26.4 第1课时 高度问题和面积问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数最值在高度和面积问题中的应用，通过自主预习回顾二次函数最值求法，结合自学检测中的矩形面积、小球高度问题，搭建从理论到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 以实际问题为载体，通过跨学科（数物融合）和几何情境引导学生抽象二次函数模型，强化数形结合思想，培养模型意识与运算能力。分层设计预习、探究、检测环节，助力学生逐步掌握建模方法，提升应用数学解决问题的能力。

26.4 第1课时 高度问题和面积问题 素养目标 1.会运用二次函数模型求实际生活中与图形有关的最大值或最小值问题. 2.在转化和建模中增强应用数学解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系. 3.经历利用二次函数求解面积等最值问题的过程,强化数形结合思想,培养数学运算与直观想象素养,增强应用数学解决几何问题的意识. 重点 从实际问题中抽象出二次函数模型. 【自主预习】 预学思考 知识点 利用二次函数最值解决实际问题 　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 1.二次函数y=ax2+bx+c的最值: 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最 点,也就是说,当时,二次函数y=ax2+bx+c有 值　　　　.  2.用二次函数解决实际问题的一般步骤: (1)设自变量; (2)列出 ;  (3)确定自变量的取值范围; (4)根据 或 求出最大值或最小值( ).  自学检测 1.如图,利用一面墙(墙足够长),用16 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花圃,这个花圃的最大面积是 ( ) A.32 m2　　　　B.24 m2　　　　C.16 m2　　　　D.8 m2 2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系为h=30t-5t2,其中0≤t≤6.有下列结论: ①当t=2时,小球运动到最大高度; ②当小球的运动高度为40 m时,运动时间为2 s或4 s; ③小球运动中的最大高度为46 m; ④小球从抛出到落地需要6 s. 其中正确的结论有 ( ) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 【合作探究】 题型精讲 题型1 高度问题 例1　(跨学科·数物融合)如图,根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直向上抛,那么物体离地面的高度y(单位:m)与物体的运动时间x(单位:s)的关系近似为y=10x-4.9x2. (1)当x=1时,物体离地面的高度为　　　　m.  (2)根据上述规律,物体经过多少秒落回地面? (3)当物体离开地面最高时,求x的值. (4)当物体离地面的高度为0.4 m时,直接写出x的值. 题型2 面积问题 例2　如图,有长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为9 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x m,面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围. (2)当长方形的长、宽各为多少时,养鸡场的面积最大?最大的面积是多少? 课堂检测 1.如图,利用一面墙,用80 m长的篱笆围成一块矩形场地,墙长为30 m,则围成矩形场地的最大面积为 ( ) A.800 m2 B.750 m2 C.600 m2 D.2 400 m2 2.跳丸是一种传统杂技,已知竖直上抛的丸铃,在不考虑空气阻力的情况下,满足关系式:h=vt-gt2,其中h是物体上升的高度,v是抛出时的速度,g是重力加速度(g≈10 m/s2),t是抛出后的时间.如果杂技师以10 m/s的初速度竖直向上抛出丸铃,经过 s后它在离抛出点1.8 m高的地方.  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点 1.低(高)　x=-　最小(大)　 2.(2)函数解析式 (4)顶点坐标公式　配方法　在自变量的取值范围内 自学检测 1.A　2.B 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:(1)5.1. (2)由题意可知,落回地面时,高度y=0, ∴10x-4.9x2=0 x(10-4.9x)=0 解得x1=,x2=0(舍去), ∴物体经过 s秒落回地面. (3)y=-4.9x2+10x =-4.9(x2-x) =-4.9(x-)2+. ∵-4.9<0, ∴当物体离开地面最高时,x的值为. (4)或2. 提示:由题意得10x-4.9x2=0.4, 4.9x2-10x+0.4=0, ∴a=4.9,b=-10,c=0.4, ∴Δ=b2-4ac =(-10)2-4×4.9×0.4 =100-7.84 =92.16>0, ∴x= = = =, 解得x1=2,x2=, ∴x的值为(上升过程)或2(下落过程). 题型2 例2 解:(1)由题意,得AB=,所以y=x·=-x2+8x(0<x≤9). (2)因为y=-x2+8x=-(x-12)2+48,且0<x≤9,所以当x=9时,y最大,最大值为45, 所以当养鸡场的长为9 m,宽为5 m时,面积最大,最大的面积是45 m2. 课堂检测 1.B　2.0.2或1.8 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $