2026-2027学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷（1-2章）

**基本信息** 立足勾股定理与二次根式核心知识，通过摆钟周期计算、村庄修路等现实情境及“和谐二次根式”新定义问题，分层考查数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定、无理数识别、二次根式概念|第8题圆柱最短路径问题，融合空间观念与几何直观| |填空题|6/18|二次根式运算、勾股定理应用、动态几何|第16题等腰直角三角形多解问题，培养推理意识| |解答题|9/72|计算、作图、实际应用、新定义探究|第25题寻宝游戏动态问题，综合考查模型意识与应用能力|

2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考测试卷（1-2章) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是() A.1,V2,3 B.1,2,V2 C.4,5,6 D.V2,2,3 2.下列各数中：3i4,号0.618，号，19 22 225 -8,无理数的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若/108=ab,aRb为最筒二次根式，则a-b的值为() A.3 B.-3 C.9 D.-9 4.如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正方形，以BC为边向外 作面积为125的正方形，则AB=() C 125 100 A B A.5 B.10 C.15 D.25 5.已知x+4的平方根是±3,3x+y-1的立方根是3，则y-x的算术平方根为() A.5 B.10 C.12 D.13 6.如图，△ABC的每个顶点都在边长为1的正方形的格点上，则∠C的度数为() B A.30° B.45° C.60° D.90° 7.如图，这是一块长为125m,宽为45m的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为 5m2的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为( A.100m2 B.70m2 C.30m D.25m2 8.如图，一个圆柱形食品盒高为10cm,底面圆的周长为12cm,点A位于盒外底面的边缘， 如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短 路程是() B A.13cm B.V61cm C.8cm D.234 cm 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D在AC上，点E在AB上，将△ADE 沿直线DE翻折，点A的对称点A落在BC上，若CD=1,则AB的长是()， E B A.2 B./2+2 C.V2-2 D.4-2V2 10.已知代数式A=ax-b,B=cX-d,a-b=5m,c-d=5,其中a,b,c,d,m,n,x 均为正整数，其中x是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是() ①若A-5B=0,则m-5n=0: ②若A=5,x=5时，则至少存在一组m、n满足条件， B ③若代数式A、B之积为-35+7时，则满足条件的A、B共有2个结果. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.比较大小：-4 -65(填“>”“<”或“=”) 12.已知2=1.2599,20=2.7144，则0.02= 13.Rt△ABC中，斜边AB=1,则AB+BC2+AC的值是 14.为使算式3-2口26的计算结果为有理数，则“。”中应填写的运算符是 (用+、一、×、÷中的一个填空) 15.一架云梯长25分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙7分米，如果梯子的顶端下滑 了4分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了分米. 7777777777777777 16.已知等腰直角△ABC,∠ABC=90°，AB=BC=3,平面内有一-点D,连接CD,AD,若 CD=V7,AD=5,则∠BCD的度数为 三、解答题（本大题共9小题，满分72分) 17.(6分)计算 (1)计算：旧/45+48-12+55 (2)计算：(23-62-26÷3 18.(6分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点， 以格点为顶点按下列要求画图： 图1 图2 (1)在图1中画一个△ABC,使其三边长分别为V5、25、5,并写出△ABC的面积； (2)在图2中画一个△ABC,使其三边长分别为3、V10、V13,并写出△ABC的面积. 19.如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA=10km,CB=15km, DA上AB于A, 4.CB L AB于B,现要在MB上建一个中转站B使得CD两村到E站的距离相等， 求E应建在距A多远处？ 15 20.(8分)定义：若含有二次根式的式子a,b满足a×b=C,且c是有理数，则称a与b是关 于C的“和谐二次根式”· (1)若23与n是关于12的和谐二次根式，求n: (2)若2-V2与6+只2m是关于6的和谐二次根式，求m. 21.(8分)对于实数a,如果我们规定：用符号引a表示不大于a的最大整数，则称|a为 a的根整数.例如：4=2,5=2. (1)仿照以上算法计算：25=一， (2)若6=1，写出满足题意的b的整数值 (3)计算：|3-10)-5 22.(9分)某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系.查阅资料得知：摆 钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，摆钟 的周期计算公式是T=2π？ 其中T表示周期（单位：s),l表示摆线长（单位：m),g取 10m5,π取3.若已知一台摆钟原来的摆线长为0.5m →摆线 摆球 (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说 明理由.（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过0.07m时，需要返厂维修.） 23.(9分)如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄M,从村庄M到公路原有两个出口A、 B:其中AB=1.4km,MB=1.3km'由于暴雨导致M到A的小路路面塌陷，现已不通，该村为 方便村民出行，决定在旁边新修一条小路MC(A,C,B在同一条直线上)，测得 MC=1.2km'BC=0.5km' 公 路 B C M村庄 (1)从村庄M到公路，请通过计算说明MC是否为距离最近的路； (2)求新修的路MC比原来的路MA短多少？ 24.(10分)阅读材料，解答下列问题： 如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母 中不含根号，这种变形叫分母有理化. 11x33 如：33x3 1×V3-V2 3+25+2明29-2 1 (1)请用上面的方法化简：5+· 2 2025 (2)若a=2026-1,求a-2a+1的值. 25.(10分)嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏.在△ABC的某一边上有一处宝藏D, 已知AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm. B←O p B p→C 图1 图2 图3 (1)如图1，探险者P从点A处出发，沿AB寻宝，探险者Q从点C出发，沿CB寻宝，他们同时 出发匀速运动，在点B处首次相遇.设P的速度为acm/s,则Q的速度可以表示为」 cm/s（用含a的代数式表示)； (2)探险者P,Q在点B相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者P沿 B,C,A的路径寻宝，速度每秒提高了2cm:探险者Q保持原速度不变，沿B,A→C的路 径寻宝.结果他们同时到达了AC边上的宝藏点D处，如图2所示.此时藏宝点D处距离A处 2cm'则a的值为 ； (3)在(2)的条件下，探险者P、Q在B处首次相遇后，探险者Q发现一条与AC垂直的小路 B那，如图3所示，他选择从点B出发，沿B一E一D的路径寻宝，速度降为自身这度的子判 断P能否与Q同时到达藏宝点D处，并说明理由. 参考答案 一、选择题 1.A 解：A.最长边为3,12+2=1+2=3(3=3”得12+(2}=3，符合要求： B.最长边为9V212+2}=3(2?=23≠2故12+2≠2P,不符合要求： C.最长边为6,42+52=41,62=36,4136，故42+52≠62，不符合要求； D.最长边为3：(2+2=4(3=3：4≠3：故(2+2'≠3，不符合要求. 2.A 解：922515 V19614' -8=-2, 2215 3.14、0.618、元、14 -2均为有理数，仅写是无理数， 口225 3.14,5,0.618,7,196, -8,无理数的个数有1个. 3.A 解：108=36×3， ./108=36×3=63, ab是最简二次根式， ∴.a=6,b=3, ∴.a-b=6-3=3. 4.D 解：：在△ABC中，∠A为直角， ..AB+AC2=BC2, .AB=BC2-AC2=125-100=25 5.C 解：，x+4的平方根是±3， .x+4=9, .x=5; .3x+y-1的立方根是3， .3x+y-1=27, 代入x=5,得3×5+y-1=27, 即15+y-1=27, y=13; y2-x2=132-52=169-25=144, .144的算术平方根是12， y2-x2的算术平方根为12. 故选：C. 6.B 解：设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算各边长度： AC=V2+4=25 AB=V42+22=2V/5? BC=V22+62=2V10' 则AC2+AB=BC2, △ABC是直角三角形，且∠BAC=90: 又AC=BC, △ABC是等腰直角三角形， ∴.∠C的度数为45°. 7.C 解：V125=5V5,即矩形空地的长为5V5m, ,四个角的面积均为5m的正方形， .四个角的正方形边长都为5， ∴.蹦床乐园的长为：55-5-V5=35m,蹦床乐园的宽为45-5-5=2V5m, .蹦床乐园的面积为：3V5×2V5=30m2 8.B 解：将圆柱侧面沿过点A的母线展开，如图所示： B ,圆柱底面周长为12cm,高为10cm,点B为对侧中点， “在展开图中，点A到点B的水平距离为底面周长的一半，即}×12=6cm, 点B到底面的垂 直距离为高的一半，即1x10=5cm, ∴.由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为/6+5=V36+25=V61(cm) 9.D 解：：AC=BC=4,CD=1, .∴.AD=AC-CD=3' 由折叠得AD=AD=3, .A C=VA D2-CD2 =32-12=2V2 ∴.AB=BC-AC =4-2V2 10.A 解：①若A-5B=0, 则ax-b-5cx-d=0, 整理得，(a-5cx+5d-b=0, 8 .a-b=5", ∴a-b=5c-d=5·5=5m+1=5m, ∴.m=n+1, .m-n=1, 若m-5n=0成立， m= 5 m-n=1 解m-5n=0得 与已知m,n均为正整数矛盾， n=- 4 .m-5n=0不正确， .①错误； ②若A=5,x=5, 则A=V5B, ∴aVx-b=V5cVx-d, 整理得，aV5-b=V5cV5-d, .a+d5=b+5c, ·左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， .不存在满足条件的m,n, ∴.②错误； ③A·B=(acx+bd)-(ad+bc)x=-35+7, .a,b,C,d,x均为正整数，且x不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得(ad+bc)Vx=3V5】 两边平方得（ad+bcx=45. .a,b,c,d均为正整数， ∴.ad+bc≥2. :x为正整数，(ad+bc)2必为45的约数中的完全平方数， ∴.(ad+bc2=9,即ad+bc=3, 此时x=5,满足x为正整数且不是完全平方数的条件. X=5, .'.A.B=(5ac+bd)-(ad+bc)5. 5ac+bd=7 …ad+bc=3 .m,n均为正整数， ∴.a-b=5m25, ∴.a=b+5"≥1+5=6， 同理：c≥6， ∴.5ac≥5×6×6=180>7， ∴，不存在正整数a,b,c,d使等式5ac+bd=7成立， 没有符合条件的A,B, .③错误. 综上可知，三个说法均错误. 二、填空题 11.> 解：-4=4=-64' 又-64>-65， 3-64>3-65, .-4>-65. 12.0.27144 30.02=20×0.001=20×0.001=2.7144×0.1=0.27144: 13.2 解：如图所示， 在Rt△ABC中，AB=BC2+AC2, 又AB=1, ..BC+AC=AB=1, .B2+BC2+AC2=1+1=2. 故答案是：2. 14.+ 解：3-2=3-2×3x2+2=3-26+2=5-26 当口填+时，原式=5-2V6+2/6=5,5是有理数，符合要求； 当口填-时，原式=5-2/6-2/6=5-4V6,是无理数，不符合要求； 当口填×时，原式=5-26×2V6=106-24,是无理数，不符合要求： 当口填时，原式=5-2626=56-1，是无理数，不符合要求. 12 15.8 解：如图，由题意知AB=DE=25分米，BC=7分米，AD=4分米， C B 、E 77777777777777777 在Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=24(分米)， .CD=AC-AD=24-4=20(分米)， 在Rt△CDE中，CE=VDE2-CD=15(分米)， .BE=CE-BC=15-7=8(分米)， .梯子的底端在水平方向滑动了8分米. 16.135°或45° 解：.∠ABC=90°，AB=BC=3, ..AC2=AB+BC2=18,AC=32. 又CD=V7,AD=5, .AC2+CD2=7+18=25=AD2, △ACD为直角三角形，∠ACD=90°； .△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠ACB=45°， ∴.如图①：∠BCD=90°+45°=135°： B D ① ② 如图②：∠BCD=90°-45°=45° 故∠BCD=135°或45°. 故答案为135。或45°. 三、解答题 17.(1)解：45+V48-12+55 =3V5+4V3-2V3-5V5 =2V3-2/5 (2)解：(23-62-26÷3 =12-4V18+6-2只2 =12-12V2+6-2V2 =18-14V2: 18.(1)如图1，面积为5 图1 AB=V2+42=2V5'AC=2+1=V5'BC=V3+42=5' .AC2+AB=95+2V5P=25=BC2, △ABC为直角三角形，且∠A=90 58a吉ABAC-×25×5=5: (2)如图2，面积为 -B 图2 AB=V12+3=/10'AC=V22+3=/13'BC=3' S6m号BChx=x3x3=45. 19.解：设4E=km,则 .BE AB-AE=(25-x)km .DA⊥AB于A,CB⊥AB于B, :.DE2=AD2+AE2=102+x2CE2=BC2+BE2=15+(25-x2 ,C、D两村到E站的距离相等，即DE=CE, ∴.DE2=CE2, :10+=153+(25- 解得x=15, ∴.E应建在距Al5km处. 20.(1)解：23与n是关于12的和谐二次根式， .23n=12, 12=6-65-25: ∴.n= 2V333 (2)解：根据题意得2-V26+V2m=6, 12+29V2m-62-2m=6' 2V2-2m=62-6' 92-1m=3V2-3' m=32-1=3 2-1 21.(1)解：.V25=5, .|R25=5 .22=4,32=9 ∴.2<7<3 .R7=2 3273 :82 (2)解：R6=1, ∴.1≤Vb<2: ∴.1≤b<4 又b为整数， ∴.b=1,2,3 (3)解：-23=-8，-33=-27,22=4,32=9 .-3<-10<-2'2<V5<3 .-10)=-3|5=2' :.原式=-3-2=-5 2》年：花=06.g=10代入1=2g:1=6焉-6语-5 105 (2)解：把T=1.5代入得：1.5=610， 解得1=0.625， .0.625-0.5>0.07, 所以该摆钟需要返厂维修. 23.(1)解：MB=1.3km,MC=1.2km,BC=0.5km, .MB2=1.69,MC2=1.44,BC2=0.25 .0.25+1.44=1.69 ∴.BC2+MC2=MB △MBC是直角三角形， ∴.MC⊥AB 从村庄M到公路，MC是距离最近的路； (2).AB=1.4km,BC=0.5km, .∴AC=AB-BC=1.4-0.5=0.9km, .MC⊥AB, ∴.△AMC是直角三角形， .在Rt△AMC中，MA=VMC2+AC2-/1.22+0.92=1.5km, ∴.MA-MC=1.5-1.2=0.3km. 24.(1)解：2 25-V3 25-31_25-3-5-5: +35+3V5-3)V52-3 2 (2)解：a=20261R2026-12026+1 2025 2025R/2026+1 2025R2026+1=9/2026+1: 2025 a2-2a+1=a-12 =RV2026+1-12 =V2026} =2026 25.(1)解：根据题意，P从点A到点B的运动时间为6÷a=s1, Q的速度为8=6=号acm/s5 a3】 (2)解：根据题意，速度提高后，P的速度为a+2cm/s, .AD=2cm. .AB+AD=6+2=8cm,BC+CD=8+10-2=16cm, 8_16 由运动时间相等可列方程：4。α+2， 3a 解得a=6 经检验，a= 是原方程的解： (3)探险者P与Q不能同时到达藏宝点D处，理由如下： 在△ABC中， AB2+BC2=62+82=102=AC2, ∴.∠ABC=90°， BE⊥AC, 5sa号AB-BC-AC-BE, '.BE=AB-BC-24lcml, AC 5 在AABE中，AE=-AB-BE-cm, .DE-AE-AD-9cml, 2=6s,探险者P所用时间为 BC+CD=5s) 探险者Q所用时间为4×6×2 353 5 .5≠6， ∴.探险者P与Q不能同时到达藏宝点D处.