1.4 空间向量的应用讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的应用这一核心知识点，系统梳理从直线方向向量、平面法向量的基础工具，到平行垂直证明、空间角（线线角、线面角、二面角）、空间距离（点线、点面、异面直线距离）及动点问题的综合应用，构建从基础到复杂的学习支架，衔接空间向量运算与立体几何问题解决。 该资料以考向分层设计为特色，例题结合正方体、四棱锥等具体几何模型，通过“一隅三反”练习题强化应用，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维进行逻辑推理（如法向量求法、空间角计算），用数学语言表达几何关系。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过题组练习查漏补缺，提升空间观念和解决复杂几何问题的能力。

知识导图 1.4空间向量的应用 1 空间向量在空间几何中的应用 ①)设出平面的法向量n=(化，y,) (2)找出平面内两步共线的已知向量a的坐标 法向量一 1ea=0 (3)建立关于x、y、z的方程组 6=0 (4)解方程组 空间位置 位置关系 向量表示 线线位置 ∥h n∥2台n1=kn,(keR) 直线h,上的方向向量分别为%，乃， 关系 4⊥2 房112台m2=0 线面位置 直线1的方向向量为n,平面a的法拘 l∥a n1m台nm=0 关系 量为洲 l⊥a n∥m台n=km(k∈R) 面面位置 a∥p n∥m台元=km(kER) 平面a,的法向量分别为n,m 关系 alB n1m合m=0 空间角 a 线线角：设异面直线4、b所成的角为日，则c0sB a 0e0 a-n 线面角：I为平面a的斜线，中为/与a所成的角，则sing5|cos(a,m= 范围[0， 二面角：平面a平面8的〈元，店〉=0，剥c0s日=1 范围[0，n] |l2l 已知AB为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量 空间距离 侧B到丰面a的距高为1威=西：小 Il 考向分折 1.4空间向量的应用 考向四空间向量求空间角 考向一直线的方向向量 考向五空间向量求空间距离 考向二平面向量的法向量 考向六空间几何中的动点 考向三空间向量证明平行与垂直 考向一直线的方向向量 【例1-1】(25-26贵州铜仁)《多选)已知1(104利，B(B2-),则直线4B的方向向量可以表示 为() A.（4-25) B.(⑧4-10) c.(63-7) D.（354) 【例1-2】（2025-2026稻建)已知=245)，6=(6K)分别是直线山的方向向量.若5%，则( ) A.x=6,y=15 B.x=3y=3 C.x=3,y=15 D.=6y-号 【一隅三反】 1.(24-25高二上·全国·课后作业)已知直线的一个方向向量 量m=202）,且直线'过点401.3) 和2），则=于 2.(25-26陕西西安)已和丽=(m-2),若直钱4B的一个方向向量为12-)，则m= 考向二平面向量的法向量 【例2-1】（24-25湖北)如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABG90°，SAL平面 ABCD,S4ABBG1,AD2，试建立适当的坐标系. B (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量： (3)求平面SCD的一个法向量. ABCD-AB,C,D,2AB=2AD=AA,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60 【例2-2】（25-26江苏)已知平行六面体 设 砺=ā，D=6,=,则平面4BD的一个法向量为（) D A D B A.6a+6b-c B.2a+36+c C.2a+3b-c D.a+b-c 【一隅三反】 1.(25-26高二上·广东·期末)点 .0,小B.2,0,C0L山，平面4Bc的-个法向量为 4 1. (1,2,1) 8.12) c.(2,11) D.(L11) 2.(25-26高二上·广东广州·期末)已知正方体ABCD-4BCD的棱长为1，以A为原点， ,D,为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面4BD的一个法向量是（） A.,1) (1,1,-1) c.-以) D.（1,1) 3.(25-26高二上·云南昆明·期末)在平行六面体ABCD-ABCD中，所有棱长都为2，且 A8=∠4D=∠DB=5,E为线段B的中点，设B=a,D=6,=,则平西BDE的一个法向登 为() A.a+6-7 7 5 B.a+6+c 5 0.a-5 考向三空间向量证明平行与垂直 【例3】(2026·江西九江)（多选）如图，正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别为BC,CD的中点， 则（) D B D B A.EF//AB B.EFII平面ABCD C.EF⊥CCD.EF⊥平面AAC 【一隅三反】 5 1.(2025·江苏)（多选)已知分别为直线的山方向向量山不重合)，川分别为平面 a,B 的法向量(4B不重合》，则下列说法中，正确的是《） A. ym2台1⊥12 B.415台414 C. nl/n2台a⊥B D.%1乃台alB 2.(24-25江苏·阶段检测)（多选)在正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2AB,E为CC的中点， 则（) A.ACII平面ABE B.ACII平面BDE C.BE⊥平面ABE D.BE⊥平面BDE 3.(25-26高二下·全国·课堂例题)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥ 底面ABCD,点E是线段BC的中点，AB=2,PA=BC=4,∠ABC=60°.求证：平面PAE⊥平面PED 考向四空间向量求空间角 【例4-1】（25-26浙江)如图所示，在三棱锥A-BCD中，DA、DB、DG两两垂直，且 6 DA=DB=DC=2,E为8G的中点. D E (1)证明：AE⊥BC; (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值. 【例4-2】(26-27安徽阜阳)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，△PAB是等边三角形，E 是CD的中点，AB=2,AD=25,tan∠PBD=-37. D C (1)证明：AB⊥PE; (2)求二面角P-AB-E的大小： (3)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值. 【一隅三反】 1.(25-26高二下·河南·阶段检测)（多选)在空间直角坐标系中， B(0,1,1)C(-1,0,1) ,则() V10 A.异面直线OB与AC所成角的余弦值为10 10 B.直线AC与平面OAB所成角的余弦值为10 C.点C到平面OAB的距离为2 3 D.平面OAB与平面ABC夹角的余弦值为2 已知，点O(0,0,0),A1,0,0), 2.(25-26广东珠海)（多选)已知长方体ABCD-ABCD,，AB=2,BC=CC=1,则() A.BC⊥DA 10 B.直线AB与BC所成角的余弦值为10 25 C.直线AB与平面ABCD所成角的余弦值为5 D.直线BC,与平面ABCD所成角的余弦值为2 3.(26-27湖南长沙)（多选)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC1AB,AB=AC=AM=2，点 D,E,F AB,AA,CD 分别为 的中点.下列结论正确的是（) C A E B A.EFII平面ABC √10 B.异面直线EF与BC所成角的余弦值为10 3 C.直线BE与平面CC,D所成角的正弦值为5 V10 D.平面ACD与平面CCD夹角的余弦值为10 考向五空间向量求空间距离 【例5】(26-27北京)（多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，点E在BD上，且 9 BE-BD:点F在CB上，且CF-CB.则下列结论正确的是() 3 D B B A.线段EF是异面直线BD与CB的公垂线段 B.异面直线AA与BD的距离为2 V14 C.点D到直线EF的距离为3 √6 D.点D到平面DEF的距离为3 【一隅三反】 1.(25-26高二上·四川绵阳·期末)（多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2 的正方形，PA=2,PA⊥平面ABCD,E为PB中点，则下列说法正确的是（) 力 沙D B-… D正=AB-AD+P √28 B.异面直线DE与PC间的距离为14 6 √2 C.点C到直线DE的距离为3 D.点E到平面PCD的距离为2 10 2.(24-25高二下·全国·课后作业)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E, F分别为CD,AB的中点，则下列结论正确的是() D F A B 1-------含 B √30 A.点F到，点E的距离为V2 B.点F到直线ED的距离为5 6 2√6 C.点F到平面AED的距离为3 D.平面BFC到平面AED的距离为3 考向六空间几何中的动点 【例6-1】(24-25高二上·全国·课后作业)如图，在正方体ABCD-ABCD中，若M,N分别为棱 AA BB M,N,CM⊥D,N M,N 和上任意一点（不与端点重合)，是否存在使得 ？若存在，求点的坐标： 若不存在，请说明理由. D C A B B 【例6-2】（25-26宁夏银川·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形. ∠ABC=∠BCD=∠1DP=90,且B=P8=2PA=25,BC=CD=LE为PA中点 B1. D (1)证明：PB⊥平面ABCD: (2)在线段PD上是否存在一点M,使得平面M4B与平面ABCD夹角的余弦值为5？若存在，求出 P PD的值；若不存在，说明理由. 【一隅三反】 1.(25-26高二下·湖南郴州·期中)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠ABC=60,PA⊥，ABCD,PA=AB=2,M 平面 为PA的中点. 12 A 珍D (1)证明：PC/1平面BDM. (2)设点N在线段PC上运动，是否存在点W, 长度；若不存在，请说明理由. 2.(2026·黑龙江哈尔滨)在斜三棱柱1BC AC=4B=4∠A4B=60°，D为4B中点. (1)证明：AC∥平面CDB: (2)证明：AC⊥平面ABB4: (3)线段AC上是否存在一点M,使二面角M 请说明理由. 13 使得平面BDN⊥平面BDM？若存在，求出线段PN的 ABG中，1CL4,ADLBC,MBB4为菱形， AD-C为30°，若存在，求出M的位置，若不存在， A B 11 C D B 3.(25-26广东佛山)如图，在三棱锥A-BCD中， F是线段AC上的一点（不含端，点). (1)证明：BE⊥平面ACD; 14 CD⊥平面ABD,AB=BD=CD,E是AD的中，点， (2)若二面角A-CD-B的大小为3，判断是否存在点F使得直线BF与平面ACD所成角的正弦值为 V42 AF 7?若存在，求AC的值；若不存在，请说明理由. A E B D 15 强化练刀 【题组一直线的方向向量】 1.(25-26高二下·江苏常州）已知直钱/的一个方向向量=2-)，且直钱/过40，与3》和 B(一1,2，z）两点，则y一z等于 2.(25-26广东深圳)已知直线'的一个方向向量=(2-13)，且直线'过点10，a.3)知(-12)两点， 则a+b= 3.(25-26高二上·山东德州·开学考试)A0,0,),B(2,-1,3)在直线/上，则直线1的一个方向向量 为 4. （24-25高二上·北京)已知1(413)，8(-242)在直线'上，写出直线'的一个方向向量为 【题组二平面向量的法向量】 1. (25-26高二上·四川成都·期中)（多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-ABCD 是棱长为1的正方体，则（) ZA D B1 B -A 16 A.平面ABBA的一个法向量为(O,1,O) B.平面B,CD的一个法向量为(L1,) 0.点G在x轴上的投影，点坐标为L0)D.点C关于平面0y对称点坐标为1- 2. (2025·湖北武汉)在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=A4=1, ∠BD=∠410=44B=60.设=8，D=6,=C,则平西1BD的-个法向量为（) A.a-b-c B.a+b-c o. D.a+B-5c 3 3.（25-26高三·全国·二轮复习)已知平行六面体 ABCD-ABCD,2AB=2AD=A4,∠BMD=∠B4=∠D14=0设丽=aD=6,双=6，则平而8D 的一 个法向量为() D C D B A.6a+6b-c B.2a+3b+c C.2a+3b-c D.a+b-c 4.(25-26高二上·四川成都·阶段检测)在长方体ABCD-ABCD中，AB=2,BC=3,CC=4.以D 17 为原点，以(3 DA DC.D为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面AC”的 2 个法向量为 （用向量的坐标表示)· 5. (24-25高二上·山东·阶段检测)如图，四棱柱ABCD-ABCD为正方体. D B B ①直线CC的一个方向向量为00)： ②直线8C的一个方向向量为@1，)： ③平面BCC 的一个法向量为1,00)】 ④平面CD 的一个法向量为1) 则上述结论正确的是· (填序号) 【题组三空间向量证明平行与垂直】 1.(2026福建)（多选）在正三棱柱ABC-ABG中，D为BC的中点，则() A.AD⊥AC B.BC⊥平面AAD C.CC∥平面AAD D.AD∥AB 2.(2026·四川成都)（多选)在正三棱柱ABC-AB,G中，D是棱AC的中，点，则() A.BD⊥CD B.BDIIB,C 18 C.平面BDC上平面ABC D.平面BDC1平面ACC4 √2 3.(25-26福建福州·期中)（多选)在三棱柱ABC-ABC中，D为BB的中点，21 AA=AB=BC AA⊥ 平面1BC,∠1BC=90,则下列结论错误的是() A.平面ABC⊥平面ACCA B.平面ABC⊥平面CAB C.AD∥平面CAB D.AD⊥AC 【题组四空间向量求空间角】 1.(25-26高二下·四川自贡·阶段检测)（多选）在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，E为棱 AB 的中点，F为棱BC的中点，则下列说法正确的是（) 22 A.EF⊥AD B.异面直线EF与AC所成角余弦值为3 2 √6 C.三棱锥E-ABF的体积为3 D.直线EF与平面ABCD所成角正弦值为2 2.(25-26高二下·河南濮阳·期末)（多选)如图，在三棱锥P-ABC中， PA=PB=4C=BC=25,MB=4,PC=45,E,F分别为BC,AC的中点，则() B F A.平面PAB⊥平面ABC 19 310 B.直线PC与平面PEF所成角的正弦值为10 1 C.异面直线PB与AC所成角的余弦值为5 √30 D.平面PEF与平面PAC夹角的余弦值为I0 3.(2026·广东深圳)如图，在直三棱柱ABC-ABG中，已知，点D,E分别是棱BC,CC上的，点， AD⊥BC A B E A〔 D B (1)证明：平面ADE⊥平面BCCB: (2)若△ABC是等边三角形，BC=CC,E为CC的中点，求直线AE与平面ADE所成角的余弦值. 20 4.(2026·河南开封·模拟预测)如图，在三棱锥D-ABC中，AD⊥平面ABC,△ABC为等腰三角 形，∠ACB=90°，AC=BC=V2,AD=2,M为AD的中点，P是BM的中，点，且D0=30C. (1)求证：PQ1/平面ABC: (2)求平面BCD与平面BDM夹角的正切值. B≤------ 5.（2026·上海)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且BC∥AD,AB⊥AD, AB=AD=2BC=2.PC=5,E为PD的中点，F为MD的中点. (1)求证：CE∥平面PAB; (2)求证：平面PCF⊥平面ABCD: (3)求直线PB和平面PCD所成的角的正弦值 21 E A B 6.(2026·重庆江津)如图，三棱柱ABC-ABC中， 22 底面是边长为2的正三角形， ∠BAA=∠CAA=60°，AA=1,E,F 分别为 C,AB的中，点 (1)证明：BF1/平面ACE; (2)求平面A4E与平面ACE夹角的余弦值. C A B A B 23 7.(2026·四川遂宁)如图所示，在四棱锥P-ABCD中， AB=AD=CD=1,BC=PC=2 CD L PB (1)求PD的长； (2)若PB=3,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. D B≤---- 24 底面ABCD为等腰梯形，其中 8.(2026·四川绵阳)如图，在三棱柱ABC-ABC中，A41平面ABC,∠ACB=90°，CA=CB=V2, M=V5,D是棱48的中，点，F是接BC上靠近C的三等分点，E在校8上，且D1BC. (1)求证：EF∥平面ADC; (2)求平面DEC与平面AEF的夹角的余弦值. D Bi A --------- C B 25 9.(2026·河北秦皇岛)如图，在三棱锥A-BCD中， 面BCD.已知AC=V2,BC=V5,BD=2. (1)求证：平面AOC⊥平面BCD (2)求平面ABC与平面ACD的夹角的余弦值. B 26 其外接球球心为BD的中点O,平面ABD⊥平 10.(2026·陕西)如图，四棱柱ABCD-ABCD,的底面ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=90°， AB=AD=1CD=2BD⊥CD D.点M为C0的中点，且9 CD =2BM (1)证明：BD⊥BD: 2V7 (2)若DM与平面BCD所成角的正弦值为7，求二面角B-DM-C的正弦值. 27 D 、M B 【题组五空间向量求空间距离】 1. (25-26高二下·福建宁德·期末)在三棱台ABC-AB,G中， ∠ABC= 2,若BB⊥平面ABC,则点B到直线AC的距离为( A B C A C √3 6 2V5 A. 3 B.3 C.3 28 AB=BC=2,BB=AB=1,且 ) 2W6 D.3 2.(25-26高二上·云南文山·阶段检测)如图，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD,中，E为BC 的中点，P为DE的中点，则点P到直线BB的距离为() D C A B D E B A.5 B.3 C.2v2 D.3 3.(26-27湖北)已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条 直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度， 叫做这两条异面直线的距离.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面 1BCD,PA=6,点6在侧棱PB上，且满足2 G PG=GB PC.DG ,则异面直线和的距离为（) 3V14 3W15 3v21 377 A.14 B.15 C.7 D.77 4.(2026高三·全国·专题练习)一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如 果公共边AC=a,则异面直线AB与CD的距离是() 29 D 60° A 女450 C B a √2 A. B.a C.2a 5.(25-26高二下·江苏扬州·期末)在空间直角坐标系中， D(3,1,0 ,则，点D到平面ABC的距离为() 5 √5 2V3 A.3 B.2 C.3 6.（2026湖南)如图所示，正方体的棱长为1，E,F,M 点.则平面AEF与平面B,NMD,间的距离为() D M E B A D -C B 22 33 A. 3 B.3 C.3 30 V30 D.6 已知，点11.0)B0,1）C(0,1） D.5 N分别为棱AD,AB,DC,BC的中 7.(24-25高二上·新疆·期中)（多选）空间内有四，点P(9,85),E(2,11),F1,21),N(1,12),则 () A.点P到直线EF的距离为V14 B.点P到直线EF的距离为3W2 C.点P到平面EFW的距离为5V5 D.点P到平面EFW的距离为6V3 8.(2026·上海·)如图，AC为圆锥底面圆0的直径，AC=4,S0=V2,M为AC的中点，点B是圆 0上的动点（点“，B在直径1C同创），当△SB SMC 的面积最大时，点”到平面距离为一 S B M 【题组六空间几何中的动点】 1.(26-27北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，,AD⊥AB,ABIIDC, D=DC==2,4B=,点E为棱PC的中点 PC E D A B (1)求证：BEI∥平面PAD: 31 (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； 、CF (3)在棱PC上是否存在点F,满足BF⊥AC？若存在，求出CP的值：若不存在，说明理由. 2.(25-26高二下·广东·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/IBC, ∠ADC=90 ,平面PD1底面1BCD,P为D的中点，M是投PC上的点，PA=PD=2, BC-TAD=1,CD=3. 2 (1)棱PC上是否存在一点M,使得平面M⑨B上平面PAD,请说明理由」 π PM (2)若二面角M-BQ-C大小为6，求PC的值. D M B 32 3.(2026浙江)如图所示，在长方体1BCD-ABCD中，AD=A4=1,AB>1,点E在棱AB上移动， 小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为2√2. (1)求证：DE14D: (2)求AB的长度： (3)在线段AB上是否存在点E,使得二面角D,-EC-D的大小为4·若存在，确定点E的位置：若不 存在，请说明理由， D C A B 33 4.（(25-26湖北威宁·期末)知图，在直三棱柱BC-4BC中，MB1BC,AB=BC-号4-2，PQ 分别为AC,A4的中，点. (1)求证：AB∥平面PBC; (2)设平面PBC与平面ABB,4的交线为I,求二面角P-1-A的余弦值： V38 (3)在线段CQ(不含端点)上是否存在点M,使直线AM与平面B,CQ所成角的正切值大小为19？ 若存在，求出CM的长度；若不存在，说明理由. 34 B B 5.（2026·陕西西安)如图所示，在矩形ABCD中，AB=4, 折AM起，使得平面ADM⊥平面ABCM. 35 BC=2,M为CD的中点，将△AMD沿 (1)求证：AD⊥平面BDM; (2)求三棱锥D-ABM的外接球球心到直线CD的距离； (3)若DE=EB，（元>0)，当二面角E-4M-D的平面角为3时，求 D D M C E C M B B 36 6.(26-27浙江)如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABI1CD,AB⊥AD,侧面PAD为正三 角形，平面PAD⊥平面ABCD,且CD=2AB=2AD=4,E为PC的中点. (1)证明：BE⊥平面PCD. (2)求二面角E-PA-B的正弦值. 42 (3)在线段AE上是否存在，点Q,使A、B、C三点在以点Q为球心的球面上？若存在，求AE的值： 若不存在，说明理由. ◇ E D C A B 37 1.4 空间向量的应用 考向一 直线的方向向量 【例1-1】（25-26贵州铜仁）（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 【例1-2】（2025-2026福建）已知分别是直线的方向向量．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，可得，所以，故选：D 【一隅三反】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______. 【答案】4 【解析】由题得，设，则，解得.故答案为：4 2．（25-26陕西西安）已知，若直线的一个方向向量为，则______. 【答案】 【解析】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,，则，解得.故答案为：． 考向二 平面向量的法向量 【例2-1】（24-25湖北）如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量. 【答案】（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1). 【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1). （1）∵SA⊥平面ABCD， ∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB， ∴=，0，0是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1). 设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴ 得方程组令，则，，∴=(2，-1，1). 所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量. 【例2-2】（25-26江苏）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A 【一隅三反】 1．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即化简得，， 令，则，，即法向量为.故选：A. 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 考向三 空间向量证明平行与垂直 【例3】（2026·江西九江）（多选）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 【一隅三反】 1．（2025·江苏）（多选）已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，分别为直线，的方向向量，不重合），则，故选项A错误； 则，故选项B正确； 因为，分别为平面，的法向量，不重合），则，故选项C错误； 则，故选项D正确．故选：BD． 2．（24-25江苏·阶段检测）（多选）在正四棱柱中，，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【解析】以为原点，以、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，，， ，，，， ，，， ，，， 对于A，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以与不垂直，即与平面不平行，故选项A错误； 对于B，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以，又因为平面， 所以平面，故选项B正确； 对于C，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：， 即，所以平面，故选项C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：与不平行， 所以与平面不垂直，故选项D错误， 故选：BC. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 考向四 空间向量求空间角 【例4-1】（25-26浙江）如图所示，在三棱锥中，DA、DB、DC两两垂直，且，E为BC的中点． (1)证明：； (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）以为空间直角坐标系原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 故，， 则，故. （2）由（1），， 则， 故直线AE与DC的夹角的余弦值为. 【例4-2】（26-27安徽阜阳）如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析(2)(3) 【解析】(1)取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又是的中点，所以， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）由（1）知为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 记，则， 在中，，， 因为，， 设， ， 所以， 由余弦定理知 ，故， 在中，由余弦定理得， 又，所以． （3）因为平面平面， 所以平面平面， 以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为，， 所以， ，则， 所以，，， 设为平面的法向量，由，， 可得，取，得，故， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【一隅三反】 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 2．（25-26广东珠海）（多选）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】以坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得各点坐标：，，，，，，，. 选项A：，，所以，故，A正确. 选项B：，，异面直线所成角的余弦值为，B正确. 选项C：向量，， 设平面的法向量为，则，取，则. 设线面角为，则， ，C错误. 选项D：平面的一个法向量为，设线面角为，则， 故，，D正确. 3．（26-27湖南长沙）（多选）如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点. 下列结论正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】在直三棱柱 中， ，所以， 以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 因为为的中点，所以， 对于A，因为平面，所以为平面的一个法向量， 又， 所以，又不在平面内，所以平面，A正确； 对于B，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 ，B正确； 对于C，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则， 所以， 所以， 所以直线与平面 所成角的正弦值为，C错误； 对于D，，设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 ，D正确. 考向五 空间向量求空间距离 【例5】（26-27北京）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论正确的是（     ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，， 则，，所以，． A：，，， 所以，， 即，，所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； B：由正方体的性质可得异面直线与的公垂线的一个方向向量为，又， 所以异面直线与的距离为，故B错误； C：，， 所以在方向上的投影向量的长度为， 所以点到直线的距离为，故C正确； D：设平面的一个法向量为，， 则，即，令，得，， 所以，又， 所以点到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【解析】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确； 对于B，，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为，所以B不正确； 对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确； 对于D，，，设平面的法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以点到平面的距离，所以D正确. 故选：AD. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 考向六 空间几何中的动点 【例6-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】不存在，理由见解析 【解析】设正方体的棱长为3， 则， 则， 则， 则，所以或， 当时，与重合，时，与重合， 故不存在使得. 【例6-2】（25-26宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． 【一隅三反】 1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解析】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 2．（2026·黑龙江哈尔滨）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1) 连接，交于，连接， 在斜三棱柱中，是平行四边形，所以为的中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 连接，菱形中，，， 所以是等边三角形， 又为中点，所以， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，， 所以平面； （3）不存在，理由如下：取的中点， 因为分别是的中点，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 所以，， 设，， 因为，所以， 解得，，，即， 所以, 设平面的法向量， ，令，得， 显然是平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为， 所以，化简得，解得， 因为，所以线段上不存在点，使二面角为． 3．（25-26广东佛山）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． （2）由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 【题组一 直线的方向向量】 1．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于 【答案】0 【解析】由题知：，因为，所以，解得， 所以. 2．（25-26广东深圳）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则 【答案】3 【解析】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以，所以，解得，所以. 3．（25-26高二上·山东德州·开学考试）在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 【答案】 【解析】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 4．（24-25高二上·北京·期中）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量为________. 【答案】（答案不唯一，与此向量共线的非零向量均可） 【解析】点，，则，而点在直线上，所以直线的一个方向向量可以为.故答案为： 【题组二 平面向量的法向量】 1．（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 【答案】ACD 【解析】由题知，，，，，，， 对于A，因为正方体， 所以平面， 是平面的一个法向量，故A正确； 对于B，∵，且， ∴不是平面的法向量，故B错误； 对于C，点在x轴上的投影点为，故C正确； 对于D，点关于平面对称点坐标为， ∴点关于平面对称点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 2．（2025·湖北武汉）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 3．（25-26高三·全国·二轮复习）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A 4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【答案】 【解析】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 5．（24-25高二上·山东·阶段检测）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是______.（填序号） 【答案】①②③ 【解析】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 【题组三 空间向量证明平行与垂直】 1．（2026福建）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】BC 【解析】解法一：如图，对于A选项，在正三棱柱中， 平面，又平面， 则，即， 因为是正三角形，为中点， 则，即， 又， 所以， 所以不成立，故A选项错误， 对于B选项，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又，，平面， 所以平面，故B选项正确， 对于C选项，因为在正三棱柱中，， 又平面，平面， 所以平面，故C选项正确， 对于D选项，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故D选项错误. 解法二：如图，建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的底面边长为2，高为h， 则，因为是正三角形，为中点， 所以，在直角三角形中，， 即，，，，，， 对于A选项，，， 则，即不成立，故A选项错误； 对于B选项和C选项，，，，， 设平面的法向量为，则， 得，令，则，所以，，平面， 则平面，平面，故B选项和C选项正确； 对于D选项，，，则，显然不成立，故D选项错误. 2．（2026·四川成都）（多选）在正三棱柱中，是棱的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【解析】选项：如图所示，在正三角形中，因为为的中点，所以， 在正三棱柱中，因为面，面，所以， 因为，面，所以面， 因为面，所以，故正确； 选项：在正三棱柱中，，又， 故与不平行，即与不平行， 故不正确； 选项：设正三棱柱的底面棱长为，高为. 因为，故以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，过点且平行于直线所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则、、，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，得， 令，得，所以. 平面的一个法向量为，所以，， 所以平面与平面不垂直，故不正确； 选项：设平面的一个法向量为，得， 所以，面面，故正确. 3．（25-26福建福州·期中）（多选）在三棱柱中，为的中点，，平面，，则下列结论错误的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面 D． 【答案】ABC 【解析】在三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，则、、、 、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 对于A选项，因为， 所以，平面与平面不垂直，A错； 对于B选项，，所以，平面与平面不垂直，B错； 对于C选项，，因为，则与平面不平行，C错； 对于D选项，，则，所以，，D对. 故选：ABC. 【题组四 空间向量求空间角】 1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【解析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，则，从而异面直线EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，其中表示到平面距离，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，易得平面的法向量可取，则直线EF与平面ABCD所成角正弦值为，故D错误. 2．（25-26高二下·河南濮阳·期末）（多选）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 3．（2026·广东深圳）如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，．    (1)证明：平面平面； (2)若是等边三角形，，为的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】见解析 【解析】(1)三棱柱是直三棱柱，平面， 又平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面． （2）以过且与平行的直线为轴，，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则，，，，，. ，，， 设平面的法向量为 则，令得． 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的余弦值为. 4．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，为的中点，是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值． 【答案】见解析 【解析】(1)在平面中，以为原点，所在直线为轴，作轴， 因为平面，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，，， ，，因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为，平面，所以平面； （2）因为轴平面，所以平面的一个法向量为及，， 设平面的一个法向量为，，， 取，则，，所以，设平面与平面的夹角为， ，，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 5．（2026·上海）如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成的角的正弦值 【答案】见解析 【解析】(1)取中点，连接，由为中点，得且， 又，，则且，四边形为平行四边形， 因此，又平面，平面， 所以平面. (2)由为的中点，，，得四边形为平行四边形， 则，而，则，由是等边三角形，得， 又平面，因此平面，而平面. 所以平面平面. （3）在正中，，取中点，连接，则， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，在平面内作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由（2）知，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 设与平面所成角为，则 6．（2026·重庆江津）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形， 分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】见解析 【解析】(1)取中点，连接、， 由分别为，的中点，则、， 又平面、平面且平面、平面， 故平面，平面，又且、平面， 所以平面平面，又平面，所以平面； （2）以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 由题意可得， 解得，则，又， 有，故，又平面，所以平面， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为 则，令，则， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 7．（2026·四川遂宁）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，．    (1)求的长； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）如图：    在等腰梯形中，过点作于，过点作于， 因为，则，所以， 连接，在三角形中，由余弦定理得：， 所以，又，所以， 所以，又，且平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以． （2）在三角形中，由余弦定理得：， 所以，由于平面， 所以以为坐标原点，分别以向量的方向为轴的正方向， 过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 设平面的一个法向量为，   ， ，所以， 令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， ，所以， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则． 8．（2026·四川绵阳）如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，是棱上靠近的三等分点，在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】见解析 【解析】(1)等腰直角三角形中，是斜边的中点，． 平面，平面，， 平面，平面， 平面，， 平面，平面， 平面，，则，则， ，，，， ，可得， 在上取点，使，连接， 则，， 则，则， 又平面，平面，所以平面， 在上取点，使，取线段的中点，连， 则，则， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，则， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 平面，平面； 法二：由题可知，，，两两垂直，则以为原点，所在直线为轴建系，设， 则，，，，， 则，， 由得，所以，所以 所以， 设平面的法向量． 则，即，令，则， 所以， 因为平面，所以平面． （2）同（1）中建系，易得，， ，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，， 得，， 令，则，， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 法二：取的中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 取平面的法向量， ， 所以平面与平面的所成锐二面角的余弦值为． 9．（2026·河北秦皇岛）如图，在三棱锥中，其外接球球心为的中点，平面平面.已知.    (1)求证：平面平面. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为是三棱锥外接球的球心，且为中点，， 因此球半径，则， 已知，由勾股定理逆定理： ，得， 又，所以，作于H， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 结合已知条件可得各点坐标： ，，，， 向量，， 设平面的法向量，由， 即， 令，则，所以，， 向量，， 设平面的法向量，由，即， 令，则，所以，， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因此平面与平面夹角的余弦值为.    10．（2026·陕西）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为为中点，且，所以，即， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）因为，所以． 又，，所以，所以，则， 由（1）知平面，所以，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 由，，，平面，得平面， 所以与平面所成角为， 所以， 解得，，所以，则，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由，得，可取， 设平面的一个法向量为， 由，得，可取 设二面角为． ， 则， 所以二面角的正弦值为. 【题组五 空间向量求空间距离】 1．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 3．（26-27湖北）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：. 4．（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【解析】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 5．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易得，， 设平面的法向量为，则，令，则， 则点到平面的距离为. 6．（2026湖南）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 7．（24-25高二上·新疆·期中）（多选）空间内有四点，则（    ） A．点到直线EF的距离为 B．点到直线EF的距离为 C．点到平面EFN的距离为 D．点到平面EFN的距离为 【答案】AD 【解析】因为，所以EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点到直线EF的距离为． 设平面EFN的法向量为，因为， 所以令，得． 因为， 所以点到平面EFN的距离为． 故选:AD. 8．（2026·上海·）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    【答案】 【解析】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 【题组六 空间几何中的动点】 1．（26-27北京）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析(2)(3)在棱上存在点，满足，此时 【解析】(1)取的中点，连接.因为点为棱的中点， 所以，且，又因为，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）依题意，以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为点为棱的中点，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设在棱上存在点，满足， 设，则， 因为， 故， 由，得，解得，满足， 所以在棱上存在点，满足，此时. 2．（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】见解析 【解析】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下： ∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为，∴， 即，解得或（舍去），即，∴. 3．（2026浙江）如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为． (1)求证：； (2)求的长度； (3)在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)方法一（几何法）： 连结，在长方体中， 因为平面，且平面，所以， 因为，所以矩形为正方形，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以； 方法二（向量法）： 建立如图空间直角坐标系，设， 则，，，， ，， 因为，所以； （2）设， 因为四边形是正方形， 所以小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点可能有两种途径． 如图甲的最短路程为， 如图乙的最短路程为， 因为，所以， 所以，解得，即的长度为． （3）方法一（几何法）：： 假设存在满足条件的点E，连结，设， 过点D在平面内作，连结， 则为二面角的平面角， 所以，所以， 在内，，而， 即，解得， 即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 方法二（向量法）： 假设存在满足条件的点E，平面的法向量，，， 设平面的法向量， 则，即， 取，解得，得， 由题意得， 解得或（舍去）， 即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 4．（25-26湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析(2)(3)存在点， 【解析】(1)设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. 5．（2026·陕西西安）如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球球心到直线的距离； (3)若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 【答案】（1）见解析(2)(3) 【解析】(1)在矩形中，有，， 由为的中点，则， 所以， 则，所以， 由平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又，且平面，所以平面． （2）结合（1）有平面，，， 又平面，则， 所以， 又，，则， 所以是直角三角形，且， 所以把三棱锥扩展成底面边长为的正方形，高为的长方体，如下图所示， 由的中点为长方体的外接球球心，所以为三棱锥的外接球球心． 由，取的中点，连接，则， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以以为原点，直线，，的平行线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以点到直线的距离为． （3）结合（2）的空间直角坐标系，有，，，， 由，则，所以得， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 结合（1）有平面，且， 所以平面的一条法向量为， 又二面角的平面角为，且， 则，即，解得，或（舍去）， 所以当二面角的平面角为时，． 6．（26-27浙江）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的正弦值． (3)在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)因为，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，连接、， 平面，， 在正三角形中，， 又，、平面，平面， 是中点，是的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，，平面. (2)取的中点，连接， 在正三角形中，， 面面，面面，平面， 面， 以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面和平面的一个法向量分别为， 由，得，取，得， 由，得，取，得， 则， 则二面角的正弦值为． (3)在线段上不存在点满足条件，理由如下： 假设在线段上存在点满足条件，设， 由（2），，， 则，， 由得 ，无解， 即在线段上不存在满足条件的点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $