河南省信阳市五校协作体2027届高三年级9月供题数学试卷

信阳市五校协作体高三2027届9月质量监测 数学参考答案与说明解析 计烧无点 本套试卷严格遵循新课程标准与新高考评价体系要求，整体预设难度系数0.64，全卷共19道 试题，满分150分，考试时长120分钟，由8道单项选择题、3道多项选择题、3道填空题、5道 解答题构成，客观题共计73分，主观题共计77分。试卷立足数学学科主干知识，合理设置基础、 中档与拔高试题梯度，适度引入信息迁移、新定义探究等新高考热门新题型，重视复杂情境下的 知识迁移运用，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养；其中单项选择题8 小题共40分，1-4题侧重基础概念的识记与简单应用，5-7题提升思维与计算难度，第8题作为单 选压轴考查解析几何综合能力：多项选择题3小题共18分，依托三角函数、数列信息情境、导数 抽象函数设置选项，强化多角度辨析能力：填空题3小题共15分，兼顾参数讨论、立体几何最值 与课外定义迁移创新：5道解答题共计77分，依次设置导数、概率统计、立体几何翻折、椭圆综 合、新定义压轴大题，层层递进实现能力分层。试题既注重对教材基础内容的落实，检验一轮复 习阶段基础知识的掌握情况，又通过多选陷阱、创新填空、综合性解答题拉开区分度，规避繁难 偏怪的旧式考题，可用于五省协作体各校横向学情对比，能够客观诊断学生知识短板，对后续 轮复习备考具备良好的测评价值与教学导向作用。 分数线 清北线 强基线 211线 一本 本科线 及格线 数学 148 137 124 116 106 101 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.己知全集U=R,集合A={y=V2x-X,B={Hy=2,xeR,则xE{CuA}UB是 “xe{xx≠0的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由A={y=V2x-可得2x-x2≥0，解得0≤x≤2， 所以A={xI0≤x≤2，B=yy>0,·CuA={xIx<0或x>2,(CuA)UB={xx≠0}，故 选：C 2.若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,m)到焦点的距离是5p,则p的值为() A是B.专C.台D.月 【答案】C 【解析】由己知可得，抛物线的准线方程为x=-P 2 根据抛物线的定义可得，点M(3,川到焦点的距离等于到准线的距离3+ 所以，3+号=5p,解得p=号故选：C 3.在等比数列{a,}中，a+a,=l,a+a,=-16,则+2=（) as+a A.-4B.8C.-16D.16 【答案】C 【解析】设等比数列{an}的公比为9，则a,+a,=(a+a)g3=1xg3=-16,即g=-16, 40+a=a+a)丹=g=-16故选C. a5+a,a5+a7 4.己知ā为直线1的方向向量，m,万分别为两个不同平面，B的法向量，则下列说法正确的是 () A.若ā⊥m,m∥n,则1∥BB.若ā∥m,a∥n,则a⊥B C.若a⊥m,a⊥i,则a∥BD.若a∥m,a⊥i,则a上B 【答案】D 【解析】因为ā⊥m,m∥i,所以ā⊥i,则1∥B或IcB,故A错误： 因为ā∥m,a∥n,所以m∥i,所以a∥B,故B错误： 因为ā⊥m,ā⊥万，所以m,i可能平行，也可能不平行，所以a∥B或a,B相交，故C错误： 因为a∥m,⊥i,所以m⊥i,所以a⊥B,故D正确.故选：D. 5.古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”： S=Dp-ap-b1(p-g,其中p=a++c,a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C所对 2 的边，该公式具有轮换对称的特点.己知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=8:7:3,且△ABC的面积为 125,则BC边上的中线长度为() A.35 B.4 C.√74 D.√26 【答案】D 【解析】设D是BC的中点，连接AD 依题意，在△ABC中，sinA:sinB:sinC=a:b:c=8:7:3, 设a=8k,b=7k,c=3张，k>0,由余弦定理得co5A=49+9-64_-号 2×7×3 7 所以A为钝角，所以snA=-cosA=4V5 7 所以Sar×3x7kx4y5=125.=2, AD=(B+AC),两边平方得D=B+4C+28.AC） =9+49-2×3x7x对》2=13=26， 所以AD=√26 故选：D D 6.(2024江苏常州高三统考期末)已知扇形AOB的半径为5，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标 系，OA=(5,0),OB=(4,3),弧AB的中点为C,则OC=() 0 A引 c.(4,2) D.(25,5 【答案】B 【解析】令∠AOC=a,则∠AOB=2a, tan2a= 2。解利ma=兮即品2-时又mma=, cosa 又a 解得sina= 10 10 所以OC= 300 2,2 故选：B 7.如图所示，四边形ABCD是正方形，M,N分别BC,DC的中点，若AB=1AM+AN,2,μ∈R, 则21-4的值为() M AB.C.号D.9 【答案】D 【解析】AB=M+MB=AM+CM=AM+)D =+丽+网=+-】 所以丽=孤-不，所以西-号孤， 所以天从=号 2 8,210 22-4=333 故选：D 8.斜率为的直线！经过双曲线号苦=a>06>0)的左焦点，交双曲线两条渐近线于A,B两 点，E为双曲线的右焦点且AF引=BF引，则双曲线的离心率为() A.5 B, C.io D.5 2 3 【答案】B 【解析】由题设，双曲线的渐近线为y=±x,如下图， 若C(xo,)是AB中点，且A(x,),B(x2,2), 足左=0 a2 b2 ，则二发_经=0，可得以+五 足-生=0 a2 b2 -书x+xa2, a2-b2 62 3b2 所以koke,则kae= ,而AE=BF,则CF⊥AB, a 所以1 OF HOF,HOC1,若直线1倾斜角为0，则直线OC倾斜角为20， 由0-写则20 2m0。--论，故g- 1-tan204-a2 65故选：B 所以双曲线的离心率为=+。=2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知函数f(x)=2sin(ox+p)(o>0,p∈(0,2π))的部分图象如图所示，则下列说法正确的 是() A.0=3 B.=2 C.f倒的一条对称轴为石 D.f在区间-元，上单调递增 【答案】BD 【解析】由五点法对应得2snp=5,0∈行，解得0=牙，故A错误，B正确： 同理可得和+子=，解得a=1,所以函数)=sn(+）】 雨数了)的对称轴为：号-子e工，解得=名2。 故x=7严不是函数f)的一条对称轴，故C错误： 6 函数了()的单调递增区间为-+2≤+号子xxeZ,解得 _7n+2km≤x≤-π+2km,keZ, 6 6 令x=0,则一个单调递增区间为 所以函数)在区间可[x引上单调递增，故D正确故远：BD 10.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.己知二次函数f(x)有两个不相等的实 根b,c,其中c>b.在函数f,)图象上横坐标为x,的点处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴交点 的横坐标为：用x,代替x,重复以上的过程得到，：一直下去，得到数列x,}.记a,=n二。， 大n-c1 且a,=1,x,>c,下列说法正确的是() A.x=c-(其中1ne=1) B.数列{an}是递减数列 e-1 C.a6=32 a,+的前n项和S,=2”-2+1 D.数列{an+ a 【答案】AD 【解折】对于A选项，由a=h1得e,所以与=，放A正确 X-c X-c :二次函数f(x)有两个不等式实根b,c, .不妨设f(x)=a(x-b)(x-c), 因为f'(x)=a(2x-b-c), 所以f'(xn)=a(2xn-b-c), ∴.在横坐标为xn的点处的切线方程为：y-f(xn)=a(2xn-b-c)(x-xn), 令y=0,则=a-2x。-b-c小-.am2-abc。-bc a(2xn-b-c）a(2xn-b-c）2xn-b-c 因为1-b=-c-b2,-b-c)2-2bx+b3-by x-cx-bc-c(2-b-c)x-2x+e2 (-c) 所以ln1-b=21n去-b, Xm1-C h-c,即：a=2a 所以{a}为公比是2，首项为1的等比数列 所以an=2-故BC错 时于D选项，由a,+=2+,得5s2”人/ a 27 一故D正确， 1一12二2”+1， 故选：AD 11.己知函数y=fx)在R上可导且∫0)=-2，其导函数f)满足：)-2①=2x-1,则下 e 列结论正确的是() A.函数f(x)有且仅有两个零点 B.函数g(x)=f(x)+2e有且仅有三个零点 C.当0≤x≤2时，不等式f(x)≥34(x-2)恒成立 D.fx)在l,2]上的值域为-2e2,0 【答案】AC 【解析】令)=因，则)=2f四=2x-1,故)=-x+c（c为常数)， 又h(0)=f(0)=-2,故可得c=-2,故h(x)=x2-x-2,f(x)=e2(x2-x-2) 对A:令f(x)=0,即x2-x-2=(x-2)(x+1)=0,解的x=2或-1， 故h(x)有两个零点，A正确： 对B:f(x)=e2(x2-x-2,则f(x)=e2(2x2-5), 令f0,可得四（树 令f<0,可得放在 00 22 单调递减： 2 2 2 故存在x=1e √100 22 使得f(x)=-2e2: 又f(2)=0,故存在x,∈ 2 使得f(x2)=-2e2: 又当x<-D时，了)>0，故不存在x 使得f(x)=-2e2: 综上所述，f(x)=-2e2有两个根，也即g(x)=f(x)+2e2有2个零点，故B错误： 对C:fx)≥3e(x-2),即e2(x2-x-2)23e*(x-2),e2(x-2)(x+1)23e(x-2), 当x∈[0,2)时，x-2<0,上式等价于e2(x+)≤3e, 令m(x)=e2(x+),故可得m(x)=e2x(2x+3)>0, 故m(x)在[0,2)上单调递增，m(x)<m(2)=3e,满足题意： 当x=2时，f(2)=0,也满足f(x)≥3(x-2): 综上所述，当x∈[0,2]时，fx)≥3e(x-2)恒成立，故C正确： 对D:由B可知，在L四单调递减，在四， √10 单调递增， 且片，f0=2,=0, 2 故f(x)在[1,2]上的值域为 1-0e而0 29 D错误 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知f(x)=√x2-1的定义域为A,集合B={x∈R1<a<2),若BSA,则实数a的取值范围 是 【答案】【-1，刂 【解析】x2-1≥0，则x≥1或x≤-1，即A={x|x≥1或x≤-1 ①当a=0时，B=O,满足BcA,符合题意： ②当a>0时，B=x∈RI上<x<2,所以若BcA, 则有≥1或2≤-1（舍），解得0<a≤1： ③当a<0时，B=红∈R2<x<之，所以若BcA, 则有s-1或221（舍），解得-1sa<0 综上所述，a∈-1， 13.知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小 值为 【答案】名 【解析】设球O的半径为R,正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h,r. 如图，球心在正四棱锥内时，由OO+QB=OB2,可得(h-R)+2=R2, 即2-2h+r2=0(*). 0 球心在正四棱锥外时，亦能得到(*)式. 又正四棱锥的体积为2r)h=1,则r2=员，代入()式可得R=名+号 2+4h 通过对关于A的函数（倒求导，即R)分京· 易得函数()在(0,3)单调递减，在(3，+∞）单调递增， 则R=R间=5从而，球0的体积的最小值专R=2 6元 14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所 对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点， 且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，己知锐角△ABC外接圆的半径 为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P,若AB=3,则sin∠PAC= 若 AC:AB:BC=6:5:4,则PA+PB+PC的值为 C 【答案】5.23 4:年5.75 【解析】设外接圆半径为R,则R=2, 由正弦定理，可知。AB 3 sin∠ACB sin∠ACB =2R=4, 即sn<ACB=子由于∠4CB是锐角，故O4C-万 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥BC,故∠PAC=元-∠ACB, 2 所以sn∠PAC=6s∠ACB=Y 4 设∠CAB=0,∠CBA=a,∠ACB=B, 则∠PAC=T-B,∠PBA=-0,∠PAB=元&， 2 2 由于AC:AB:BC=6:5:4,不妨假设AC=6,AB=5,BC=4, 2x4x58c0sB=4+6-39 2x6x5-c0sa=4+5-61 由余弦定理知cos0=62+52-4_3 2×4×6161 设AD.CEBF为三角形的三条高，由于∠ECB+∠EBC-受，∠PcD+2CPD号， 故∠EBC=LCPD D P B E 则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC, PC PA AC AC 所以sin (0 2R4 sin sin∠APC sin∠ABC 2 PB AB AB 同理可得sin sin∠APB sin∠ACB =2R=4 所以H+B+e=4(0得甘8}空 故答案为： 万.23 4；4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3 1 15.(13分)己知函数)=xnx-2x-2x+2 (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2)对x∈l,+∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)递增区间为(0，+o):(2)[l,+o) 【解析11)当a=1时，函数)=xhx子女2的定义域为0+o),求导得=nx+2子分 22x 令=n+京0，求号得8国 当0<x<1时，g'(x)<0,当x>1时，g'(x)>0,则函数g(x)在(0，)上递减，在(L,+)上递增， g(x)≥g)=0,即∈(0，∞)，'(x)≥0，当且仅当x=1时取等号， 所以函数f(x)在(0，+o)上单调递增，即函数f(x)的递增区间为(0，+∞). (2)依题意，f2)=2aln2->0,则a>0, 4 由1D知，当x之1时，nx含女+220恒成立， 当a≥1时，e[l,+o),xlnx≥0， 则/-mnx--女2-子女20，因ta≥： 当0a<1时，求导得/)=a+n)-+2京，令到=a+h-2京， 31 求号得)--，当1<后时，0， 则函数，即/)在启上单调递减，当xe时，了)<f0=a-1<0, 因此函数四在侣上单调递减，当e语时，)0=0，不符合题意 所以a的取值范围是[L,+o) 16.(15分)我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2015 年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策， 积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查 一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位 育龄妇女，结果如下表， 非一线 线 总计 愿生 40 60 不愿生 22 40 总计 58 42 100 (1)求x和y的值. (2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？ (3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识 讲座，求至少有一名来自一线城市的概率. 参考公式：x2= n(ad -bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】()x=18y=20(2有95%以上的把握认为生有意愿与城市级别有关3) 【解析】(1)由题意得x=58-40=18,y=42-22=20: (2)由x2= n(ad-be)2 a+bMc+a+Cb+0得z=10x40X2218x20)4.625>384 58×42×60×40 ∴，有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”. 3抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为6×00202，记为12 来自非一线城市的人数为6x0904,记为a,6,6d 选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”， 基本事件为：(1,2)，(1，a,(1,b),(1,c),,d),(2,a),(2,b),(2,c,(2,d),(a,b),(a,c), (a,d),(b,c),(b,d),(c,d), 事件A1,2),(L,a),(1,b),1,c),(1,d),(2,a),(2,b2,c),(2,d)共有9个， P0=品-或（团=1合到 17.(15分)在直角梯形ABCD中，ADIIBC,BC=2AD=2AB=2V5,∠ABC=90°，如图(1).把 △ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD. D 图(1) 图(2) (I)求证：CD⊥AB; (②在线段BC上是否存在点，使得N与平面4CD所成角为60？若存在，求出的值： 若不存在，说明理由 【答案】（证明见解析2）存在， BN1 BC4 【解析】(1)因为AD1IBC,且BC=2AD=2AB=22,AB⊥BC, 可得AD=AB=√2，BD=√AB2+AD2=2, 又因为∠DBC=∠ADB=45°，可得CD=√22+(2V2)-2x2×22cos45°=2， 所以BD2+DC2=BC2,则CD⊥BD, 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,且CDC平面BCD, 所以CD⊥平面ABD, 又因为ABC平面ABD,所以CD⊥AB: (2)因为CD⊥平面ABD,且BDC平面ABD,所以CD⊥BD, 如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 可得A1,0,)，B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0), 所以CD=(0,-2,0),AD=(-1,0-1) i.CD=-2y=0 设平面ACD的法向量为方=(x,y,),则 n.AD=-x-:=0 令x=1,可得y=0,=-1,所以方=(1,0，-)， 假设存在点N,使得AW与平面ACD所成角为60 设BN=1BC,(其中0≤1≤1)，则N(2-22,2元，0)，A=(1-2,2元，-1)， 厉·AN 1-2元+ 所以sin60°= √5 N V-2'+2+(←Ix52' 整理得8+2-1=0，解得无=}或2=？〔舍去)， 所以在线段BC上存在点N,使得N与平面ACD所成角为60，此时N=号 BC 4 3(I7分)已知椭圆C:二+片>b>0,过右焦点乃，且与长轴垂直的弦长为2，且 离心率为 2 (1)求椭圆C的方程： (2)若C的上顶点为E,过左焦点F的直线交椭圆C于P,G两点（与椭圆顶点不重合），直 线EP,EG分别交直线x+y+4=0于H,Q两点，求△EHQ的面积的最小值. 【答案】1D号+=1：2)5 【解析】(1)由题意知，c,0),将x=c代入椭圆方程兰+上 a2t6=1, 得)=±艺，即弦长治=万， a 26- a 有e=9-5,解得a=2=l, a 2 a2=b2+c2 所以该椭圆C的方程为号+y=1: 2 (2)由(1)知E(0,1),F(-1,0), 设P(x,),G(x2,),直线PG的方程为x=m-1(m≠)， 由 +y产=1消去，得m+2y-2m-1=0,4=4m+4mr+2=87+8≥0. x=my-1 2m -1 则y+为2= m2+25s m2+2 设HwQo6,直线EP的方程为y-1=-x, y-1=-x 由 。，解得w==二m- x+y+4=0 x+y-1(m+1)y-2 同理可得。-》， (m+l)y,-2, 所以H0=24x-xg-2-5mi-》-5m-) (m+1)y-2(m+1)y2-2 =5v2 (m-10y-2) =52m-W0+y-45 (m+1)2%2-2(m+10+2)+4 (m+I)2片2-2(m+100y+y2)+4 将y+为= 2m m2+25= -1 m+2代入上式，整理得H0= 20Wm2+1 m+7 又点E0,)到直线x+y+4=0的距离为d=l0+I+4_5V2 2 所以3.e=H01=2× 120Vm2+15迈25迈m2+1 m+7 2 m+7 设m+7=1,则m=1-7, 所以SE= 当名即1=9即m=号时，5心取到最小值，且最小值为5 19.(17分)给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T={a-州ab∈S,a≠，如果 min(T)=l,则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和， (1)判断A={0.1,-1.1,2,2.5}、B={-1.5,-0.5,0.5,1.5}哪个是规范数集，并说明理由： (2)任取一个n元规范数集S,记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：min(S)+max(S)≥n-】: (3)当S={a,a,入，am}遍历所有2023元规范数集时，求范数∫的最小值 注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数. 【解析】(1)对于集合A:因为2.5-2=0.5<1，所以集合A不是规范数集： 对于集合B:因为B={-1.5,-0.5,0.5,1.5}, 又-1.5-(-0.5)=1，-1.5-0.5=2，-1.5-15=3，-0.5-0.5=1，-0.5-1.5=2,10.5-1.5=1， 所以B相伴数集T=包，2,3}，即min(T)=1,故集合B是规范数集 (2)不妨设集合S中的元素为x<x2<<xn,即min(S)=x,max(S)=x, 因为S为规范数集，则ieN,l≤i≤n-1,则x1-x≥1，且3i。∈N,1≤i≤n-1,使得x-x。=1, 当x≥0时， 则min(S+max(S)=k+=x+xn=(x2-x)+(x3-x3)+入(xm-xn-i)+2x≥n-1+2x≥n-l, 当且仅当x+1-x=1且x=0时，等号成立： 当xn≤0时， 则min(S+max(S=x+k=-x-xn=(2-x)+(x-x2)+入+(xn-xm-i)-2xn≥n-1-2xn≥n-1, 当且仅当x1-x=1且xm=0时，等号成立： 当x1<0,xn>0时， 则min(S)+max(S)=k+x=-x+xn=(x2-x)+入+(x,-xn-)≥n-1, 当且仅当x1-x=1时，等号成立： 综上所述：min(S)+max(S)≥n-1 (3)法一： 不妨设a1<a2<<a2027 因为S为2027元规范数集，故对，i∈N*,1≤i≤2026，都有a+1-a≥1，并且3，i0∈1,2，…，2026， 满足ao+1-a。=l。 由第(2)问结论：la1+a2o27b2026。 ①若a1≥0： 此时全部元素非负， ②若a2027≤0： 全部元素非正， ①②两种情形范数取值很大，要取得f最小值，则必须满足a1<0,a2o27>0,集合同时包含负数与 正数。 记集合中负向元素共有t个，正向元素共有s个，并且集合包含元素0。 总元素个数：t+1+s=2027,得t+s=2026。 取集合为连续整数：S=-t,-+1,…,-1,0,1,…,S-1,S, 此时相邻元素差均为l,满足min(T)=l,符合规范数集定义。 范数： 代入t+s=2026: 要使得f尽可能小，则需要ts尽可能大。 根据基本不等式，和为定值+s=2026,当且仅当s=1013时，乘积ts取得最大值。 代入=s=1013: 构造验证： S=-1013,-1012,,-1,0,1,.,1012,1013,一共2027个元素， 任意相邻两数之差等于1，min(T)=1,是2027元规范数集，此时f=1027182。 若集合中间存在空隙，则存在某个下标j,使得a+1a>1。 又a+1-a≥1恒成立，则 集合整体跨度变大，∑0”a,会严格大于1027182。 综上可得范数f的最小值为1027182。 法二： 不妨设a1<a2<…<a2027° 若集合全部元素非负或者全部元素非正， 前面已经说明，范数取值很大。 故取最优集合必然满足a1<0,a2027>0。 设这2027个元素为连续整数S=p,p+1,p+2…,p+2026, 范数p)F∑ 6Ip+k。 绝对值求和的最小值在中位数位置取得，2027个元素的中位数为第1014项。 令中间项为0，即p+1013=0,得到p=-1013。 于是 若集合内部存在空缺，则a2o27一a1>2026,区间跨度增大，全体元素绝对值之和必然增大。 故范数f的最小值为1027182。姓 名： 准考证号： 绝密★启用前 信阳市2027届五校协作体高三9月供题 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试结束后试卷、答题卡、草稿纸一律不得带出考场。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的 1.已知全集U=R,集合A={y=V2x-x,B={y=2,x∈R},则(CwA)UB=（) A.{xx>0] B.{xlx<0或x>2} C.{xlx丰0} D.R 2.若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,m)到焦点的距离是5p,则P的值为(） A 4 2 B.3 C. 3 D. 3.在等比数列{a,}中，4，+a4=1,a,+a,=-16,则+2=（) as+a A.-4 B.8 C.-16 D.16 4.已知ā为直线1的方向向量，m,i分别为两个不同平面，B的法向量，则下列说法正确的 是() 数学试题第1页共6页 ⑨日全王 A.若a⊥m,m∥n,则1∥B B.若a∥m,a∥i,则a⊥B C.若a⊥m,a⊥i,则a∥B D.若a∥m,a⊥i,则a⊥B 5.古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”： S=√p(P-ap-b)p-9,其中p-a+b+c,a,b,c分别为aMBC的三个内角A,B,C所对 2 的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=8:7:3,且△ABC的面 积为12√3，则BC边上的中线长度为() A.3V2 B.4 C.74 D.√26 6.已知扇形A0B的半径为5，以0为原点建立如图所示的平面直角坐标系，0A=(5,0),OB=(4,3), 弧AB的中点为C,则OC=() A.(别 B. 3W101o 22 C.(4,2) D.(25,5) 7.如图所示，四边形ABCD是正方形，M,N分别BC,DC的中点，若AB=1AM+4AN,入，4∈R, 则22-4的值为（) A. 5 3 B. c. 3 D.0 3 8。.斜率为的直线！经过双曲线若广=1>0b>0的左焦点F,交双曲线两条渐近线于A,。 两点，E为双曲线的右焦点且AE=BF引，则双曲线的离心率为() A.5 B.5 C. 10 D.vis 2 2 数学试题第2页共6页 ⑨日全王 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=2sin(ox+p)（o>0,p∈(0,2π))的部分图象如图所示，则下列说法正确的 是() 3 A.p= 3 B.=2n 3 C.f()的一条对称轴为 6 D.f()在区间%-习上单调递增 10.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数(x)有两个不相等的实 根b,c,其中c>b.在函数f(x)图象上横坐标为x的点处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴交点 的横坐标为名：用x代替x,重复以上的过程得到：一直下去，得到数列化，}.记a,=血-b x-c 且a=1,xn>c,下列说法正确的是（) A.ec-b (其中lne=1) B.数列{an}是递减数列 e-1 1 C.a6=32 D.数列a+安 的前n项和Sn=2”-2"+1 11.已知函数y=)在R上可导且f0)=-2,其导函数∫似满足：)-2田=2x-1,则下 e2r 列结论正确的是() A.函数f(x)有且仅有两个零点 B.函数g(x)=f(x)+2e有且仅有三个零点 C.当0≤x≤2时，不等式f(x)≥3e(x-2)恒成立 D.f)在1,2]上的值域为[-2e2,0] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知f(x)=Vx2-1的定义域为A,集合B={x∈R1<ar<2,若B二A,则实数a的取值范围 是 数学试题第3页共6页 ⑨月全于 13.知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小 值为， 14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所 对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点， 且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角△ABC外接圆的半径 为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P,若AB=3,则sin∠PAC= ；若 AC:AB:BC=6:5:4,则PA+PB+PC的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数f(x)=aln(x+l)-xsinx. (1)若a=0,求曲线y=)在点经)处的切线方程： (2)若a=1,研究函数f(x)在x∈(-1,0]上的单调性和零点个数 16.(15分) 我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2026年10月， 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展 应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策，随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市 和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女， 结果如下表， 数学试题第4页共6页 ⑨用全王 非一线 一线 总计 愿生 40 60 不愿生 x 22 40 总计 58 42 100 (1)求x和y的值 (2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？ (3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知 识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率， n(ad-bc)2 参考公式：t-a+bc+da+eb+d' P(x2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17.(15分) 在直角梯形ABCD中，AD/BC,BC=2AD=2AB=2N5,∠ABC=90°，如图(1).把△ABD 沿BD翻折，使得平面ABDL平面BCD. 图(1) 图(2) (1)求证：CD⊥AB: (2)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值： 若不存在，说明理由. 数学试题第5页共6页 ⑨日全王 18.(17分) 号知椭圆℃：号+a>6>0,过右焦点乃，且与长箱垂直的弦长为反，且离心率 为2 (1)求椭圆C的方程； (2)若C的上顶点为E,过左焦点F的直线交椭圆C于P,G两点（与椭圆顶点不重合），直 线EP,EG分别交直线x+y+4=0于H,Q两点，求△EHQ的面积的最小值， 19.(17分) 给定整数n≥3，由n元实数集合s定义其相伴数集T={a-abeS,a≠，如果min(T)=l, 则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和 (1)判断A={-0.1,-1.1,2,2.5}、B={-1.5,0.5,0.5,1.5}哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个n元规范数集S,记m、M分别为其中最小数与最大数，求证： min(S)+max(S)≥n-l; (3)当S={a1,a2,L,a2o27}遍历所有2027元规范数集时，求范数f的最小值. 注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数. 数学试题第6页共6页 ⑨日消全王