专题04 勾股定理中的实际应用模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学讲义以“实际情景→抽象直角三角形→列方程求解”为核心思路，通过模型分类框架系统梳理勾股定理8大实际应用模型，每个模型从背景、关键、步骤三方面构建知识脉络，结合历史与现代场景揭示底层逻辑。 讲义亮点在于分层练习与文化融合，A组基础题巩固模型应用，C组压轴题结合最短路径综合考法，典例融入“折竹抵地”等传统题，培养数学建模与创新意识。易错点口诀与解题模板助力学生突破，教师可实施分层教学，提升复习效率。

专题04.勾股定理中的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。核心思路：实际情景→抽象直角三角形→找准直角边、斜边→列方程求解。 综合考法：常结合二次根式、方程思想、方案选择；部分压轴会和最短路径、将军饮马嵌套。题型场景千变万化，但底层逻辑不变。重点训练识图建模能力，区分不同情景下不变量，熟练运用方程思想，同时注意和立体展开、方位角、传统文化题型结合，即可解决各类模考/中考全部同类题型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 6 模型4.台风（噪音）、爆破模型 8 模型5.超速模型 11 模型6.风吹莲动模型 13 模型7.折竹抵地模型 15 模型.8不规则图形面积模型 17 易错点与方法总结 20 模型运用 21 A组（基础题） 21 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 29 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 勾股定理实际应用最早见于我国《九章算术》，“折竹抵地”“引葭赴岸” 是经典原始题型，也是现在中考文化类试题直接取材来源。 古代没有坐标系，古人利用直角三角形测算高度、河宽、距离，是早期测量学核心工具。 现代考题就是把古代测量场景替换为梯子、轮船、卡车、圆柱包装盒等生活素材；图形变了，但数学模型完全不变。 命题人偏好该模型：既能考察勾股定理计算，又能考察学生从文字建立几何模型的能力，贴合新课标 “数学建模” 核心素养。 1）勾股定理及其逆定理；一元一次方程（设未知边长列等式）； 2）方位角概念（北偏东、南偏西等，作十字方位线构造直角）； 3）二次根式基本运算； 4）几何作图：根据文字描述画出直角三角形。 模型1.梯子滑动模型 【模型提炼与证明】 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．(1)求处与地面的距离；(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米(2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【详解】（1）解：在中，米，米，米， （米），               （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米，米，（米）， （米），       （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【典例2】（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ，∴，即小巷的宽为. 【典例3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度；(2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得：，在中，，， 由勾股定理得：，， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：，， 绳子的总长度为，， 在中，由勾股定理得：， ，答：滑块向左滑动的距离为． 模型2.轮船航行模型 【模型提炼与证明】 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，∴，两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 【典例2】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里．(1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？(2)求的长度？ 【答案】(1)小时(2)海里， 海里 【详解】（1）解：两船分别沿东北、西北方向行驶，则， ∵，∴为直角三角形，设航行时间为，可得： 远征号航程： 海里，即，和平号航程： 海里，即， 已知，由勾股定理可得： ,即， 解得（舍去），所以两船行驶小时后分别位于点Q，R处． （2）解：由第一问可知，两船航行时间为小时， 所以远征号航程： （海里），即海里， 和平号航程： （海里），即海里． 【典例3】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） (1)若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度；(2)在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 【答案】(1)40海里(2)海里 【详解】（1）解：设海里，则海里，由题意得，， 在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得 ∴，即，解得， ∴海里，∴海里，答：的长度为40海里； （2）解：∵可疑渔船的逃窜速度为8海里/时， ∴当可疑渔船行驶4小时时，行驶的路程为海里，且其到达点D的时间为小时， ∴巡逻舰的速度为海里/小时，设可疑渔船行驶4小时时的位置在点E，巡逻舰的位置在点F， 在中，海里，海里， ∴海里，答：此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离约为海里． 模型3.信号站（中转站）选择模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离；(2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图1，作于点E， 依题意：∴四边形是矩形；∴ 在中，由勾股定理得： 即小镇C，D之间的距离为． （2）解：如图2，设，则；由勾股定理得： ∵∴即：解得： 即加油站E应建在距A站约处． 【典例2】（25-26八年级上·重庆·校考期中）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】，． 【详解】解：设，则．根据题意，得． ∴，解得．∴．∴，． 【典例3】（25-26八年级上·江苏·校考期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【详解】解：∵，∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵，∴，解得：，∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)求；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【详解】（1）解：，， ，，； (2)海港C受台风影响，理由如下：过点C作， ，，， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，，海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，，， 台风的速度为，， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 【典例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． (1)求的度数；(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？(3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【详解】（1）解：∵，，， ∴，∴是直角三角形，． (2)学校C会受到噪声影响．原因：过作于， ∵，∴（m）， ∵（噪声影响范围半径），∴学校C会受到噪声影响． （3）解：设工程车进入影响区的点为，离开影响区的点为，则． 在中，∵（m），∴， ∵行驶速度为分钟，∴持续时间：（分钟） ，即噪声持续干扰的时间为4.5分钟． 【典例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 【答案】遥控信号会相互干扰 【详解】解：设行驶时间为秒，由题意得：；，解得． 此时，小王的赛车距的距离为（），小林的赛车距的距离为（）． 由勾股定理，两车之间的距离为：（）． ∵，∴遥控信号会相互干扰．答：遥控信号会相互干扰． 模型5.测超速、河宽模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长；(2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； (2)没有超速，理由：结合（1）可得小汽车的速度为； ；这辆小汽车没有超速行驶． 【典例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【详解】解：米，米，米， ，为直角三角形，且， 在中，米，米，米， 米，即这条河的宽度为米． 【典例3】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ，速度为， 答：外来车辆的平均速度为； (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下：由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知，， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为，安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 模型6.风吹莲动模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度．(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺(2) 【详解】（1）设为x尺，则，尺．在中，， 由勾股定理，得 ．．解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，，则，， 在中，，由勾股定理，得．．解得． 【典例2】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，有一架秋千，静止时踏板离地0.5米．向前推动秋千，当踏板的水平移动距离为3米时，离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求绳索的长度．设绳索的长度为x米．(1)线段OB= （用含有x的式子表示）；(2)线段OC= （用含有x的式子表示）； (3)根据题意列出方程，并解决问题 【详解】（1）解：由题意得，秋千摆动时绳索长度不变，故米； （2）解：∵静止踏板离地米，摆动时离地米，∴踏板升高米， ∵绳索总长为米，∴米； (3)在中，，∴，解得， 答：绳索的长度为米． 【典例3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得：，，∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为，故选：． 模型7.折竹抵地模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：竹子、断旗杆、断树等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 【典例2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？(2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米；(2)米 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：，，解得：， 答：树折断处距离地面米． 【典例3】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本九尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（）处时绳索用尽．则木柱长为 _____________ 尺． 【答案】12 【详解】解：设木柱长为x尺．根据题意，则绳索为尺． 在中，由勾股定理可得， 则，即，解得，则木柱长为12尺． 模型8.不规则图形面积模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 【答案】这块试验田的面积是 【详解】解：，，，． 在中，，，，∴，，， ，是直角三角形，， ， 这块试验田的面积是． 【典例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】(1)这条步道最短需要米(2)该基地总共需要57.6立方米的种植土 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，， ∴，答：这条步道最短需要米； （2）解：∵，，，∴，， ∴，∴是直角三角形，且，∴， ∵，∴， ∴，答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 【典例3】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯；(2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯(2)购买地毯需花费8160元 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：，则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米，所以面积是：．故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元，则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 模型常见易错点 1）分不清斜边、直角边（最高频错误） 错误：直接把较长线段当作直角边代入公式。 解决方案：先找直角！直角对着的边才是斜边，标记直角符号再列式。 2）忽略实际意义，保留负数解 错误：解方程得到正负值，不做取舍。 解决方案：线段长度一定大于 0，负根必须舍去。 3）方位角不会画图，造不出直角三角形 解决方案：先画十字坐标（上北下南左西右东），依次画出两条航向，判断夹角是否为 90°。 4）单位不统一 错误：题目同时给出米、尺、千米，直接带入计算。 解决方案：做题第一步统一单位。 5）应用题忘记 “答” 解决方案：中考实际应用题，求出数值之后必须规范写答句，否则扣分。 解题方法总结 1）读题建模：读懂实际情境，画出几何示意图，标出已知长度； 2）找直角：找出天然直角，没有直角就作垂线，构造直角三角形； 3）设元：把要求的线段设为未知数x，其余相关线段用含x代数式表示； 4）列方程：根据勾股定理 (直角边2+直角边2=斜边2)；解方程，舍去负数解； 5）还原实际问题，写出答句。 记忆口诀： 实际问题转几何，找准直角是第一； 不变线段做斜边，设出未知列方程； 负根舍去不能忘，同一单位加作答。 1．（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 2．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长、交于点，则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 3．（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得：米，米，， ∴在中，米，∴铺设地毯的长度为（米）． 4．（2026·广东深圳·三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵竹子原高10尺，折断处离地面尺， ∴折断部分长度为尺， 如图，直角边尺，尺，斜边尺， 根据勾股定理得：． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，，∴． 7．（25-26八年级上·河北张家口·期末）机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米．故答案为：12． 1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米；②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米；则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米，设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴，∴，解得， ∴米，∴旗杆的高度为米． 2．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（风筝大小忽略不计），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③小明牵线放风筝的手离地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度；(2)如果风筝沿方向下降12米至点处，则小明应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.4米；(2)8米 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，（米）； 由题意知，∴四边形是矩形， 米，（米），答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，米，（米）． 在中，由勾股定理得，（米）， （米），答：小明应该往回收线8米． 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态．(1)求此时的长度；(2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴米； （2）解：∵米，∴米， ∵米，，∴米， 因此米． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【详解】解：在中，， ，由题意可得，， 在中，，． 答：小明移动的距离为4m． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【详解】设，则， ，，，， ，解得，中转站P应修建在离点M千米处． 6.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离；(2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里，∴，海里，∴， ∴（海里），∴港口到港口的直线距离为海里． (2)本次航行符合安全标准，理由如下：如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴，∴，解得：， 设海里，∴（海里），∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里，∴航行时长小时，满足安全标准． 1．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向，∴， ∴，，∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设，∴， ∵，∴，∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离；(2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里(2)360海里 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E，则， ∵，∴，∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里，∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间．(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上， ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里（海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时（小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； (2)这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里∵， ∴（海里），∴（海里）， ∵，∴是等腰三角形 ∵∴海里，∴（小时） ∵，∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 4．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．(1)求的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【详解】（1）解：在中，，，， ∵，，∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且直角为．所以，． (2)解：过点作于点，当台风到达点时，离海港最近． 则， 同时，面积也可表示为：，∴， 台风影响半径为，而，因此海港会受到台风影响． (3)台风影响该海港持续的时间为小时 （3）解：台风影响区域为以为圆心、为半径的圆与直线的交点和之间的线段． 由题可知：，（垂线长度）， 在直角三角形中：，∴， ∴，∴， 由于，为等腰三角形，为的中点，因此：， 台风速度为，影响持续时间为：小时， 换算为分钟：分钟， 答：台风影响该海港持续的时间为小时（或分钟）． 5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：，， ，，，∴， ， ，，即； （2）解：，，，， ，，，， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ，，在中，， 在中，，，即， 整理得，，解得，，千米， （千米），答：新修路的长为1.2千米． 6．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）某旗杆位于八级台阶的平台上（每个台阶的高度为）．甲、乙两个数学兴趣小组分别对旗杆的高度进行了探究； 甲：如图1，测得每个台阶的宽度为，最上面台阶宽度为．在点D处测得，点D到台阶最低点M的距离为． 乙：如图2，旗杆上的绳子长，将绳子拉直后测出绳子的末端P到台阶最低点M的距离为．将绳子加长后再拉直，绳子末端位于地面点Q处，测得．Q，P，M，C在同一条直线上． (1)根据甲组的测量数据，的长为________m；(2)根据乙组的测量数据，求旗杆的高度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设的中点为，∵，∴， ∵每个台阶的高度为，宽度为，共八级台阶，∴ ∵，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴； （2）解：设，在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，， 解得，，由勾股定理求得， 由（1）可知,旗杆的高度为． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.勾股定理中的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。核心思路：实际情景→抽象直角三角形→找准直角边、斜边→列方程求解。 综合考法：常结合二次根式、方程思想、方案选择；部分压轴会和最短路径、将军饮马嵌套。题型场景千变万化，但底层逻辑不变。重点训练识图建模能力，区分不同情景下不变量，熟练运用方程思想，同时注意和立体展开、方位角、传统文化题型结合，即可解决各类模考/中考全部同类题型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 6 模型4.台风（噪音）、爆破模型 8 模型5.超速模型 11 模型6.风吹莲动模型 13 模型7.折竹抵地模型 15 模型.8不规则图形面积模型 17 易错点与方法总结 20 模型运用 21 A组（基础题） 21 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 29 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 勾股定理实际应用最早见于我国《九章算术》，“折竹抵地”“引葭赴岸” 是经典原始题型，也是现在中考文化类试题直接取材来源。 古代没有坐标系，古人利用直角三角形测算高度、河宽、距离，是早期测量学核心工具。 现代考题就是把古代测量场景替换为梯子、轮船、卡车、圆柱包装盒等生活素材；图形变了，但数学模型完全不变。 命题人偏好该模型：既能考察勾股定理计算，又能考察学生从文字建立几何模型的能力，贴合新课标 “数学建模” 核心素养。 1）勾股定理及其逆定理；一元一次方程（设未知边长列等式）； 2）方位角概念（北偏东、南偏西等，作十字方位线构造直角）； 3）二次根式基本运算； 4）几何作图：根据文字描述画出直角三角形。 模型1.梯子滑动模型 【模型提炼与证明】 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．(1)求处与地面的距离；(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【典例2】（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度；(2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 模型2.轮船航行模型 【模型提炼与证明】 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【典例2】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里．(1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？(2)求的长度？ 【典例3】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） (1)若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度；(2)在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 模型3.信号站（中转站）选择模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离；(2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 【典例2】（25-26八年级上·重庆·校考期中）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【典例3】（25-26八年级上·江苏·校考期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 模型4.台风（噪音）、爆破模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)求；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【典例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域．(1)求的度数；(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？(3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【典例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 模型5.测超速、河宽模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长；(2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【典例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【典例3】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米．(1)求外来车辆的平均速度；(2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 模型6.风吹莲动模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度．(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【典例2】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，有一架秋千，静止时踏板离地0.5米．向前推动秋千，当踏板的水平移动距离为3米时，离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求绳索的长度．设绳索的长度为x米．(1)线段OB= （用含有x的式子表示）；(2)线段OC= （用含有x的式子表示）； (3)根据题意列出方程，并解决问题 【典例3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 模型7.折竹抵地模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：竹子、断旗杆、断树等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【典例2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？(2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【典例3】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本九尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（）处时绳索用尽．则木柱长为 _____________ 尺． 模型8.不规则图形面积模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 【典例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【典例3】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯；(2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 模型常见易错点 1）分不清斜边、直角边（最高频错误） 错误：直接把较长线段当作直角边代入公式。 解决方案：先找直角！直角对着的边才是斜边，标记直角符号再列式。 2）忽略实际意义，保留负数解 错误：解方程得到正负值，不做取舍。 解决方案：线段长度一定大于 0，负根必须舍去。 3）方位角不会画图，造不出直角三角形 解决方案：先画十字坐标（上北下南左西右东），依次画出两条航向，判断夹角是否为 90°。 4）单位不统一 错误：题目同时给出米、尺、千米，直接带入计算。 解决方案：做题第一步统一单位。 5）应用题忘记 “答” 解决方案：中考实际应用题，求出数值之后必须规范写答句，否则扣分。 解题方法总结 1）读题建模：读懂实际情境，画出几何示意图，标出已知长度； 2）找直角：找出天然直角，没有直角就作垂线，构造直角三角形； 3）设元：把要求的线段设为未知数x，其余相关线段用含x代数式表示； 4）列方程：根据勾股定理 (直角边2+直角边2=斜边2)；解方程，舍去负数解； 5）还原实际问题，写出答句。 记忆口诀： 实际问题转几何，找准直角是第一； 不变线段做斜边，设出未知列方程； 负根舍去不能忘，同一单位加作答。 1．（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 4．（2026·广东深圳·三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 7．（25-26八年级上·河北张家口·期末）机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米；②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米；则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 2．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（风筝大小忽略不计），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③小明牵线放风筝的手离地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度；(2)如果风筝沿方向下降12米至点处，则小明应该往回收线多少米？ 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态．(1)求此时的长度；(2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 6.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离；(2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 1．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离．(2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离；(2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 3．（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间．(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 4．（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．(1)求的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 6．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）某旗杆位于八级台阶的平台上（每个台阶的高度为）．甲、乙两个数学兴趣小组分别对旗杆的高度进行了探究； 甲：如图1，测得每个台阶的宽度为，最上面台阶宽度为．在点D处测得，点D到台阶最低点M的距离为． 乙：如图2，旗杆上的绳子长，将绳子拉直后测出绳子的末端P到台阶最低点M的距离为．将绳子加长后再拉直，绳子末端位于地面点Q处，测得．Q，P，M，C在同一条直线上． (1)根据甲组的测量数据，的长为________m；(2)根据乙组的测量数据，求旗杆的高度． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $