周周测15 3.3二项式定理与杨辉三角（数学人教B版选择性必修第二册）

**基本信息** 聚焦二项式定理与杨辉三角，通过单选、多选、解答等题型分层考查展开式系数、常数项、文化应用等，适配高二周测巩固需求，体现数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|常数项、二项式系数最大项|第6题结合杨辉三角文化传承| |多选|3/18|展开式项数、系数和、组合应用|第11题联系小组选法，体现应用意识| |填空|3/15|二项式系数之和、有理项|第13题开放设问，考查数学表达| |解答|5/77|常数项、有理项、综合应用|19题分层设问，培养逻辑推理能力|

2026-2027学年高二上学期数学周周测15 3.3二项式定理与杨辉三角 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．展开式的常数项为（   ） A． B．20 C． D． 2．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 3．若，则= A．-1 B．1 C．2 D．0 4．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数之和为（　　） A． B． C． D．256 5．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 6．杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C．12 D．192 8．设，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．常数项为20 C．第二项与第四项的二项式系数相等 D．各项系数之和为0 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是（    ） A．选人为负责人的选法种数为 B．每组选名组长的选法种数为 C．若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为 D．若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为________. 13．写出展开式中的一个有理项为______. 14．已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则其展开式中的系数为______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．若，其中． (1)求的值； (2)求． 16．对任意给定的实数，都有．求值： (1)； (2)； (3)． 17．已知的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求的展开式中项的系数； (2)求展开式中的常数项. 18．（1）已知二项式展开后的第3项和第8项的二项式系数相等，求展开式的常数项； （2）已知，求的值. 19．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 3.3二项式定理与杨辉三角 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．展开式的常数项为（   ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【详解】展开式的常数项为. 2．若，则= A．-1 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】将代入，可以求得各项系数之和；将代入，可求得，两次结果相减即可求出答案. 【详解】将代入，得，即， 将代入，得，即， 所以 故选A. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，若二项式展开式为，则常数项，各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为. 3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数之和为（　　） A． B． C． D．256 【答案】B 【分析】先根据只有第项的二项式系数最大确定的值，再令求解即可． 【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，则． 即，令，得到． 故选：B. 4．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【详解】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 5．杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 6．设，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】分别令x为1和-1得到两个等式，进而将因式分解即可解出答案. 【详解】令得， 令得， . 故选：A. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．常数项为20 C．第二项与第四项的二项式系数相等 D．各项系数之和为0 【答案】AD 【分析】利用二项式定理性质逐一计算即可. 【详解】对A，展开式一共有项，故正确； 对B，常数项为，故错误； 对C，第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，不相等，故错误； 对D，令，所以各项系数之和为0，故正确. 故选：AD 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】令可得求得，求出的展开式通项，可求得，令可判断C，令可判断D. 【详解】令，可得，故A正确； 的展开式通项为， 则，故B错误； 令，可得，又， 则，故C正确； 令，可得， 又， 两式相减可得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为________. 【答案】 【分析】由奇数项的二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得奇数项的二项式系数和，所以， 则展开式的通项为，且， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：. 10．写出展开式中的一个有理项为______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用通项公式计算可得答案. 【详解】展开式的通项公式为 （）， 所以展开式中的有理项分别为：时，； 时，；时，； 时，. 故答案为：（四个有理项任写其一均可）. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）求得展开式的通项，结合题意，列出方程，即可求解； （2）由（1）中展开式的通项，令，求得，代入计算，即可求解； （3）由（1）中展开式的通项，令，求得，结合，得到为偶数，分别确定和的值，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为， 因为第6项为常数项，即当时，，解得． （2）由（1）知：展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中含的项为． （3）由（1）知：展开式的通项为，其中， 令，可得，即， 因为，所以为偶数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 所以展开式的第3项，第6项与第9项为有理项，分别为，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 3.3二项式定理与杨辉三角 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．展开式的常数项为（   ） A． B．20 C． D． 2．若，则= A．-1 B．1 C．2 D．0 3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数之和为（　　） A． B． C． D．256 4．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 5．杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 6．设，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分.） 7．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．常数项为20 C．第二项与第四项的二项式系数相等 D．各项系数之和为0 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为________. 10．写出展开式中的一个有理项为______. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 3.3二项式定理与杨辉三角 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．展开式的常数项为（   ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【详解】展开式的常数项为. 2．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 【答案】A 【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果. 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 3．若，则= A．-1 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】将代入，可以求得各项系数之和；将代入，可求得，两次结果相减即可求出答案. 【详解】将代入，得，即， 将代入，得，即， 所以 故选A. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，若二项式展开式为，则常数项，各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为. 4．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数之和为（　　） A． B． C． D．256 【答案】B 【分析】先根据只有第项的二项式系数最大确定的值，再令求解即可． 【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，则． 即，令，得到． 故选：B. 5．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【详解】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 6．杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 7．若，则（    ） A． B． C．12 D．192 【答案】D 【分析】可通过换元法将原式转化为关于新变量的二项式展开式，再根据二项式展开式的通项公式求出指定项的系数. 【详解】换元设，则，， 令，则的系数为． 8．设，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】分别令x为1和-1得到两个等式，进而将因式分解即可解出答案. 【详解】令得， 令得， . 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．常数项为20 C．第二项与第四项的二项式系数相等 D．各项系数之和为0 【答案】AD 【分析】利用二项式定理性质逐一计算即可. 【详解】对A，展开式一共有项，故正确； 对B，常数项为，故错误； 对C，第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，不相等，故错误； 对D，令，所以各项系数之和为0，故正确. 故选：AD 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】令可得求得，求出的展开式通项，可求得，令可判断C，令可判断D. 【详解】令，可得，故A正确； 的展开式通项为， 则，故B错误； 令，可得，又， 则，故C正确； 令，可得， 又， 两式相减可得，故D错误. 故选：AC. 11．（多选）现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是（    ） A．选人为负责人的选法种数为 B．每组选名组长的选法种数为 C．若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为 D．若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种 【答案】AD 【分析】利用分类加法计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理可判断B选项的正误；利用分类加法计数和分步乘法计数原理可判断C选项的正误；利用间接法可判断D选项的正误. 【详解】对于A，个数学课外兴趣小组共有（人），故选人为负责人的选法共有种，A对； 对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选名组长， 所以不同的选法共有（种），B错； 对于C，分六类：从第一、二组中各选人，有种不同的选法； 从第一、三组中各选人，有种不同的选法； 从第一、四组中各选人，有种不同的选法； 从第二、三组中各选人，有种不同的选法； 从第二、四组中各选人，有种不同的选法； 从第三、四组中各选1人，有种不同的选法. 所以不同的选法共有（种），C错； 对于D，若不考虑限制条件，每个人都有种选法，共有种选法， 其中第一组没有人选，每个人都有种选法，共有种选法， 所以不同的选法有（种），D对. 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为________. 【答案】 【分析】由奇数项的二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得奇数项的二项式系数和，所以， 则展开式的通项为，且， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：. 13．写出展开式中的一个有理项为______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用通项公式计算可得答案. 【详解】展开式的通项公式为 （）， 所以展开式中的有理项分别为：时，； 时，；时，； 时，. 故答案为：（四个有理项任写其一均可）. 14．已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则其展开式中的系数为______． 【答案】 【分析】利用二项式系数相等可求得，再由二项展开式的通项可求得结果. 【详解】根据展开式中第3项与第7项的二项式系数相等可得，解得； 不妨设第项含有项，所以， 所以，即，解得； 所以含有项为. 因此可得的系数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．若，其中． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式的通项可得； （2）令和，结合平方差公式计算即可； 【详解】（1）由题意可得，即， （2）令，则，① 令，则，② 所以 16．对任意给定的实数，都有．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用赋值法求解，令可得结果； （2）利用赋值法求解，令结合（1）可得结果； （3）对给的式子求导，赋值即可. 【详解】（1）因为， 令，则；① 令，， 所以 （2）令，则，② 由（1）知， ①②可得. （3）因为 两边同时求导得： 令，则 17．已知的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求的展开式中项的系数； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1)240 (2) 【分析】（1）由二项式系数的性质得出，再由通项求解即可； （2）由的通项，分类讨论求解即可. 【详解】（1）由题意结合二项式系数的性质可得，解得. 的通项为， 令，得， 所以的展开式中的系数为. （2）由（1）知，的通项为， 令，得； 令，得， 故展开式中的常数项为 18．（1）已知二项式展开后的第3项和第8项的二项式系数相等，求展开式的常数项； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）127 【分析】（1）由求出，从而求出的通项，令即可求出答案； （2）令和，可求出的值，再令，两式相减可求得的值. 【详解】（1）由题可知：即， 该二项式展开的通项为， 令得   ∴常数项为. （2）令得：① 令得：② ①+②得：，即， 令得：， ∴. 19．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）求得展开式的通项，结合题意，列出方程，即可求解； （2）由（1）中展开式的通项，令，求得，代入计算，即可求解； （3）由（1）中展开式的通项，令，求得，结合，得到为偶数，分别确定和的值，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为， 因为第6项为常数项，即当时，，解得． （2）由（1）知：展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中含的项为． （3）由（1）知：展开式的通项为，其中， 令，可得，即， 因为，所以为偶数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 所以展开式的第3项，第6项与第9项为有理项，分别为，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $