键． 1．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了单项式的乘除法和负整数指数幂，原式利用积的乘方和幂的乘方法则变形，进行乘除法运算得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用分式的乘除化简，后根据负整数指数幂，零指数幂运算法则确定字母的值，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解： ， 由， 得， 故原式． 3．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）（1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的除法，负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则，负整数指数幂的含义计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法和负整数指数幂法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·河南·阶段练习）一次数学兴趣小组活动，老师和几个同学一起探讨：中的，，三者的关系． 同学甲：已知，，可以求，是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方．如：，其中是的次方． 同学乙：已知，，可以求，是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根．如：，其中是的二次方根（或平方根）；，其中是的三次方根（或立方根）． 老师：两位同学说得很好，那么请大家计算： (1)的四次方根等于 ；的五次方根等于 ． 同学丙：老师，如果已知和，那么如何求呢？这又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问得好，已知，，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，叫做以为底的对数，记作：．例如：，3叫做以为底的对数，记作．根据题意，请大家计算： (2) ； ． 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． (3)请你利用上述性质计算：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了立方根、负整数指数幂，有理数乘方，理解题意，正确计算是解题的关键． （）利用题中四次方根的定义、五次方根的定义求解； （）根据对数运算的定义，有理数乘方，立方根进行求解即可； （）根据对数运算的性质求解即可． 【详解】（1）解： 的四次方根等于；的五次方根等于， 故答案为：；； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $