精品解析：河南郑州女子高级中学2026-2027学年高二上学期入学测试数学试卷

《2026～2027学年度第一学期高二年级入学考试》 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ） A. 全是红球 B. 至多有1个红球 C. 全是白球 D. 1个红球，1个白球 4. 如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（ ） ①； ②； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与互斥，则 C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D. 数据的第百分位数为 10. 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，则满足条件的三角形仅有个 D. 周长的最大值为 11. 如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 向量共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 14. 在棱长为的正四面体中，是中点，则和所成角的余弦值是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且向量与向量的夹角为． （1）求与的值； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 16. 郑州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． 17. 如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若是锐角，且，求的面积. 19. 如图，在三棱柱 中，平面，, 为 的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026～2027学年度第一学期高二年级入学考试》 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，所以的共轭复数． 2. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 3. 从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ） A. 全是红球 B. 至多有1个红球 C. 全是白球 D. 1个红球，1个白球 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 4. 如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（ ） ①； ②； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 5. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可. 【详解】在中，取为基底，则. 因为点、分别为的中点， ， ， 故选：A 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可. 【详解】选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误； 选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误； 选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若， 则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确； 选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误. 7. 在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令分别是正方形的中心，分别是的中点，连接，根据已知及二面角的定义有是二面角的平面角，过作，垂足为，再应用台体的体积公式求体积. 【详解】如图，在正四棱台中，， 令分别是正方形的中心，分别是的中点， 连接，显然四边形是直角梯形，且， 易知是正四棱台的高，， 所以是二面角的平面角， 由题意得，过作，垂足为， 则，， 所以正四棱台的体积为． 8. 已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案. 【详解】因为， 所以 ， 故，故. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与互斥，则 C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D. 数据的第百分位数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断A；根据互斥的定义求解概率判断B；根据方差、标准差、极差的概念判断C；根据百分位数的求法求解判断D. 【详解】选项A：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立，故A为真命题； 选项B：若与互斥，则和不能同时发生，即，因此，故B为真命题； 选项C：方差、标准差反映数据与均值的偏离程度，极差最大值减最小值反映数据的波动范围，三者均能刻画数据的离散程度，故C为真命题； 选项D：数据共个，计算第百分位数为整数， 因此第百分位数为第个数与第个数的平均值，即，故D为假命题. 故选：ABC 10. 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，则满足条件的三角形仅有个 D. 周长的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解判断ABC；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，由于，结合正弦定理得， 在中，有，所以， 则有，即， 又因为，，所以 又因为，所以，故A正确； 对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 则，解得，外接圆面积，故B错误； 对于C，已知，，， 由余弦定理，代入数据得， 化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解， 因此满足条件的三角形仅有个，故C正确； 对于D，已知，， 由余弦定理，代入数据得， 化简得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 则，解得， 因此周长的最大值为，故D错误. 11. 如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 向量共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】 因为圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形， 所以圆锥的母线长为， 则该圆锥的侧面积为． 13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 【答案】220 【解析】 【分析】先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解. 【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220． 14. 在棱长为的正四面体中，是中点，则和所成角的余弦值是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的定义计算的值，再计算、，再由平面向量夹角公式即可求解. 【详解】棱长为的正四面体中，是中点， ， ，， 所以和所成角的余弦值是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且向量与向量的夹角为． （1）求与的值； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积定义以及向量的运算法则求解即可； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为，，且向量与向量的夹角为，所以． ． 【小问2详解】 ， 所以， ，所以． 向量与向量的夹角的余弦值 16. 郑州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． 【答案】（1），平均数77.5；中位数为 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用频率和为计算，根据平均数和中位数公式计算； （2）根据分层抽样得出各组人数，再根据古典概型求概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，，解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 设中位数为，因为、、组的频率分别为，，，因此，故； 【小问2详解】 由（1）知，成绩在，的频率之比为． 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此，所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 17. 如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦值. （2）由（1）中信息，利用空间向量求出点到面距离. 【小问1详解】 由侧面为矩形，得，又平面，平面， 则，即直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，平面的法向量，， 点到平面的距离. 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若是锐角，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算即可. 【小问1详解】 由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； 【小问2详解】 因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 19. 如图，在三棱柱 中，平面，, 为 的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明：在三棱柱中，平面ABC，，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，得， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然，因此，平面，而平面， 所以平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）的信息，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得平面的一个法向量为， 由（1）知平面的一个法向量为，则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $