第二章一元二次方程十大高频考点题型专项突破训练2006-2007学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程十大高频考点，涵盖解法、判别式、根与系数关系及面积、利润等应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，适配单元复习，培养数学应用意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解法|5题|配方法、公式法、因式分解法|基础题型，强化运算能力| |根的判别式|14题|判别式应用、参数取值范围|结合方程含参问题，培养推理意识| |应用（面积）|7题|矩形面积、道路规划|以草坪、果园等真实情境，体现数学眼光| |应用（利润）|6题|售价、销量、利润关系|联系商品销售，培养模型观念| |新定义/学科融合|3题|芯片MOS管电流公式、新运算|结合科技前沿，发展创新意识|

一元二次方程十大高频考点题型专项突破训练 题型01一元二次方程的解法 题型02一元二次方程中跟的判别式 题型03一元二次方程中根与系数的关系 04一元二次方程的应用之面积问题 05一元二次方程的应用之增长率问题 06一元二次方程的应用之动点问题 07一元二次方程的应用之单循环问题 08一元二次方程的应用之利润问题 09一元二次方程之综合实践操作问题 题型10一元二次方程之新定义、学科融合问题 ◆题型01一元二次方程的解法 一、一元二次方程 1．解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 2．解下列一元二次方程． (1) (2) 3．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．解方程 (1) (2) 5．解方程： (1) (2) ◆题型02一元二次方程中跟的判别式 6．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 8．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 9．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 10．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 11．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 12．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 13．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 14．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 15．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 16．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 17．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 18．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围． ◆题型03一元二次方程中根与系数的关系 20．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 21．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 22．已知，是方程的两个根，则__________． 23．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 24．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． ◆题型04一元二次方程的应用之面积问题 26．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 27．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 28．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 29．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 30．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 31．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 32．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． ◆题型05一元二次方程的应用之增长率问题 33．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 34．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 35．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． ◆题型06一元二次方程的应用之动点问题 36．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 37．图形教材变式 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC= 10 cm,BC=8cm.现有两个动点P,Q 分别从点A 和点B 同时出发,点 P 以 1 cm/s的速度沿 AB 向终点 B 移动,点 Q 以 2cm /s 的速度沿 BC 向终点 C 移动,其中一点到终点时，另一点也随之停止.连接PQ，经过多长时间 P，Q两点之间的距离为 38．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． ◆题型07一元二次方程的应用之单循环问题 39.为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　． 40．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． ◆题型08一元二次方程的应用之利润问题 41．某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 42．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 43．大运会期间，某网店直接从工厂购进，两款纪念币，进货价和销售价如表所示：注：利润销售价进货价 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价元枚 销售价元枚 （1）网店第一次用元购进，两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的枚数； （2）第一次购进的，两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变；且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）大运会临近结束时，网店打算把款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出枚，经调查发现，每枚款纪念币每降价元，平均每天可多售出枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元？ 44．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 45．某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 46．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；售价在50元/千克的基础上每千克每涨1元，月销售量就减少10千克. (1)当售价为 55 元/千克时，每月销售该水果 千克. (2)当月利润为8 750元时，每千克水果的售价为多少元? (3)该水果的月利润能达到10 000元吗?请说明理 ◆题型09一元二次方程之综合实践操作问题 47．综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 48．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 49．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 50．你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．长方形面积为3，小正方形面积为4． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ， 两边开方可求得：． 则上述过程中，按顺序横线上应填入 ， ．    51．综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． ◆题型10一元二次方程之新定义、学科融合问题 52．芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 53．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 54．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ）； (2)若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 参考答案 1．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 2．(1) (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：这里． ， ， ，； （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． 3．D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 4．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 5．(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 6．(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 7．B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 8． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 9．A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 10．4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 11．(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 12．(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 13．C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 14．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果． 【详解】解：在方程中，，，， 故． 15．D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 16．A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 17．A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 18． 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 19． 【分析】利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ． 20． 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 21． 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 22． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 23． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 24．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 25．(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 26．B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 27．道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 28．(1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 29．(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）设，则，根据题意，得，然后解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 30．(1) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则； （2）略． 31．(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 32．B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 33．A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 34．D 【分析】年末我国贫困人口还有万人，年平均下降率为．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人，据此列出方程即可， 【详解】解：由题意可得，． 35．(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． （2）略 36．D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 37．(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 38．(1)，点坐标为 (2)点会落在直线上，理由如下： 将点代入得，， 解得：， ∴点， 故点会落在直线l1上． (3)①；②存在，点的坐标为 【分析】（1）根据解析式得出，，设直线的表达式为，把和点代入，解方程组求出，可得解析式，令，求出，即可得出点坐标； （2）把代入，求出，即可得出点会落在直线l1上； （3）①根据点在的内部列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围即可； ②根据，利用勾股定理得出，根据两点间距离公式列出一元二次方程，解方程求出的值，根据①中的取值范围确定的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴当时，，当时，， 解得：， ∴，， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点坐标为． （2）解：略 （3）解：①∵点在的内部， ∴，即， ∴， ∴当点在内部时； ②存在，点的坐标为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，， ∵， ∴，， ∴点的坐标为． 39． 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 40．(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 41．(1)（，且x为整数） (2) 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件，售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答； （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，通过解一元二次方程即可作答． 【详解】（1）解：， ∵日销量不能为负数，即， ∴， ∴y与x的函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：∵单件利润为元，销售量为件， ∴ 整理得：， ， 解得， ∵， ∴． 42．(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 43．(1)男会员160人，女会员40人 (2)①；②相等 【分析】（1）根据男、女会员人数之比为和总人数，列出方程求解即可； （2）①根据男、女会员人数之比为，列出分式方程求解即可；②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y，根据增长率可列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人． 依据题意，得， 解得，， ， 答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人． （2）解：①依据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， 故； ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ，（不合题意，舍去）， 2022年女会员每人年会费：（元）， 2022年男会员每人年会费：（元）． ∴2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等． 44．A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，根据每天销售利润每件盈利销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． 45．每间客房的定价应为300元 【分析】设每间客房的定价提高了x元，根据每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，列方程即可解决． 【详解】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 46．(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得到，再根据勾股定理可得关于的方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 47．(1) (2)20元 【分析】（1）设月平均增长率为未知数，因为月平均增长率相同，所以根据初始销量、增长次数、最终销量的关系，可列一元二次方程求解． （2）设售价降低的金额为未知数，用降价金额表示出每架的利润和实际销售量，因为总利润=单架利润×销售量，所以结合总获利为1200元列一元二次方程，再根据尽量减少库存的条件选取符合要求的解． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 48．(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 49．(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 50．， 【分析】利用代数式表示出大正方形的面积，然后根据面积的数量关系列出方程． 【详解】解：计算大正方形面积用x表示为； 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程． 51．(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； （2）①略 ②略 52．3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 53．3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 54．或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 55． 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 56．3 【分析】设，证明是等腰直角三角形，得出，根据重叠部分面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由平移可知，， ∴， 设与交于点G ， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴重叠部分四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形的高为， ∴， 解得：， ∴移动的距离等于3． 57．元 【分析】设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元，由题意可得， ，解方程即可． 【详解】解：设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元， 由题意可得， ， 整理，得， 解得， 而价格不能为负数， 故舍去， 故， 经检验，是原方程的根， 答：每个“天宫”模型的进价是20元． 58．(1)①证明：如图1，延长交于点． 四边形为矩形， ． 由轴对称可知， ， ，， ． ， ． ② (2)或 【分析】（1）①延长交于点，根据平行的性质即可证明； ②由①的结论先证明，设，根据表示出，在中，由勾股定理可解得，进而求解； （2）分和两种情况画出图形，分别计算即可． 【详解】（1）解：①略； ②如图1， 四边形为矩形， ，， 根据对称可知， ， 在和中， ， ，     设，则， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 在中，由勾股定理可得， 即，解得 ， 的周长为． （2）解：分两种情况： ①如图2，当时， ，， 四边形是平行四边形， ， 为的中点， ， ， ， 为的中点． ， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ， ． ②如图3，当时， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， 是中点， ． 设， ， ， ． 在中，由勾股定理可得， 即，解得（舍去） ， ． ． 59．(1)四月份的销量为80辆 (2)A型67辆，B型33辆利润最大 【分析】（1）：设平均增长率为a，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，”求出x的取值范围，设所获利润为w元，列出w关于x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得：（舍去） 四月份的销量为：辆． 答：四月份的销量为80辆． （2）解：设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得： ， 解得：， 设所获利润为w元，则 ， 因为， 所以w随x的增大而减小， 因为x为整数， 所以x的最小值为67， 所以当时，w取得最大值，此时， 即A型67辆，B型33辆利润最大． 60．(1)该商城4月份卖出自行车辆 (2)A型车购进40辆，B型车购进10辆利润最大 【分析】（1）根据某运动商城自行车销售量自2021年起逐月增加，设该商城前4个月自行车销量的月平均增长率为x，由1月份销售自行车数量与3月份销售自行车数量之间的关系建立方程，解出自行车销量月平均增长率x的值，进而求出该商城4月份卖出自行车数量； （2）该商城准备购进A，B两种型号的自行车共50辆，且全部售完使利润最大，则设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元，用含字母a的代数式表示总利润；根据商城投入的资金不超过3万元建立不等式，解出a的取值范围；再根据一次函数图象的增减性找出a值进而确定商城的进货方案． 【详解】（1）解：设该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得： ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故该商城4月份卖出自行车数量为：（辆）． （2）解：设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元， 根据题意得：， ∵，解得， 又因为，y随a的增大而减小， 所以，当a取最小值40时，y有最大值． ∴A型车购进40辆，B型车购进10辆时，该商城利润最大． 61．(1)， (2) 【分析】（1）由得，则，把代入即可得． （2）先用含有t的代数式表示出、、的长，然后根据勾股定理列方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：由， 得， ∴， 把代入， 得， 解得． （2）解：由题意得直线的表达式为，直线的表达式为，， ∵轴， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴t为时，是直角三角形． 62．(1)y与x的函数关系式为，的取值范围是 (2)当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出y与x的函数关系式，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 由题意可得， 解得， 综上所述，y与x的函数关系式为，的取值范围是； （2）解：由题意可得， 解得，， ∵， ∴， ∴当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 63．(1)9000元 (2)10元 【分析】（1）降价后，草莓园当天销售钱数原来80人的销售价增加的1000元； （2）设草莓园采摘套票降价了x元，根据等量关系：（原来的票价降低的价格）（原来卖出的张数增加的张数），列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元， ∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）； （2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得： ， 解得：，， 当降价为50元时，票价为（元）， ∵， ∴此时小于成本价，降价措施不合理， ∴舍去， 答：降价了10元． 64．(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 65．(1)①×；②√；③× (2) (3)或 【分析】（1）根据定义逐一验证数对； （2）根据定义列方程求解； （3）先根据定义得到与的关系，代入目标方程化简后，结合整数解的限制条件求出整数． 【详解】（1）解：①对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； ②对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴是“友好数对”； ③对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； （2）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 解得，即； （3）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 即， 将代入方程，得， 两边同乘得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵方程有整数解，为整数， ∴为整数，即是2的整数约数， ∴或， 解得，，，， ∵，且时，不符合的条件， ∴或． 【点睛】本题为新定义题型，解题核心是紧扣“友好数对”的定义，结合分式方程的求解、整式化简以及整数的性质进行计算． 66．(1)； (2) (3)能， 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． （3）解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $