第十三章 三角形 培优复习讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过题型分类框架系统梳理知识体系，涵盖三角形三边关系、内外角性质、中线角平分线计算等核心内容，用对比表格呈现重难点分布，清晰展现知识点内在逻辑联系。 讲义亮点在于新定义题型设计如“倍长三角形”“好运三角形”，培养抽象能力与创新意识，折叠旋转角度问题强化几何直观和推理意识。分层练习含基础例题、变式提升及中考真题，助力不同层次学生掌握方法，为教师精准教学提供有效支持。

第十三章 三角形 培优专题 三角形章节压轴题型 ◆题型1 三角形的三边关系 【例】．（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 【变1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． 【变2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，，的值分别为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． 【变3】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． ◆题型2 与三角形三边关系有关的新定义问题 【例】（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 【变1】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 【变2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【分析】分腰长为4和底边长为4这两种情况，根据三角形的周长公式求出对应的底边长或腰长，结合三角形三边关系验证即可求解． 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为 ， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 【变3】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 【答案】(1)4 (2)，是“好运三角形”，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设（为偶数），则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）解：是“好运三角形”，理由如下： 已知的周长为16，， 设为偶数），则， 依题意得： 解得， 的长为偶数， ， ， ， 是“好运三角形”． ◆题型3 三角形有关的线段与坐标结合 【例】（25-26七年级下·河南周口·期末）根据要求完成下列小题； 【提示：在平面直角坐标系中，若两点，，线段的中点是，则点的坐标为】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，且满足如下等式，直接写出____________，____________． (2)将线段向右平移若干个单位，对应点依次为、，线段与轴交于点．若三角形与三角形面积相等，求点、的坐标． (3)在（2）问的条件下，动点在过点且垂直于轴的直线上左右移动，当线段长度最短时，求此时三角形的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据非负性求出的值即可； （2）设将线段向右平移个单位，则，，根据三角形的中线平分面积，得到是中点，根据中点坐标公式求出的值，即可得出结果； （3）根据垂线段最短，得到当时，的长度最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， （2）解：由（1）可知，， 设将线段向右平移个单位，则，， ∵三角形与三角形面积相等， ∴是中点， ∵点在轴上， 故其横坐标为0， ∴ 解得， ∴，； （3）解：过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 则轴， 当时，此时的长度最短， 由（2）知：，； ∴，，， ∴， ∴. 【变1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． (1)三角形的面积为______； (2)若轴，探究和是否相等，说明理由； (3)若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)点的横坐标为或． 【分析】（1）由已知可得，轴，点到的距离为，代入三角形的面积公式计算即可； （2）由，可得，即可求解； （3）由已知可得，点不可能在线段的延长线上，按照点在线段上、点在线段的延长线上，进行分类讨论，分别计算点的横坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，轴， ∵， ∴点到的距离为， ∴三角形的面积为． （2）． 理由如下： ∵轴 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴点不可能在线段的延长线上， ∴当在线段上时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， 解得， 当在线段的延长线上时，如图， ∵ ∴； 解得， ∴， 解得， ∴点的横坐标为或． ◆题型4 与三角形有关线段的计算问题 【例】（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线．熟练掌握三角形的中线的性质，三角形周长公式，三角形面积公式，是解题的关键． （ 1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （ 2）先求得的面积，根据，计算即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴． ∴的周长的周长 ． 即①． 又②， 得．， 解得． ∴． ∴和的长分别为：． （2）∵， ∴． ∵是边上的中线，E为的中点， ∴． ∴． 【变1】．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 【变3】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． ◆题型5 三角形折叠、旋转的角度问题 【例】（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． 【变2】．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况进行讨论，画出图形，根据平行线的性质以及角的和差进行求解． 【详解】解：①如图，当时，，过点作， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，交直线于点，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，过点作， ∴， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的t为或或． 【变3】．(24-25八上·广东江门新会区尚雅学校·期中)已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、角形的内角和定理等知识点，掌握折叠后的对应角相等及三角形内角和定理是解题关键． 由题意可得，由折叠可知，又，所以，，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵三角形为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ◆题型6 三角形内外角的综合问题 【例】．(24-25八上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】见解析；（1）见解析；（2） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角． （1）先由折叠得出，再利用三边关系，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴； （1）证明：由折叠知，， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由折叠知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变1】．(24-25八上·广东广州天河区华南师范大学附属中学·期中)3．如图，为的外角，射线分别三等分，且 ，，点在边上，过点作线段，分别与交于点，射线三等分，且，与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的两倍，请求出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，； (2)不变，，理由见解析； (3)的度数为或． 【分析】（）根据角度和差、倍分，三角形的内角和定理，三角形的外角性质即可求解； （）根据角度和差、倍分，三角形的内角和定理，三角形的外角性质即可求解； （）设，分当；当；当，当分析即可； 本题考查了角度和差，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：不变，，理由： ∵， ∴，， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴； （3）设，由（）得：，，， ∴当，解得：，不符合题意，舍去； 当，无解； 当，解得：，符合题意； 当，解得：，符合题意； 综上可知：的度数为或． 【变2】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． ◆题型7 三角形内外角的新定义问题 【例】(24-25八上·广东汕头潮南区峡晖中学·期中)【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】解：（1） 是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”， ， ，解得， ； （2）∵，， ∴, 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 且, , 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 【变1】．(24-25八上·广东惠州惠东县·期中)在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，在中，，，点P是线段上一点（不与A，B重合），连接． (1)若，则 “倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“倍角三角形”，求的度数． 【答案】(1)是 (2)或 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据“倍角三角形”的定义进行判断即可得出答案； （2）设，其中，分别表示出，，然后根据“倍角三角形”的定义进行分类讨论即可得出的度数． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ， 在中， ， 是“倍角三角形”， 故答案为：是； （2）解：设，其中， 由（1）知：， ， ， ， 又， 当是“倍角三角形”时，有以下六种情况： 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：（不合题意，故舍去）； 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：（不合题意，故舍去）； 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：； 综上，当是“倍角三角形”时，的度数是或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，解一元一次方程等知识点，理解“倍角三角形”的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． 【变2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是 ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． (2)或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【详解】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②略 （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 【变3】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由如下； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：略； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不正确； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中线分周长的差、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长，底边，根据中线分周长差为，可得，代入底边长，得到腰长为或，但腰不能构成三角形，据此即可解答． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴． 设腰长，底边． 则一部分周长为，另一部分为． 两部分的差为． 依题意，， ∴或，解得：或． 当时，三边为，由，不满足三角形三边关系，舍去． 当时，三边为，可以构成三角形． ∴周长． 故选B． 3．（25-26八年级·全国·寒假作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 【中考真题】 【真题演练1】（2025·四川泸州·中考真题）在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 【真题演练2】（2025·陕西榆林·中考真题）如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 【真题演练3】（2025·广东肇庆·中考真题）如图，将等边的三条边向外延长一倍，得到第一个新的，第二次将等边的三边向外延长一倍，得到第二个新的，依此规律继续延长下去，若的面积，则第个新的三角形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，三角形的中线的性质；连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积即可；根据等底等高的三角形的面积相等得到向外扩展了一次得到的的面积，向外扩展了二次得到的的面积，，找出规律即可． 【详解】解：如图，连接，   ， ， ， 用同样的方法得到，，， ； 向外扩展了一次得到的的面积为； 向外扩展了二次得到的，可以看作是向外扩展了一次得到， 的面积为7倍的面积； 向外扩展了二次得到的的面积，， 同理：向外扩展了次得到的的面积为， 第2024个新的三角形的面积为， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·安徽滁州·中考真题）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1） 平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2） 平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）如图①，为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，，． (1)求的面积； (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，判断与的大小关系，并证明你的结论； (3)如图③，若，点在轴正半轴上任意运动，的平分线交的延长线于点，在点的运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的值不变，其值为 【分析】本题考查了直角坐标系，角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）求出的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据等角的余角相等解答； （3）设，，由角平分线的定义和三角形的外角性质可得，，由题意得，推出，进而得到，即可得解． 【详解】（1）解： ，， ， ． （2），证明如下： 为的平分线， ． ， ． 又， ． ，， ． （3）的值不变，其值为． 设，． ∵为的平分线， ，， 由题意得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 培优专题 三角形章节压轴题型 ◆题型1 三角形的三边关系 【例】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2) 若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【变1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【变2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【变3】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． ◆题型2 与三角形三边关系有关的新定义问题 【例】（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【变1】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【变2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【变3】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ ◆题型3 三角形有关的线段与坐标结合 【例】（25-26七年级下·河南周口·期末）根据要求完成下列小题； 【提示：在平面直角坐标系中，若两点，，线段的中点是，则点的坐标为】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，且满足如下等式，直接写出____________，____________． (2)将线段向右平移若干个单位，对应点依次为、，线段与轴交于点．若三角形与三角形面积相等，求点、的坐标． (3)在（2）问的条件下，动点在过点且垂直于轴的直线上左右移动，当线段长度最短时，求此时三角形的面积． 【变1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． (1)三角形的面积为______； (2)若轴，探究和是否相等，说明理由； (3)若，求点的横坐标． ◆题型4 与三角形有关线段的计算问题 【例】（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【变1】．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【变2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【变3】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 ◆题型5 三角形折叠、旋转的角度问题 【例】（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【变2】（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 【变3】(24-25八上·广东江门·期中)已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． ◆题型6 三角形内外角的综合问题 【例】(24-25八上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【变1】(24-25八上·广东广州天河区华南师范大学附属中学·期中)3．如图，为的外角，射线分别三等分，且 ，，点在边上，过点作线段，分别与交于点，射线三等分，且，与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的两倍，请求出所有符合条件的的度数． 【变2】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． ◆题型7 三角形内外角的新定义问题 【例】(24-25八上·广东汕头·期中)【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 【变1】(24-25八上·广东惠州惠东县·期中)在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，在中，，，点P是线段上一点（不与A，B重合），连接． (1)若，则 “倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“倍角三角形”，求的度数． 【变2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【变3】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 3．（25-26八年级·全国·寒假作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【中考真题】 【真题演练1】（2025·四川泸州·中考真题）在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【真题演练2】（2025·陕西榆林·中考真题）如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·广东肇庆·中考真题）如图，将等边的三条边向外延长一倍，得到第一个新的，第二次将等边的三边向外延长一倍，得到第二个新的，依此规律继续延长下去，若的面积，则第个新的三角形的面积为___________． 【真题演练4】（2025·安徽滁州·中考真题）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）如图①，为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，，． (1)求的面积； (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，判断与的大小关系，并证明你的结论； (3)如图③，若，点在轴正半轴上任意运动，的平分线交的延长线于点，在点的运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 第 3 页 共 26 页 徐老师 学科网（北京）股份有限公司 $