第1章 集合（单元分层自测·能力提升卷）数学苏教版必修第一册

**基本信息** 高一数学第1章集合单元复习卷，覆盖集合关系、运算及新定义问题，分层设计基础巩固与创新应用，提升数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合关系（第1题元素与集合关系）、运算（第2题交集）、新定义（第6题集合对称差）|基础题结合辨析（第9题集合表示），多选题考查逻辑推理（第11题平衡组）| |填空题|3题/15分|集合运算（第12题并集）、参数问题（第13题集合相等求参数）|简洁考查核心技能，第14题创新定义集合运算| |解答题|5题/77分|综合运算（第15题交补运算）、证明推理（第18题奇数性质证明）、探究应用（第19题性质P探究）|分层设计，第18-19题体现创新意识与数学思维，适配单元能力提升需求|

2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由于，，，，故②错误，①③④正确. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，，则 3．下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】①：集合的元素具有无序性，和的元素完全相同，两集合相等，正确； ②：任何集合都是自身的子集，故正确； ③：是包含元素0的非空集合，不含任何元素，二者不相等，故错误； ④：空集是任何集合的子集，故正确； ⑤：0是集合中的元素，故正确. 4．已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，故，如图所示， 由图可知BD错误， 又，故A错误，C正确. 5．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【解析】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 6．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 7．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【解析】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【解析】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 10．已知集合，，全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，因为,，根据集合B的定义知，故A正确， 对于B，由，知，故B正确； 对于C，，可知， 由知，而，故，故C错误； 对于D，，显然，故D错误． 故选：AB． 11．对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（    ） A．若都是平衡组，则一定是平衡组 B．若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C．是平衡组 D．存在两个平衡组，使得 【答案】ABD 【解析】对于选项A，设，均为平衡组， 则，，且各分量为非负整数.， 且， 又均为非负整数，故是平衡组，故A正确； 对于选项B，若是平衡组，则，为非负整数，， ，为非负整数，故是平衡组，故B正确； 对于选项C，对，，不满足，不是平衡组，故C错误； 对于选项D，设为平衡组，则， 由， 得，代入， 得，符合上式. 取一组非负整数， 则，二者均为平衡组，且， 故存在两个平衡组，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，则________． 【答案】 【解析】集合是直线上所有点构成的集合，集合是反比例函数上所有点构成的集合， 因此为两个图象公共点构成的集合， 联立方程如下：，整理得， 解得，， 将代入，得；将代入，得， 经检验，两组解均满足原方程组， 因此直线和反比例函数图象的公共点为和， 故. 13．设，且，则　________　. 【答案】 【解析】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 14．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【解析】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【解析】（1）∵集合或， ∴或.（6分） （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或.（13分） 16．（15分） 已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，集合， 且或，所以或.（7分） （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是．（15分） 17．（15分） 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【解析】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求；（6分） ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或.（9分） （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故.（15分） 18．（17分） 已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【解析】（1）任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素．（3分） (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素.（6分） (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合.（12分） （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是．（17分） 19．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【解析】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应， 满足，故 不具有性质.（4分） （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： .（9分） （3）证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为 （15分） 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 4．已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 5．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 6．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 10．已知集合，，全集，则（    ） A． B． C． D． 11．对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（    ） A．若都是平衡组，则一定是平衡组 B．若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C．是平衡组 D．存在两个平衡组，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，则________． 13．设，且，则　________　. 14．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 16．（15分） 已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 17．（15分） 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 18．（17分） 已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 19．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合·能力提升卷（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C C C D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AB ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）∵集合或， ∴或.（6分） （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）当时，集合， 且或，所以或.（7分） （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求；（6分） ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或.（9分） （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素．（3分） (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素.（6分） (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合.（12分） （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应， 满足，故 不具有性质.（4分） （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： .（9分） （3）证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为 （15分） 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合·能力提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 4．已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 5．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 6．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 10．已知集合，，全集，则（    ） A． B． C． D． 11．对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（    ） A．若都是平衡组，则一定是平衡组 B．若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C．是平衡组 D．存在两个平衡组，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，则________． 13．设，且，则　________　. 14．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 16．（15分） 已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 17．（15分） 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 18．（17分） 已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 19．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $