4.4 一次函数的应用 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖一次函数与方程关系、图像应用及实际问题，梯度合理，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数与方程关系、图像读取|单选1-8、填空11-14，聚焦概念理解与简单计算，培养抽象能力| |提升层|几何综合、参数范围|单选9-10、填空15，结合坐标系与三角形，发展几何直观| |综合层|实际应用与多知识点整合|解答16-20，如方案选择、行程问题，强化模型意识与应用能力|

4.4 一次函数的应用 课后同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 3．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线与轴交于点，直线上另外三点，，的横坐标依次为、1，2．分别过这些点作坐标轴的垂线，构成三个直角三角形，则图中阴影部分的面积之和是（    ） A．1 B． C． D．3 5．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 6．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 7．从地面竖直向上抛射一个物体，在物体落地之前，物体的速度（单位：）与运动时间（单位：s）之间的函数关系式为，则下列分析正确的是（   ） A．每经过1秒，该物体的速度增加 B．每经过1秒，该物体的速度增加 C．该物体抛出时的初始速度为 D．该物体抛出时的初始速度为 8．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 9．在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数的点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点，均位于直线上．声波从发射源点处发出，传播轨迹为，该轨迹与线段相交，将段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是______ 填“”或“； 甲的速度是______ ，乙的速度是______ ． 12．小亮拿25元钱去文具店买签字笔，每支元，小亮买签字笔后所剩钱数y（元）与买签字笔的支数x（支）之间的关系式为_____． 13．一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程（为常数，且）的解，就是一次函数___________的函数值为_______时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数___________的图象与_______轴交点的_______坐标． 14．神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 5 6 … 火箭速度 100 150 200 250 300 … 火箭发射后第13秒时火箭的速度是____________． 15．如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，．直线与相交于点，已知，则点的坐标是______． 三、解答题 16．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 17．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 18．在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)若点在函数图像上，求m的值． (4)点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 19．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士，学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时匀速前往目的地．小巴士送完家长后立即匀速返回学校（家长下车时间忽略不计），大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象信息解答下列问题： (1)大巴士遇到交通管制时已经行驶了_____，因交通管制，在中途停留了_____； (2)求大巴士交通管制停留后，再前往目的地的过程中，与之间的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）： (3)直接写出在大巴士到达目的地前，两车出发多长时间，两车相距． 20．为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D C C C C B B 1．【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 2．【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．【答案】C 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程之间的关系，解题关键是利用数形结合思想解题． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：， ， 一次函数的图象与轴交于点， 时，，即时，， 关于的方程的解为． 故选：． 4．【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与几何综合 【分析】利用一次函数图像上的点的坐标特征可求出点，，，的坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出图中阴影部分的面积之和． 【详解】当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为． ∴图中阴影部分的面积之和 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征以及三角形面积，利用一次函数图像上的点的坐标特征，求出点，，，的坐标是解本题的关键． 5．【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 7．【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为，根据一次函数性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为， ∴每经过秒，该物体的速度减少，故选项错误，不符合题意； 当时，，所以该物体抛出时的初始速度为，故选项正确，选项错误， 故选：． 8．【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据题意确定的范围为，则可确定整点有，，，，，，，，共有8个，由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点，当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得，此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 【详解】解：根据题意得，的范围为， ∴整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得， 解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得， 解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的的取值范围是． 故选：B． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象性质、直线与三角形边的交点问题，确定直线的定点是解题关键． 先确定直线恒过定点，结合图形可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，求出直线过顶点、时的值即可得出的取值范围． 【详解】解：对于， 当时，令，即，解得，此时点的坐标为， 当时，令，此时直线为轴，直线经过点， 综上所述，直线一定经过点， 由图可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； 由图可知，当直线和的边有公共点时的取值范围为． 故选：． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 【详解】解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 12．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据所剩钱数（元）是总钱数与买签字笔所花钱数的差即可作答． 【详解】∵每支元， ∴买支数花的钱数是元， ∵小亮拿25元钱去文具店买签字笔， ∴剩余的钱数是元， ∴． 故答案为：． 13．【答案】 横 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象与一元一次方程的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系填空即可． 【详解】解：一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程(为常数，且)的解，就是一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数 的图象与轴交点的横坐标． 故答案为：，横． 14．【答案】650 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】由速度随时间均匀变化可得与满足一次函数关系，求出函数解析式后代入对应t的值即可得到结果． 【详解】解：设函数表达式为， 将，和，代入表达式，得，解得， ∴与的函数表达式为， 当时，． 15．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】先求出点的坐标，根据，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立两个解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 联立，解得， ∴点的坐标是． 16．【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3) 选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：略． 17．【答案】(1) (2)时，或时， 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）当时，是以为斜边的直角三角形，在中，分别令，，求出相应的与，从而可得，再根据点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，求出时间； （2）分、，分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，是以为斜边的直角三角形， 在中，分别令，， 得，． ， 点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动， ； （2）第一种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， 在直角三角形中，， ， ， ． ． 第二种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， ， ， ，． 18．【答案】(1)， (2) (3) (4)①，；②，；③， 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）令，分别求出的值，即可A、B两点坐标； （2）当时，代入求值即可； （3）当时，分情况代入求值即可； （4）利用一次函数的增减性，确定图像G的最高点和最低点的纵坐标即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，； （3）解：当，解得， 当，解得， 综上所述：的值为； （4）解：当时，图象G解析式为，此时随的增大而减小，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为，当时，最低点纵坐标为， ∴； 综上所述：①，；②，；③，． 19．【答案】(1)120； (2) (3)或或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用)、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据函数图象所给的信息可得答案； （2）求出大巴士交通管制停留后的速度，再用120加上大巴士交通管制停留后行驶的距离即可得到对应的函数解析式； （3）求出小巴士去目的地的速度和返回学校的速度，以及大巴士行驶过程中的速度，再分三种情况：大巴士交通管制停留前，两车相距、大巴士停留过程中，两车相距和大巴士交通管制停留后，两车相距，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，大巴士遇到交通管制时已经行驶了，因交通管制，在中途停留了； （2）解：大巴士交通管制停留后的速度为， ∴； （3）解：大巴士行驶过程中的速度为， ∴， 小巴士去目的地的速度为，返回学校的速度为， 小巴士去时的解析式：，小巴士返回解析式：， 当大巴士交通管制停留前，两车相距时，则，解得； 当大巴士停留过程中，两车相距时，则，解得； 当大巴士交通管制停留后，两车相距时，则， 解得； 或， 解得（舍去）； 综上所述，在大巴士到达目的地前，两车出发或或时，两车相距． 20．【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、梯度计价问题 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $