宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2026-2027学年高三第一学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三数学开学考试卷，以基础巩固与能力提升为梯度，融合广告销售统计、选科分类等现实情境，通过概率分布列、独立性检验等题型考查数学眼光、思维与语言，适配月考学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、充分条件、古典概型等|第3题志愿者选法考查数学眼光观察现实；第7题广告与销售额统计体现数据意识| |多选题|3/18|排列组合、正态分布等|第11题不同条件下排列综合考查逻辑推理| |填空题|3/15|均值不等式、两点距离等|第14题函数图象上点距离考查空间观念| |解答题|5/77|二项式定理、导数应用、概率统计等|第17题三局两胜制概率分布列提升应用能力；第19题选科与性别独立性检验呼应真题趋势，培养模型观念|

青铜峡市第一中学2026-2027学年第一学期开学考试试卷 高 三 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．现有6名学生志愿者作交通协管员，其中男生有2人，女生有4人.现从这6人中随机选2人到A路口，则A路口的志愿者是1男1女的概率为（    ） A． B． C． D． 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 7．统计某超市连续5年的广告支出费（万元）与销售额（万元）的数据如下： 广告支出费 1 2 4 6 7 销售额 20 30 m 43 46 得出经验回归方程为，则（    ） A．与呈负相关关系 B．当时，一定有 C． D．当时，残差为3 8．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（   ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10．若随机变量，的取值落在内的概率约为，落在内的概率约为．已知随机变量，则（     ） A． B． C． D． 11. 现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A. 排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种 B. 全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种 C. 全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种 D. 全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12．已知，则的最小值为_________． 13. 已知随机变量，且，则______. 14．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． (1)求正整数n的值． (2)求展开式中含的项的系数． (3)求展开式中系数最大的项． 16．已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 17．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 18．某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （1）求与的线性回归方程； （2）已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 19．生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 （1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； （2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学开学考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A D D A C C C ACD AC ABC 1．A 【分析】解不等式求得集合，再利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以或，又， 所以. 故选：A. 2．A 3.D 【分析】首先确定选择总数为，再求出是1男1女种，进而得到概率. 【详解】由题意知，从6人中随机选2人，有种结果，其中2人是1男1女的结果有种， 所以A路口的志愿者是1男1女的概率为. 故选：D. 4．D 【分析】写出通项，令的次数为零，求出，再计算常数项即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以， 所以常数项为240. 故选：D. 5．A 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 6．C 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 7．C 【详解】对于A，由得与呈正相关关系，故A错误， 对于B，由回归方程的性质得当时，不一定有，故B错误， 对于C，由题意得，代入方程中，得到， 而，则，解得，故C正确， 对于D，当时，，残差为，故D错误. 8．C 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 9．ACD 【分析】应用赋值法判断A,C,D选项，根据二项式展开式判断B选项. 【详解】令,可得,A选项正确； 令,可得, 令,可得， 两式相加可得,C选项正确； 是的各项系数和，所以，D选项正确； 的展开式的系数是,B选项错误. 故选：ACD. 10．AC 【分析】根据正态分布的基本性质，结合正态分布的对称性和题干给出的特殊区间概率即可判断各选项正误； 【详解】由可得：均值，标准差 选项AB：，，A正确；B错误； 选项C：根据对称性，，C正确； 选项D：，D错误； 11．ABC 【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生， 对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确； 对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确； 对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确； 对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾 可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法， 此时乙有种排法，共有种排法； （2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法， 共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误. 故选：ABC. 12． 【分析】利用基本不等式对正项和放缩，验证等号成立条件即可求得最小值. 【详解】已知，因此，， 根据基本不等式可得： 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. 13．12 【分析】利用二项分布期望的公式，先求，再利用二项分布方差的公式以及方差的性质即可求解 【详解】因为，所以，所以 则，所以 故答案为： 14． 【分析】设切点为，由切线与平行即可求出切点，最后由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设切点为，则切线与平行， 即有，所以，所以切点为， 当点为切点时，点到直线距离最小， 由点到直线的距离公式有， 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求解； （2）先写出展开式通项，令的指数为3，判断无符合条件的整数，得对应系数为0； （3）写出各项系数表达式，仅比较偶数项（奇数项系数为负）的大小，找到系数最大时的，代入通项得结果. 【详解】（1）二项式展开式所有项的二项式系数之和为，由题意得，解得. （2）由得二项式为，其展开式通项为： ， 令，解得，不满足，故展开式中不含的项，对应系数为. （3）设第项的系数为， 当为奇数时，不可能为最大值，仅需比较为偶数时的系数大小. 令（），相邻偶数项的系数比值为： ， 当时比值大于1，系数递增；当时比值小于1，系数递减， 故即时系数最大. 将代入通项得： ，即系数最大的项为. 16．(1) (2). 【分析】（1）求出，切点为，直接写出切线方程； （2）转化为对于恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，， ，，， 所以的图象在处的切线方程为：. （2）， 若函数在上单调递增，则对于恒成立， 即对于恒成立， 令， 当时，， 则函数在上单调递增，所以， 故. 17．(1)（i）的分布列为： 2 3 ，；（ii） (2) 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望；分乙两局或三局获胜求解； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可． 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故． 18．(1) (2)同学甲物理成绩不会超过分. 【分析】（1）求出、的值，结合题干中的数据求出、的值，即可得出回归直线的方程； （2）将代入回归直线方程，即可得出结论. 【详解】（1）由题中数据可得，，， 由得， ， 所以， 所以线性回归方程为. （2）当时，，即同学甲物理成绩不会超过分. 19．(1)学生的性别对选科分类有影响. (2)的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与临界值对比分析即可求解； （2）根据全概率公式求解男生选化学和地理的概率，然后结合二项分布求分布列和数学期望. 【详解】（1）零假设为：学生的性别对选科分类没有影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为学生的性别对选科分类有影响. （2）设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史. 由题意，，， 且，， . 则，所以， ， ， ， ， 的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 （另解：因为，所以） 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ > > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ( 青铜峡市第一中学202 6 -202 7 学年第 一 学期 开学 考试 高 三 数学答题卡 ) ( 注意事项 选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 填 涂 样 例 正确填涂 > 条形码粘贴区域 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 试卷类型 A B 缺考标记 （禁止考生填涂） < < < 姓 名： 班 级： 考 号： ) ( 一、 单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 二、多项选择题： （本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） ) ( 5 abcd 6 abcd 7 abcd 8 abcd    ) ( 1 abcd 2 abcd 3 abcd 4 abcd ) ( 9 abcd 10 abcd 11 abcd ) ( 三、填空题 (本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 13. 14. ) ( 15. （共13分） ) ( 1 6 . （共15分） ) ( 1 7 . （共1 5 分） ) ( 1 8 . （共17分） ) ( 19 . （共1 7 分） ) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第2面 共2面 > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第1面 共2面 > > 学科网（北京）股份有限公司 $