八年级数学上学期9月学情自测（新教材湘教版第1～2.3章，高效培优）

**基本信息** 本卷以浙教版八年级上册1~2.3章为范围，结合宝清县域特色图形、地摊经济折叠方桌等现实情境，通过几何直观与空间观念考查三角形、平移等知识，问题设计梯度分明，体现用数学眼光观察现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、三角形三边关系、外角性质|第1题融入县域特色图形，第5题以折叠方桌为背景| |填空题|6/18|中线性质、垂直平分线、命题真假|第14题通过折叠纸条考查角度计算，第16题结合垂直平分线求角度| |解答题|8/72|全等证明、动点问题、模型应用|23题含动点面积表示与等腰三角形存在性，24题设计模型熟悉-运用-提升三阶探究，培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版八年级上册第1~2.3章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在下列宝清县域特色图形中，可以看作由其中一个基本图形平移得到的是（     ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 5．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 7．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 8．如图，在和中，点在线段上，、相交于点，若，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 12．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 13．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 14．点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿，折叠，点落在处，点落在处，使得，若，则___________． 15．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 16．如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分，。 17．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 18．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 19．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_时，． 20．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 22．如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 23．已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有_个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 24．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版八年级上册第1~2.3章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在下列宝清县域特色图形中，可以看作由其中一个基本图形平移得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，据此对各选项分析判断即可． 【详解】解：由平移的定义可得，四个选项中，只有A选项中的图形是由基本图形平移得到的，符合题意． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 3．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，利用平角的定义可得，进而得出，解得，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 5．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 6．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 7．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 8．如图，在和中，点在线段上，、相交于点，若，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，所以，通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 9．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 10．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形及三角形的外角性质可得的边长为（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理可得，，， ∴的边长为，的边长为， ， ∴的边长为（为正整数）， ∴的边长为． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【详解】解：∵，， ∴由等量代换可得， ∴该命题成立，是真命题． 12．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 13．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 14．点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿，折叠，点落在处，点落在处，使得，若，则___________． 【答案】 【分析】由折叠得，，然后结合平行线的性质求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 16．如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分，。 17．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（）根据全等三角形对应边相等求解即可； （）根据全等三角形对应角相等得，则可求，进而根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 又， ， ． 18．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 20．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ， ， ， ． (2)6 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据“”证明即可； （2）由垂直平分线的性质可得，结合全等的性质可知，再根据进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）得：， ， ． 21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)18 (3)解：如图即为所作， 【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）结合网格，利用梯形的面积公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接，， 则四边形的面积为． （3）略． 22．如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有_个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【详解】（1）解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个； （3）解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12． 24．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【答案】(1)证明：∵，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∵是等边三角形， ∴， ，即， ． (3)； 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取，构造，从而证得，，再用线段的和与差即可证得； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， 即， ， 平分， ∴如图所示，点E在的内角的角平分线上上运动． ∴点E的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ∵， ， 即点E的运动路程为． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材浙教版八年级上册第12.3章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 3 6 6 7 8 9 10 答案 D B D 0 C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.真 12.8 13.6 14.60 15.6 16.25 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分，。 17.(1)4 (2)30° 【详解】(1)解：△ABC≌△DEB, .BC=EB=2. 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AB-EB=6-2=4:-4分 (2)解：△ABC≌△DEB】 ∠ACB=∠DBE=65°， 又∠A=20°， .∠ABC=180°-∠ACB-∠A=95°」 ∠DBC=∠ABC-∠DBE=95°-65°=30°.--8分 18.(1)BD=CE,理由如下： ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， .'AB=AC,AD=AE, .'AB-AD=AC-AE, .BD=CE:----4分 (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于F、G, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. .∠BAD=∠CAE, .△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ,∠AFB=∠GFC, ∴.180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD. .∠CGF=LBAF=90°，即BD1CE.---8分 19.(1)证明：∠BAF=∠CAE, .∴∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC ..∠BAC=∠FAE AB=AD,∠B=∠D, 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ABC≌△ADE(ASA) BC=DE.-4分 (2)67°，32 【详解】(1)证明：略 (2)解：∠B=35°， .∠D=∠B=35° ∠GFD=∠AFB=78° ∴，∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67°， .DEl AC .∠ACG=∠DGB=67 ∠CAB=∠ACG-LB=67°-35°=32°（三角形外角性质）.--8分 20.(1)证明：点D是BC的中点， .BD=CD, BF∥AC, ∠F=∠DEC,∠FBD=∠C, ∴.△BFD≌△CED(AAS) 4分 (2)6 【详解】(1)略 (2)解：：点D是BC的中点，AD⊥BC, .AC=AB=8. 由(1)得：△BFD≌△CED」 .CE BF=2. .AE=AC-CE=8-2=6.--8分 21.(1)解：如图即为所作， 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B m A B 3分 C (2)18- …2分 (3)解：如图即为所作， m- 8分 D 【详解】(1)略 BB CC (2)解：如图，连接， B m B 2+10)×3 则四边形BBCC的面积为 2 18 (3)略 22.(1)证明：：CD是△ABC的AB边上的高，EF⊥DC, ∴.∠ADC=∠CFE=90° .∠DAC+∠ACD=90°. 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACE=90, ∴∠FCE+∠ACD=90°， .∠FCE=∠DAC, 在△ADC和△CFE中， 「∠ADC=∠CFE=90° ∠DAC=∠FCE AC=CE △ADC≌△CFE(AAS) ； 3分 (2)证明：由(1)可得△ADC≌aCFE, .CD=EF, CD=BD, ∴.BD=EF, 在△BDH和△EFH中， ∠BDH=∠EFH=90 ∠BHD=∠EHF BD=EF △BDH≌△EFH(AAS) DH=FH;6分 a8号 【分析】(1)先证明出∠FCE=∠DAC,再利用“AAS”即可证明△ADC≌aCFE； (2)由(1)可得△ADC≌aCFE,则CD=EF,结合题意得出BD=EF,再证明 △BDH≌△EFH(AAS) ,即可得证： (3)由(1)可得△ADC≌aCFE,则AD=CF,CD=EF,由(2)可得DH=FH,结合题意得出 BD=CD=Ef:4由S=85·符出B=8CH,求出CH-有，即可得出结果 【详解】(1)略： (2)略： 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：由(1)可得△ADC≌aCFE, :AD=CF,CD=EF, 由(2)可得DH=FH, BD=CD,DC=4, .'BD=CD=EF=4, 5.C8.CE “24Bx4=8x)CHx4. .'AB=8CH, .AB=AD+BD=AD+CD=CF+CD=FH-CH+CD=DH-CH+4, .DH-CH+4=8CH, .DH+4=9CH, .DH+CH+4=10CH. .CD+4=10CH, .4+4=10CH, .CH=4 5, .AB=8CH=32 · -10分 23.(1)S=9t-6t2 (2)存在：4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【详解】(1)解：如图1，由题意，得BP=4t,O0=3t, B C 图1 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CA=CO,∠C=120° .∠C0A=∠CA0=30°， 等边△OAB的边长为6， .∠POA=60°，OP=OB-BP=6-4t, ∴.∠BOC=∠COA+∠POA=90°， :S=)0p.o0 2 4s=6-4)3=1-60: -2分 (2)解：如图2，(i)当D点在OA上， D D D D C 图2 DC=OD ①以D为顶点， OD,=OC ②以O为顶点， (i)当D点在OB上， :∠BOC=90°，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， OD,=OC 以O为顶点时， (im)当D点在AB上时， 此时OD的最短距离为OD⊥AB时，此时OD≠OC,不存在以O为顶点的等腰三角形： 当以C为顶点时，D点和A点重合， OD =CD 当以D为顶点时， 综上所述，这样的点D共有4个；一6分 (3)解：△BMN的周长不发生变化.理由如下： 延长BA至点F,使AF=OM,连接CF,如图3， 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 C 图3 .∠MOC=∠CAW=60°+30°=90°， .∠CAF=90°=∠COM OC=AC ∠MOC=∠CAF=90° 在 和 中 △MOC△FAC MO=AF △MOC≌△FAC(SAS) .MC=CF,∠MCO=∠FCA .∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA-∠MCN=60°， .∠FCN=∠MCN. MC=FC ∠FCN=∠MCN 在 和 △CN AFCN 中，CN=CN △MCN≌AFCN(SAS) .MN=NF :BM+MN+BN=BM+NF+BN BO-OM+BA+AF BA+BO=12. .△BMN的周长不变，其周长为12.-10分 24.(1)证明：∠B=∠ACD,∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠B+∠BAC, .∠BAC=∠DCE 在△ABC和△CED中， ∠B=∠E ∠BAC=∠ECD AC=CD 8/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC≌ACED(AAS) ..BC=DE.- 3分 (2)证明：如图，在AB上截取AF=DF,连接DF, B M .·∠DAN=30° .∠DAN=∠ADF=30°， .∠DFN=∠DAN+∠ADF=60 △ABC是等边三角形， ∴.∠B=60°， .∠DFN=∠B :∠ANM=∠AND+∠DNM=∠BMN+∠B,且∠DNM=∠B=6O°， .∠AND=∠BMN, 在△FDN和△BNM中， ∠DFN=∠B ∠DNF=∠NMB ND=MN .∴△FDN≌△BNM(AAS) :FD=BN,FN BM, :AF BN, △ABC是等边三角形， .'AB=BC, ∴AB-NF=BC-BM,即AF+BN=CM, .CM =2BN-- …7分 9/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3) B M 33 (3)解：如图，在BC上截取BM=CF,连接EM, D E :△ABC为等边三角形， .AC=BC,∠C=60°， .AD=2CF=BM+CF, :.CD=FM, :△DEF是等边三角形， .DF=EF,∠DFE=60°， :∠DFM=∠CDF+∠C=∠MFE+∠DFE,且∠C=∠DFE=60°， LCDF=∠MFE, .∴△DFC≌△FEM(SAS) ∠FME=∠C=60°，EM=CF, BM=CF, :BM=EM, .∠EBM=∠BEM, ∠FME=∠EBM+∠BEM, 即2∠EBM=60°. ∠EBM=30°， BE平分∠ABC, ∴如图所示，点E在△ABC的内角∠ABC的角平分线上BN上运动. 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “点E的运动路程也就是BN的长度， :△ABC是等边三角形，BN是角平分线， .BN⊥AC, 5a版-24C-BN=9W5 1 AC=6. .BN =33 即点E的运动路程 3V5 12分 11/11