9.3 电场力 电场强度（举一反三·讲义）物理沪科版必修第三册

本讲义聚焦电场力与电场强度核心知识点，从电场的基本性质（矢量性、唯一性、叠加性）切入，通过电场强度定义式与决定式的对比，结合等量同种及异种点电荷电场分布规律，构建从概念理解到叠加应用的学习支架，涵盖电场线、匀强电场及微元法等解题方法。 该资料通过对比表格（如公式本质区别、等量电荷电场线分布）和分层例题（基础变式到综合应用），培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。结合密立根油滴实验等实际情境，强化物理观念中的相互作用观念，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过分层作业查漏补缺。

9.3 电场力 电场强度 【新教材沪科版】 1．电场强度的性质 (1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。 (2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。 (3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 2．电场强度的三个公式比较 3．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较 比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线的分布图 连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿连线的中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐变小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点对称的A与A′，B与B′的场强 等大同向 等大反向 4.电场线的妙用 判断电场强度的大小 电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受电场力大小和加速度的大小。(如第2题中判断a、b两点的电场强度的大小) 判断电场力的方向 正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。(如第2题中根据轨迹的弯曲方向判断受电场力的方向，从而确定试探电荷的电性) 模块二 知识精讲 情景导入 我们已经知道，在电场中不同的地方，电场的强弱不同。那么如何描述这种强弱呢？ 知识归纳 【知识点1 电场、电场强度的理解】 1．电场：电荷周围存在的一种特殊 。 2．电场基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。因此电荷之间的相互作用是通过 发生的。 静止的电荷产生的电场是 。 电场看不见，摸不着，但 ，是一种特殊物质。并非由分子、原子组成。且和一般的物质一样，也具有 的性质。 3.试探电荷与场源电荷 (1)试探电荷：为了便于研究电场各点的性质而引入的电荷，是电荷量和体积都 的点电荷。 (2)场源电荷： 的带电体所带的电荷，也叫源电荷。 4．电场强度 (1)定义：放入电场中某点的试探电荷所受的 与它的 之比，叫作该点的电场强度。 (2)定义式：E＝。 (3)单位： 。 (4)方向：电场强度是 量，规定电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的 方向 ，与负电荷在该点所受静电力的方向 。 5．真空中点电荷的电场 (1)大小：如果以Q为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度 相等。 Q为场源电荷电荷量。 ⇒E＝k (2)方向：如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，当Q为正电荷时，E的方向沿半径 ；当Q为负电荷时，E的方向沿半径 。 (3)适用范围：仅适用于真空中点电荷产生的电场。 6．E＝与E＝k的比较 公式 E＝ E＝k 本质区别 定义式 决定式 适用范围 一切电场 真空中点电荷的电场 Q或q 的意义 q表示引入电场的(试探、检验)电荷的电荷量 Q表示产生电场的点电荷(场源电荷)的电荷量 关系 E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q的大小无关 E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝ 【例1】真空中，在点电荷+Q的电场中，与+Q相距为r的M点放一个试探电荷-q，它在电场中受到的静电力是F，方向如图所示。则（　　） A．M点的电场强度方向与F方向相反 B．M点的电场强度大小为 C．M点的电场强度大小为 D．若试探电荷q加倍，M点电场强度大小加倍 【变式1-1】电荷均匀分布的带电球体在球体外部产生的电场强度与位于球心处等电荷量的点电荷产生的电场强度相等。已知地球所带的电荷量约为4×105 C，地球的半径约为6 000 km，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，若将地球视为一个均匀带电球体，则地球表面附近的电场强度大小约为(　 ) A．50 N/C B．100 N/C C．200 N/C D．300 N/C 【变式1-2】(多选)在电场中的某点A放一电荷量为＋q的试探电荷，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝，方向水平向右．下列说法正确的是(　　) A．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，A点的场强方向变为水平向左 B．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA C．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左 D．在A点放置一个电荷量＋2q的试探电荷，所受电场力为2F 【变式1-3】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是(　　) A．B点的电场强度大小为0.25 N/C B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向 C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m D．点电荷Q是正电荷 【知识点2 电场强度的叠加】 1．电场强度的叠加 电场强度是 量，如果场源是多个点电荷时，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷 在该点产生的电场强度的 。 2．处理方法：同一直线上的场强的叠加可简化为代数运算；不在同一直线上的两个场强的叠加，用平行四边形定则求合场强。分析电场叠加问题的一般步骤是： (1)确定研究点的空间位置； (2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向。 (3)依次利用平行四边形定则求出电场强度的矢量和。 3．对称法求解电场的叠加问题 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化，例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。 【例2】如图所示，真空中有两个点电荷Q1＝＋4.0×10－8 C和Q2＝－1.0×10－8 C，分别固定在x坐标轴的x＝0和x＝6 cm的位置上． (1)x坐标轴上哪个位置的电场强度为零？ (2)x坐标轴上哪些地方的电场强度方向是沿x轴正方向的？ 【变式2-1】(多选)(2025·湖北卷，T10) 如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R，在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　) A.方向沿x轴负方向 B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下 C.大小为(cos 54°＋cos 18°) D.大小为(2cos 54°＋cos 18°) 【变式2-2】如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的场强(　 ) A．大小为，方向竖直向上 B．大小为，方向竖直向上 C．大小为，方向竖直向下 D．大小为，方向竖直向下 【变式2-3】如图，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为(　 ) A．(0,2a)，q B．(0,2a)，2q C．(2a,0)，q D．(2a,0)，2q 【知识点3 电场线及其应用】 1．英国物理学家 首先用电场线描述电场。 2．电场线是画在电场中的一条条 的曲线，曲线上每点的 方向表示该点的电场强度方向。 3．电场线的特点 (1)电场线总是从 处出发，终止于无限远处或负电荷，因此，电场线有起始点和终止点，不是闭合曲线。 (2)同一电场中的电场线永远 相交。因为电场中每一点的场强只有一个方向，如果电场线在电场中某点相交，则交点处相对两条电场线就有两个切线方向，该点处的场强就有两个方向，这是不可能的。 (3)在同一电场里，电场线越 的地方，场强越大，电场线越 的地方，场强越小。 (4)电场线是为了形象描述电场而 的曲线，实际 。 4．单一点电荷的电场线 (1)点电荷的电场线呈辐射状，正电荷的电场线向外至无限远，负电荷则相反，如图甲、乙所示。 (2)以点电荷为球心的球面上，电场线疏密相同，但方向不同，说明电场强度大小相等，但方向不同。 (3)同一条电场线上，电场强度方向相同，但大小不等。实际上，点电荷形成的电场中，任意两点的电场强度都不同。 5．等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷 电场线分布图 连线上的电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大 中垂线上的电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小 关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向 【例3】(多选)如图所示的四种电场中均有a、b两点，其中a、b两点的电场强度相同的是(　 ) A．甲图中，与点电荷等距的a、b两点 B．乙图中，两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点 C．丙图中，两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点 D．丁图中，匀强电场中的a、b两点 【变式3-1】如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是(　　) A．甲带负电，乙带正电 B．甲的电荷量大于乙的电荷量 C．在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点 D．P点的电场强度小于Q点的电场强度 【变式3-2】如图所示的实线为某静电场的电场线，虚线是仅在电场力作用下某带负电粒子的运动轨迹，A、B、C、D是电场线上的点，其中A、D两点在粒子的轨迹上，下列说法正确的是(　 ) A．该电场可能是正点电荷产生的 B．由图可知，同一电场的电场线在空间是可以相交的 C．将该粒子在C点由静止释放，它可能一直沿电场线运动 D．该粒子在A点的速度一定大于在D点的速度 【变式3-3】有一个负点电荷只受电场力的作用，分别从两电场中的a点由静止释放，在它沿直线运动到b点的过程中，动能Ek随位移x变化的关系图像分别为图中的①、②图线，则能与①、②图线相对应的两个电场的电场线分布图分别是图中的(　 ) A．甲、丙 B．乙、丙 C．乙、丁 D．甲、丁 【知识点4 匀强电场】 1．概念：如果电场中各点的电场强度的大小 、方向 ，这个电场就叫作匀强电场。 2．电场线分布特点： ①电场方向处处相同，电场线是 。 ②电场强度大小处处相等，电场线疏密程度 。 【例4】(多选)如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q>0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　 ) A．M带正电荷 B．N带正电荷 C．q＝L D．q＝3L 【变式4-1】如图为水平匀强电场，一个质量为0.1㎏带电量为0.1C的带负电小球，用一根细线悬挂在 电场中，静止时悬线与竖直方向成370角．(sin37．=0.6   cos37．=0.8) 求: （1） 判断电场方向      （2）电场力的大小      （3）电场强度大小． 【变式4-2】如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m、带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，重力加速度为g，则(　　) A．电场强度的最小值为E＝ B．若电场强度E＝，则电场强度方向一定竖直向上 C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大 D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大 【变式4-3】（多选）如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，O点固定一带电量为Q（Q>0）的点电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直．则（　　） A．A、C两点的场强方向相同 B．A、B、C、D四点，B点处的电场强度最大 C．C点的场强大小一定为0 D．D点的场强大小可能为0 【知识点5 微元法、割补法的应用】 1．利用补偿法和等效法求场强 (1)补偿法：题给条件建立的模型A不是一个完整的标准模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型B，并且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型。这样求解模型A的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B的差值问题。 (2)等效法：一个均匀带电球体或球壳在球外某点产生的电场强度可以等效于位于球心点电荷产生的电场强度。 2．利用微元法求解电场强度 微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而化曲为直，将变量、难以确定的量转化为常量、容易求得的量。 【例5】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为(　 ) A.－E B. C.－E D.＋E 【变式5-1】如图所示，水平放置的正方体四条边a、b、c、d上有四根完全相同、均匀带电且电荷量为−q的绝缘棒，O点为正方体上表面的中心。现将d处的绝缘棒替换为带电荷量为+q的绝缘棒，下列说法正确的是（　　） A．替换前，O点的电场强度方向竖直向上 B．替换后，O点的电场强度方向竖直向下 C．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向上 D．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向下 【变式5-2】硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电量突变成，则圆心O点处的电场强度为（　　） A．，方向沿半径指向P点 B．，方向沿半径背离P点 C．，方向沿半径指向P点 D．，方向沿半径背离P点 【变式5-3】如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强。 【知识点6 联系实际及平衡问题】 一、受力分析的四种方法 假设法 在未知某力是否存在时，先对其做出不存在的假设，然后根据该力不存在对物体运动和受力状态的影响来判断该力是否存在 整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法 隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法 动力学分析法 对加速运动的物体进行受力分析时，应用牛顿运动定律进行分析求解的方法 二、共点力的平衡条件及应用 1．共点力的平衡 (1)平衡状态：物体 或做匀速直线运动． (2)平衡条件：F合＝0或Fx＝0，Fy＝0. (3)常用推论 ①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反． ②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段 组成一个封闭三角形． 2．处理共点力平衡问题的基本思路 确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论． 求解共点力平衡问题的常用方法： （1）．合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡． （2）． 法：Fx合＝0，Fy合＝0，常用于多力平衡． （3）．矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形． 【例6】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。 【变式6-1】如图所示，将细短的头发碎屑悬浮在蓖麻油中，在平行电极板间施加恒定电场。经过一段时间，头发碎屑沿电场强度的方向排列起来，显示出电场线的分布情况。下列说法正确的是（　　） A．该实验说明电场线会相交 B．该实验说明电场线是真实存在的 C．左侧电极板一定带正电，右侧电极板一定带负电 D．电场的强弱可以用电场线的疏密程度来描述 【变式6-2】（2026·黑吉辽）某种微型“纳米光子电子加速器”利用激光照射周期性排列的纳米柱体时产生的交变电场来加速电子束。电子束通过虚线框区域的极短时间内，电场可视为恒定的，电场线分布如图所示，这段时间内（     ） A．点的电场强度比点的大 B．电子沿直线从点运动到点时，动能减小 C．电子沿直线从点运动到点时，速度增大 D．电子束的横截面大小和形状均不变 【变式6-3】（多选）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大 B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大 C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 模块三 课后作业 一、选择题 1．某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是(　　) A．c点的电场强度大于b点的电场强度 B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点 C．b点的电场强度大于d点的电场强度 D．a点和b点的电场强度方向相同 2．带有等量异种电荷的一对平行金属板，如果两极板间距不是足够近或者两极板面积不是足够大，即使在两极板之间，它的电场线也不是彼此平行的直线，而是如图所示的曲线，关于这种电场，以下说法正确的是(　　) A．这种电场的电场线虽然是曲线，但是电场线的分布却是左右对称的，很有规律性，它们之间的电场，除边缘部分外，可以看成匀强电场 B．电场内部A点的电场强度小于B点的电场强度 C．电场内部A点的电场强度等于B点的电场强度 D．若将一正电荷从电场中的A点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板 3．（多选）反天刀是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生电场，如图为反天刀周围的电场线分布示意图，A、B、C为电场中的点，下列说法正确的是（　　） A．头部带负电 B．A点电场强度大于B点电场强度 C．负离子运动到A点时，其加速度方向向右 D．图中从A至C的虚线可以是正离子的运动轨迹 4．匀强电场中A、B、C三点间距离均为l，构成一个等边三角形，如图所示。等边三角形所在平面与匀强电场方向平行，若在B处放一正点电荷＋q，在C处放一负点电荷－q，则A点场强为0。则此匀强电场的场强大小为(　 ) A. B. C. D. 5．(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m．已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则(　　) A．两球所带电荷量相等 B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N C．B球所带的电荷量为4×10－8 C D．A、B两球连线中点处的电场强度为0 6．如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是(　　) A．点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大，速度也一定越来越大 B．点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小，速度一定越来越大 C．若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零 D．若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零 7．如图所示，一圆盘上均匀分布着电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强为(　 ) A．k　水平向左 　 B．k　水平向右 C．k　水平向左 　 D．k　水平向右 8．如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0)．一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放．静电力常量为k.下列说法正确的是(　　) A．O1O2中点处的电场强度为 B．O1O2中点处的电场强度为 C．粒子在O1O2中点处动能最大 D．粒子在O2处动能最大 9．如图所示，圆弧状带电体ABC上电荷分布均匀。ABC对应的圆心角为120°，B为圆弧中点。若带电体上的全部电荷在圆心P处产生的电场强度大小为E，则AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小为(　 ) A.E　　　B.E　　　C.E　　　D.E 10．已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图12所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处场强的大小为(　　) A. B. C. D. 11．直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　) A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向 C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向 12．（多选）如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正三角形，顶点到O点的距离均为R。在正三角形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q的正点电荷，且电荷量为2q的点电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（　　 ） A．方向沿轴负方向 B．大小为 C．方向与轴负方向成斜向上 D．大小为 13．（多选）如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1，在A1和C1处放置电荷量分别为+q、-q的点电荷。下列两点电场强度大小相等的是（　　） A．、两点 B．、两点 C．、两点 D．、两点 14．如图所示，等边三角形由三根绝缘均匀带电棒组成，带电量分别为、和，其中一根带电量为的带电棒在三角形中心点产生的场强为，则点的合场强为（　　） A． B． C． D． 15．手机屏幕的核心可简化为两个平行导体板。当手指靠近时，导体板与指尖间的电场线分布如图所示。下列说法不正确的是（　　 ） A．图中任意两条电场线都不可能相交 B．电场线终止于指尖，故指尖感应出负电荷 C．在A点放入一试探电荷，其体积可以很大 D．同一带电粒子在A点受到的电场力大于在B点受到的电场力 16．用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点的电场强弱和方向。图甲是等量异种点电荷形成的电场的电场线，图乙是该静电场中的一些点，O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D分别相对O点左右对称。则下列说法正确的是（     ） A．B、C两点电场强度大小相等，方向相同 B．A、D两点电场强度大小相等，方向相反 C．E、O、F三点相比较，O点电场强度最小 D．B、O、C三点相比较，O点电场强度最大 二、填空题 17．N(N＞1)个电荷量均为q(q＞0)的小球，均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示．若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k) 三、计算、问答题 18．用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C．现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与铅垂线成30°夹角．求这个匀强电场的电场强度． 19．如图所示，一水平放置的圆环带有正电荷，电荷均匀分布。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有两个点，之间的距离为，、之间的距离为。在处有一带电量为的点电荷。现将一质量为，带电量为的小球置于处，小球恰能静止。静电力常量为，重力加速度为，求： (1)B处点电荷在A处产生的电场强度的大小和方向； (2)圆环在处产生的电场强度的大小。 20．如图所示，有一半径为R的圆轨道，其所在平面有水平向左的匀强电场，电场强度大小E＝，一质量为m、电荷量为q(q<0)的小球沿轨道内侧在竖直平面内运动，小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，A、B为轨道水平直径的两端，C是轨道最低点，小球经过B点时对轨道的压力为11mg，已知重力加速度大小为g。求： (1)带电小球在B点的速度大小； (2)带电小球在C点时对轨道的压力大小； (3)此过程中带电小球在圆轨道上运动的最小动能。 21．如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将A、B两带电小球悬挂于O点，电荷量分别为+9q、+q（电量为已知量），质量分别记为m1和m2（ 质量未知）静止时A、B两球处于同一水平线上，其中O点到B球的距离OB=L，∠AOB=90°，∠OAB=30°，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B间的库仑力大小； (2)A、B两球的质量m1和m2之比； (3)O点的电场强度。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3 电场力 电场强度 【新教材沪科版】 1．电场强度的性质 (1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。 (2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。 (3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 2．电场强度的三个公式比较 3．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较 比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线的分布图 连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零 连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿连线的中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐变小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点对称的A与A′，B与B′的场强 等大同向 等大反向 4.电场线的妙用 判断电场强度的大小 电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受电场力大小和加速度的大小。(如第2题中判断a、b两点的电场强度的大小) 判断电场力的方向 正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。(如第2题中根据轨迹的弯曲方向判断受电场力的方向，从而确定试探电荷的电性) 模块二 知识精讲 情景导入 我们已经知道，在电场中不同的地方，电场的强弱不同。那么如何描述这种强弱呢？ 知识归纳 【知识点1 电场、电场强度的理解】 1．电场：电荷周围存在的一种特殊 物质　。 2．电场基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。因此电荷之间的相互作用是通过 电场　发生的。 静止的电荷产生的电场是 静电场　。 电场看不见，摸不着，但 客观存在　，是一种特殊物质。并非由分子、原子组成。且和一般的物质一样，也具有 力和能量　的性质。 3.试探电荷与场源电荷 (1)试探电荷：为了便于研究电场各点的性质而引入的电荷，是电荷量和体积都 很小　的点电荷。 (2)场源电荷： 激发电场　的带电体所带的电荷，也叫源电荷。 4．电场强度 (1)定义：放入电场中某点的试探电荷所受的 静电力　与它的 电荷量　之比，叫作该点的电场强度。 (2)定义式：E＝。 (3)单位： N/C　。 (4)方向：电场强度是矢量，规定电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向 相同　，与负电荷在该点所受静电力的方向 相反　。 5．真空中点电荷的电场 (1)大小：如果以Q为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度 大小　相等。 Q为场源电荷电荷量。 ⇒E＝k (2)方向：如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，当Q为正电荷时，E的方向沿半径 向外　；当Q为负电荷时，E的方向沿半径 向内　。 (3)适用范围：仅适用于真空中点电荷产生的电场。 6．E＝与E＝k的比较 公式 E＝ E＝k 本质区别 定义式 决定式 适用范围 一切电场 真空中点电荷的电场 Q或q 的意义 q表示引入电场的(试探、检验)电荷的电荷量 Q表示产生电场的点电荷(场源电荷)的电荷量 关系 E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q的大小无关 E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝ 【例1】真空中，在点电荷+Q的电场中，与+Q相距为r的M点放一个试探电荷-q，它在电场中受到的静电力是F，方向如图所示。则（　　） A．M点的电场强度方向与F方向相反 B．M点的电场强度大小为 C．M点的电场强度大小为 D．若试探电荷q加倍，M点电场强度大小加倍 【答案】A 【详解】A．由于试探电荷带负电，故电场强度方向与静电力F方向相反，故A正确； B．根据点电荷电场强度公式可得M点的电场强度大小为，故B错误； C．根据电场强度的定义式可得M点的电场强度大小为，故C错误； D．电场强度是电场本身的性质，与试探电荷无关，故D错误。 故选A。 【变式1-1】电荷均匀分布的带电球体在球体外部产生的电场强度与位于球心处等电荷量的点电荷产生的电场强度相等。已知地球所带的电荷量约为4×105 C，地球的半径约为6 000 km，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，若将地球视为一个均匀带电球体，则地球表面附近的电场强度大小约为(　 ) A．50 N/C B．100 N/C C．200 N/C D．300 N/C 解析：选B　将地球产生的电场强度等效的看作地球球心处的一个带电荷量为Q的点电荷在地面产生的电场强度，根据点电荷电场强度的表达式可知E＝k＝100 N/C，故B正确，A、C、D错误。 【变式1-2】(多选)在电场中的某点A放一电荷量为＋q的试探电荷，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝，方向水平向右．下列说法正确的是(　　) A．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，A点的场强方向变为水平向左 B．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA C．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左 D．在A点放置一个电荷量＋2q的试探电荷，所受电场力为2F 答案　CD 解析　E＝是电场强度的定义式，某点场强大小和方向与场源电荷有关，而与放入的试探电荷没有任何关系，故选项A、B错；因负电荷受到电场力的方向与场强方向相反，故选项C正确；A点场强EA一定，放入的试探电荷所受电场力大小为F＝qEA，当放入电荷量为＋2q的试探电荷时，试探电荷所受电场力应为2F，故选项D正确． 【变式1-3】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是(　　) A．B点的电场强度大小为0.25 N/C B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向 C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m D．点电荷Q是正电荷 答案　C 解析　由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的场强为E1＝＝4×105 N/C，方向水平向右，同理可得，B处的场强为E2＝＝0.25×105 N/C，方向水平向左，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷场强公式可得E1＝k＝4×105 N/C，E2＝k＝×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误． 【知识点2 电场强度的叠加】 1．电场强度的叠加 电场强度是 矢　量，如果场源是多个点电荷时，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷 单独　在该点产生的电场强度的 矢量和　。 2．处理方法：同一直线上的场强的叠加可简化为代数运算；不在同一直线上的两个场强的叠加，用平行四边形定则求合场强。分析电场叠加问题的一般步骤是： (1)确定研究点的空间位置； (2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向。 (3)依次利用平行四边形定则求出电场强度的矢量和。 3．对称法求解电场的叠加问题 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化，例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。 【例2】如图所示，真空中有两个点电荷Q1＝＋4.0×10－8 C和Q2＝－1.0×10－8 C，分别固定在x坐标轴的x＝0和x＝6 cm的位置上． (1)x坐标轴上哪个位置的电场强度为零？ (2)x坐标轴上哪些地方的电场强度方向是沿x轴正方向的？ 答案　(1)x2＝12 cm处 (2)0＜x＜6 cm和x＞12 cm的地方 解析　因为|Q1|＞|Q2|，所以，在Q1左侧的x轴上，Q1产生的电场的电场强度总是大于Q2产生的电场的电场强度，且方向总是指向x轴负半轴，在x＝0和x＝6 cm之间，电场强度总是指向x轴的正方向．所以，只有在Q2右侧的x轴上，才有可能出现电场强度为0的点． (1)设该点距离原点的距离为x，则k－k＝0，即4(x－6)2－x2＝0，解得x1＝4 cm(不合题意，舍去)和x2＝12 cm.所以，在x2＝12 cm处电场强度等于0. (2)在x坐标轴上0＜x＜6 cm和x＞12 cm的地方，电场强度的方向总是沿x轴正方向的． 【变式2-1】(多选)(2025·湖北卷，T10) 如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R，在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　) A.方向沿x轴负方向 B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下 C.大小为(cos 54°＋cos 18°) D.大小为(2cos 54°＋cos 18°) [解析]　 5个点电荷分别在O点产生的电场强度方向如图所示，由几何关系可知θ1＝18°，θ2＝54°，将5个电场强度沿x、y轴分解可得Ex＝E1cos 54°＋E2cos 18°－E4cos 18°－E5cos 54°＝－(2cos 54°＋cos 18°)，Ey＝E1sin 54°＋E5sin 54°－E4sin 18°－E2sin 18°－E3＝＝0，sin 54°－sin 18°可利用三角函数和差化积公式化简求解：sin 54°－sin 18°＝2 cos 36°sin 18°＝＝＝＝，根据场强叠加原理可知O点电场强度方向沿x轴负方向，大小为(2cos 54°＋cos 18°)，A、D正确。 [答案]　AD 【变式2-2】如图所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的场强(　 ) A．大小为，方向竖直向上 B．大小为，方向竖直向上 C．大小为，方向竖直向下 D．大小为，方向竖直向下 解析：选C　一个点电荷在两条对角线交点O产生的场强大小为E＝＝，对角线上的两异种点电荷在O处的合场强为E合＝2E＝，方向由正电荷 指向负电荷，故两等大的场强互相垂直，合场强为EO＝＝，方向竖直向下。 【变式2-3】如图，在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为(　 ) A．(0,2a)，q B．(0,2a)，2q C．(2a,0)，q D．(2a,0)，2q 解析：选B　根据点电荷电场强度公式E＝k，两等量异种点电荷在P点的电场强度大小分别为E0＝，方向如图所示，两等量异种点电荷在P点的合电场强度为E1＝E0＝，方向与＋q点电荷与－q点电荷的连线平行，如图所示，Q点电荷在P点的电场强度大小为E2＝k＝， 三点电荷在P点的合电场强度为0，则E2方向如图所示，大小有E1＝E2，解得Q＝2q，由几何关系可知Q的坐标为(0,2a)，故B正确。 【知识点3 电场线及其应用】 1．英国物理学家 法拉第　首先用电场线描述电场。 2．电场线是画在电场中的一条条 有方向　的曲线，曲线上每点的 切线　方向表示该点的电场强度方向。 3．电场线的特点 (1)电场线总是从正电荷或无限远处出发，终止于无限远处或负电荷，因此，电场线有起始点和终止点，不是闭合曲线。 (2)同一电场中的电场线永远不会相交。因为电场中每一点的场强只有一个方向，如果电场线在电场中某点相交，则交点处相对两条电场线就有两个切线方向，该点处的场强就有两个方向，这是不可能的。 (3)在同一电场里，电场线越密的地方，场强越大，电场线越稀疏的地方，场强越小。 (4)电场线是为了形象描述电场而假想的曲线，实际不存在。 4．单一点电荷的电场线 (1)点电荷的电场线呈辐射状，正电荷的电场线向外至无限远，负电荷则相反，如图甲、乙所示。 (2)以点电荷为球心的球面上，电场线疏密相同，但方向不同，说明电场强度大小相等，但方向不同。 (3)同一条电场线上，电场强度方向相同，但大小不等。实际上，点电荷形成的电场中，任意两点的电场强度都不同。 5．等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷 电场线分布图 连线上的电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大 中垂线上的电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小 关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向 【例3】(多选)如图所示的四种电场中均有a、b两点，其中a、b两点的电场强度相同的是(　 ) A．甲图中，与点电荷等距的a、b两点 B．乙图中，两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点 C．丙图中，两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点 D．丁图中，匀强电场中的a、b两点 解析：选BD　根据点电荷的电场的特点可知题图甲中a、b两点的电场强度大小相等，但方向不同，则电场强度不同，故A错误；题图乙中a、b两点的电场强度大小相等，场强方向都与中垂线垂直向左，则a、b两点的电场强度相同，故B正确；题图丙中a、b两点电场强度方向不同，故C错误；题图丁的匀强电场中a、b两点电场强度大小相等，方向相同，故D正确。 【变式3-1】如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是(　　) A．甲带负电，乙带正电 B．甲的电荷量大于乙的电荷量 C．在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点 D．P点的电场强度小于Q点的电场强度 答案　B 解析　根据电场线分布特点，可判断出甲带正电、乙带负电，并且甲的电荷量大于乙的电荷量，A错误，B正确；在P位置静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子沿P位置电场线的切线从静止加速，不沿电场线运动，C错误；根据电场线的密集程度可以判断出P点的电场强度大于Q点的电场强度，D错误． 【变式3-2】如图所示的实线为某静电场的电场线，虚线是仅在电场力作用下某带负电粒子的运动轨迹，A、B、C、D是电场线上的点，其中A、D两点在粒子的轨迹上，下列说法正确的是(　 ) A．该电场可能是正点电荷产生的 B．由图可知，同一电场的电场线在空间是可以相交的 C．将该粒子在C点由静止释放，它可能一直沿电场线运动 D．该粒子在A点的速度一定大于在D点的速度 解析：选D　正点电荷周围的电场线是从正点电荷出发，呈辐射状分布的，A错误；同一电场的电场线在空间不能相交，否则同一点具有两个电场强度方向，B错误；电场中的带电粒子受力的方向沿电场线的切线方向，由于C点所在电场线为曲线，所以将该粒子在C点由静止释放，它一定不能沿电场线运动，C错误；由于做曲线运动的物体受力的方向指向曲线的内侧，该粒子带负电，可知场强方向应是从B到C，A点的电势高于D点的电势，故从A到D电场力对粒子做负功，粒子的动能减少，则粒子在A点的速度较大，D正确。 【变式3-3】有一个负点电荷只受电场力的作用，分别从两电场中的a点由静止释放，在它沿直线运动到b点的过程中，动能Ek随位移x变化的关系图像分别为图中的①、②图线，则能与①、②图线相对应的两个电场的电场线分布图分别是图中的(　 ) A．甲、丙 B．乙、丙 C．乙、丁 D．甲、丁 解析：选B　负点电荷从a运动到b，只有电场力做功，动能增加，根据动能定理可得Fx＝Ek，只有当F为定值时，Ek才与x成正比，由于负电荷受电场力方向与场强方向相反，故与①相对应的电场的电场线分布图是题图乙；②为曲线，动能随位移的增加而增加得越来越快，则电场强度越来越大，电场力做正功，故与②相对应的电场线分布图是题图丙，故B正确，A、C、D错误。 【知识点4 匀强电场】 1．概念：如果电场中各点的电场强度的大小 相等　、方向 相同　，这个电场就叫作匀强电场。 2．电场线分布特点： ①电场方向处处相同，电场线是 平行直线　。 ②电场强度大小处处相等，电场线疏密程度 相同　。 【例4】(多选)如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q>0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　 ) A．M带正电荷 B．N带正电荷 C．q＝L D．q＝3L 解析：选BC　由题图可知，对小球M受力分析如图(a)所示，对小球N受力分析如图(b)所示，由受力分析图可知小球M带负电荷，小球N带正电荷，故B正确，A错误；由几何关系可知，两小球之间的距离为r＝L，当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得mgtan45°＝Eq－k，两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得mgtan45°＝E·2q－k，整理解得q＝L，故C正确，D错误。 【变式4-1】如图为水平匀强电场，一个质量为0.1㎏带电量为0.1C的带负电小球，用一根细线悬挂在 电场中，静止时悬线与竖直方向成370角．(sin37．=0.6   cos37．=0.8) 求: （1） 判断电场方向      （2）电场力的大小      （3）电场强度大小． 答案：（1）水平向右（2）0.75N（3）7.5N/C 解析：（1）负电荷受到向左的电场力，可知电场方向水平向右； （2）由受力图可知：F=mgtan370=0.1×10×0.75N=0.75N. （3）根据F=Eq可得 【变式4-2】如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m、带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，重力加速度为g，则(　　) A．电场强度的最小值为E＝ B．若电场强度E＝，则电场强度方向一定竖直向上 C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大 D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大 答案　C 解析　对小球受力分析，如图所示，静电力与支持力垂直时，所加的电场强度最小，此时场强方向沿斜面向上，mgsin θ＝qEmin，解得电场强度的最小值为Emin＝，选项A错误；若电场强度E＝，则静电力与重力大小相等，由图可知，静电力方向可能竖直向上，也可能斜向左下，选项B错误；由图可知，若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则静电力逐渐变大，电场强度逐渐增大，选项C正确，D错误． 【变式4-3】（多选）如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，O点固定一带电量为Q（Q>0）的点电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直．则（　　） A．A、C两点的场强方向相同 B．A、B、C、D四点，B点处的电场强度最大 C．C点的场强大小一定为0 D．D点的场强大小可能为0 【答案】BD 【解析】A．作出A、C两点的场强，如图所示 可知A、C两点的场强方向不相同，故A错误； B．点电荷和匀强电场在四个点产生的场强大小相等，根据平行四边形定则，可知当两个分场强的大小不变时，其合场强随它们夹角的减小而增大，因点电荷在B点产生的场强与匀强电场在B点的场强，方向相同，即夹角为零，故B点的电场强度最大，故B正确； C．根据平行四边形定则，可得C点的场强大小为 故C错误； D．当点电荷Q在D点的电场强度的方向与匀强电场方向相反，且大小相等时，则D点的电场强度大小可以为零，故D正确。 故选BD。 【知识点5 微元法、割补法的应用】 1．利用补偿法和等效法求场强 (1)补偿法：题给条件建立的模型A不是一个完整的标准模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型B，并且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型。这样求解模型A的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B的差值问题。 (2)等效法：一个均匀带电球体或球壳在球外某点产生的电场强度可以等效于位于球心点电荷产生的电场强度。 2．利用微元法求解电场强度 微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而化曲为直，将变量、难以确定的量转化为常量、容易求得的量。 【例5】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为(　 ) A.－E B. C.－E D.＋E [解析]　左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷量为2q的整个球面的电场和带电荷量为－q的右半球面的电场的合电场，则E＝k－E′，E′为带电荷量为－q的右半球面在M点产生的场强大小。带电荷量为－q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷量为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝k－E＝－E，A正确。 [答案]　A 【变式5-1】如图所示，水平放置的正方体四条边a、b、c、d上有四根完全相同、均匀带电且电荷量为−q的绝缘棒，O点为正方体上表面的中心。现将d处的绝缘棒替换为带电荷量为+q的绝缘棒，下列说法正确的是（　　） A．替换前，O点的电场强度方向竖直向上 B．替换后，O点的电场强度方向竖直向下 C．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向上 D．若将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，则O点的电场强度方向竖直向下 【答案】C 【详解】A．替换前，由于a与b、c与d关于O点对称，a与b在O点产生的电场强度大小相等、方向相反，矢量和为零，c与d在O点的合电场强度方向竖直向下，故A错误； B．d处的绝缘棒替换为带电荷量为+q的绝缘棒后，c与d在O点的合电场强度方向沿水平方向，O点的电场强度方向不是竖直向下，故B错误； CD．将c处的绝缘棒也替换为带电荷量为+q的绝缘棒，a与b在O点产生的合场强为零，c与d在O点的合电场强度方向竖直向上，则O点的电场强度方向竖直向上，故C正确，D错误。 故选C。 【变式5-2】硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电量突变成，则圆心O点处的电场强度为（　　） A．，方向沿半径指向P点 B．，方向沿半径背离P点 C．，方向沿半径指向P点 D．，方向沿半径背离P点 【答案】B 【解析】当P点的电荷量为时，根据电场的对称性，可得在O点的电场强度为0，当P点的电荷为时，可由和两个电荷等效替代，故O点电场可以看做均匀带电圆环和产生的两个电场的叠加，故O点的电场强度为 电场方向为在O点的电场方向，即方向沿半径背离P点，故B正确，ACD错误。 故选B。 【变式5-3】如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强。 [解析]　设想将圆环看成由n个小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q′＝，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处产生的场强为E＝＝。由对称性知，各小段带电体在P处场强E的垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电圆环在P处的场强EP，EP＝nEx＝nkcos θ＝k。 [答案]　k 【知识点6 联系实际及平衡问题】 一、受力分析的四种方法 假设法 在未知某力是否存在时，先对其做出不存在的假设，然后根据该力不存在对物体运动和受力状态的影响来判断该力是否存在 整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法 隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法 动力学分析法 对加速运动的物体进行受力分析时，应用牛顿运动定律进行分析求解的方法 二、共点力的平衡条件及应用 1．共点力的平衡 (1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动． (2)平衡条件：F合＝0或Fx＝0，Fy＝0. (3)常用推论 ①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反． ②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形． 2．处理共点力平衡问题的基本思路 确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论． 求解共点力平衡问题的常用方法： （1）．合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡． （2）．正交分解法：Fx合＝0，Fy合＝0，常用于多力平衡． （3）．矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形． 【例6】密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。 【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1 【解析】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量 则速率为v时受阻力 则当油滴匀速下落时 解得 可知 则 （2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，可知油滴a做减速运动，油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得 其中 对b由受力平衡可得 其中 联立解得 【变式6-1】如图所示，将细短的头发碎屑悬浮在蓖麻油中，在平行电极板间施加恒定电场。经过一段时间，头发碎屑沿电场强度的方向排列起来，显示出电场线的分布情况。下列说法正确的是（　　） A．该实验说明电场线会相交 B．该实验说明电场线是真实存在的 C．左侧电极板一定带正电，右侧电极板一定带负电 D．电场的强弱可以用电场线的疏密程度来描述 【答案】D 【详解】AB．电场线是为了形象描述电场而引入的假想线，实际并不存在，电场线永不相交，故AB错误； C．头发碎屑沿电场强度方向排列，仅能说明碎屑被极化后沿电场方向取向，但无法判断电场方向本身，即无法确定左侧极板带正电、右侧带负电，故C错误； D．电场线的疏密程度可以描述电场的强弱，电场线越密的地方电场强度越大，电场线越疏的地方电场强度越小，故D正确。 故选D。 【变式6-2】（2026·黑吉辽）某种微型“纳米光子电子加速器”利用激光照射周期性排列的纳米柱体时产生的交变电场来加速电子束。电子束通过虚线框区域的极短时间内，电场可视为恒定的，电场线分布如图所示，这段时间内（     ） A．点的电场强度比点的大 B．电子沿直线从点运动到点时，动能减小 C．电子沿直线从点运动到点时，速度增大 D．电子束的横截面大小和形状均不变 【答案】C 【详解】A．电场线的疏密表示电场强度大小，电场线越密场强越大。图中点电场线比点更密，因此点场强大于点，A错误。 B．电子带负电，所受电场力方向与电场方向相反。电子从运动到，位移方向向右，电场力与位移方向相同，电场力做正功，根据动能定理，电子动能增大，B错误。 C．电子从运动到，位移向右，电场力仍向右，电场力依旧做正功，电子动能增大，速度增大，C正确。 D．中轴线外的电子，所受电场力存在垂直电场中轴线的分力，会发生偏转，因此电子束的横截面积会改变，形状发生改变，D错误。 故选C。 【变式6-3】（多选）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大 B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大 C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 【答案】BD 【解析】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为 带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有 ， 可得 即粒子1入射时动能等于粒子2入射时的动能，故C错误； A．粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误； B．粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确； D．粒子3做向心运动，有 可得 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确； 故选BD 模块三 课后作业 一、选择题 1．某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是(　　) A．c点的电场强度大于b点的电场强度 B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点 C．b点的电场强度大于d点的电场强度 D．a点和b点的电场强度方向相同 答案　C 解析　电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷不可能沿电场线运动，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误． 2．带有等量异种电荷的一对平行金属板，如果两极板间距不是足够近或者两极板面积不是足够大，即使在两极板之间，它的电场线也不是彼此平行的直线，而是如图所示的曲线，关于这种电场，以下说法正确的是(　　) A．这种电场的电场线虽然是曲线，但是电场线的分布却是左右对称的，很有规律性，它们之间的电场，除边缘部分外，可以看成匀强电场 B．电场内部A点的电场强度小于B点的电场强度 C．电场内部A点的电场强度等于B点的电场强度 D．若将一正电荷从电场中的A点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板 答案　D 解析　由于这种平行金属板形成的电场的电场线不是等间距的平行直线，所以不是匀强电场，选项A错误．从电场线分布看，A处的电场线比B处密，所以A点的电场强度大于B点的电场强度，选项B、C错误．A、B两点所在的电场线为一条直线，电荷受力方向沿着这条直线，所以若将一正电荷从电场中的A点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板，选项D正确． 3．（多选）反天刀是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生电场，如图为反天刀周围的电场线分布示意图，A、B、C为电场中的点，下列说法正确的是（　　） A．头部带负电 B．A点电场强度大于B点电场强度 C．负离子运动到A点时，其加速度方向向右 D．图中从A至C的虚线可以是正离子的运动轨迹 【答案】BD 【解析】A．电场线从正电荷或无穷远处出发，终止于负电荷或无穷远处，根据电场线由鱼的头部出发可知，头部带正电，故A错误；B．电场线疏密程度表示电场强度大小，A处电场线比B处密，所以A处电场强度大于B处电场强度，故B正确；C．负离子在A点受到的电场力向左，其加速度方向向左，故C错误；D．正离子所受的电场力方向沿着电场线的方向，且指向运动轨迹的凹侧，则图中从A至C的虚线可以是正离子的运动轨迹，故D正确。故选BD。 4．匀强电场中A、B、C三点间距离均为l，构成一个等边三角形，如图所示。等边三角形所在平面与匀强电场方向平行，若在B处放一正点电荷＋q，在C处放一负点电荷－q，则A点场强为0。则此匀强电场的场强大小为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　B、C两点处的点电荷在A点产生的电场强度的矢量和为E＝2E1cos 60°＝k，因A点的合场强为0，则匀强电场的场强与B、C两点的点电荷在A点的合场强等大且反向，则匀强电场的场强大小为E′＝E＝k，故B正确，A、C、D错误。 5．(多选)如图所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m．已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则(　　) A．两球所带电荷量相等 B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N C．B球所带的电荷量为4×10－8 C D．A、B两球连线中点处的电场强度为0 答案　ACD 解析　两相同的小球接触后电荷量均分，故两球所带电荷量相等，选项A正确；如图所示，由几何关系可知，两球分开后，悬线与竖直方向的夹角为θ＝37°，A球所受的静电力F＝mgtan 37°＝8.0×10－4×10×0.75 N＝6.0×10－3 N，选项B错误；根据库仑定律得，F＝k＝k，解得qB＝＝ C＝4×10－8 C，选项C正确；A、B两球带等量的 同种电荷，故在A、B两球连线中点处的电场强度为0，选项D正确． 6．如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是(　　) A．点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大，速度也一定越来越大 B．点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小，速度一定越来越大 C．若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零 D．若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零 答案　C 解析　若点电荷带正电，则点电荷会向背离O点方向运动，选项A错误；若点电荷带负电，则点电荷会向O运动，加速度可能先增加后减小，也可能一直减小，但是速度一定越来越大，选项B错误；若点电荷能越过O点，则根据能量关系以及对称性可知，点电荷一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零，选项C正确；若点电荷能运动到O点，此时加速度为零，速度达到最大值，选项D错误． 7．如图所示，一圆盘上均匀分布着电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强为(　 ) A．k　水平向左 　 B．k　水平向右 C．k　水平向左 　 D．k　水平向右 [解析]　电荷量为q的点电荷在b点处产生的电场强度为E＝k，而b点处的场强为零，则圆盘带正电荷，且在此处产生电场强度也为E＝k。由对称性可知圆盘在d点处产生电场强度大小仍为E＝k。而电荷量为q的点电荷在d点处产生的电场强度大小为E′＝k＝k，由于两者在d点处产生电场强度方向相同，所以d点处合场强大小为E＋E′＝k，方向水平向右，故D正确，A、B、C错误。 [答案]　D 8．如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0)．一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放．静电力常量为k.下列说法正确的是(　　) A．O1O2中点处的电场强度为 B．O1O2中点处的电场强度为 C．粒子在O1O2中点处动能最大 D．粒子在O2处动能最大 答案　A 解析　把圆环上每一个点都看成一个点电荷，则电荷量为q＝，根据点电荷场强公式，点电荷在O1O2中点的场强为E＝，根据电场的叠加原理，单个圆环在O1O2中点的场强为E＝cos 45°，两个圆环在O1O2中点的合场强为E总＝，故A正确，B错误；带电粒子从O1点开始由静止释放，在粒子从O1向O2的运动过程中，两圆环对粒子的作用力皆向左，可见电场对带电粒子做正功，故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故C错误； 根据电场叠加原理，在O2左侧场强方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，速度最大，动能最大，在这以后向左运动的速度开始减小，动能也减小，故D错误． 9．如图所示，圆弧状带电体ABC上电荷分布均匀。ABC对应的圆心角为120°，B为圆弧中点。若带电体上的全部电荷在圆心P处产生的电场强度大小为E，则AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小为(　 ) A.E　　　B.E　　　C.E　　　D.E [解析]　假设圆弧带电体ABC带正电，根据电场的叠加规律可知ABC在P点产生的电场强度方向沿BP连线向下；AB段产生的场强沿AB中点与P点连线向下，BC段产生的场强沿BC中点与P点的连线向上，并且AB和BC段在P点产生的电场强度大小相等；而P点处总的电场强度为AB和BC段单独产生的电场强度的合场强，如图所示，根据几何关系可知E＝2EABcos 30°，解得AB段上所带的电荷在圆心P处产生的电场强度大小EAB＝，故C正确，A、B、D错误。 [答案]　C 10．已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图12所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处场强的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的场强E整＝＝.挖出的小球半径为，因为电荷均匀分布，其带电荷量Q′＝Q＝.则其在A点产生的场强E挖＝＝＝.所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强E＝E整－E挖＝－＝，故B正确． 11．直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　) A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向 C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向 答案　B 解析　处于O点的正点电荷在G点处产生的场强大小E1＝k，方向沿y轴负向；因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合场强大小E2＝E1＝k，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点产生的合场强大小E3＝E2＝k，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强大小E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强大小E＝E3－E4＝，方向沿y轴负向． 12．（多选）如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正三角形，顶点到O点的距离均为R。在正三角形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q的正点电荷，且电荷量为2q的点电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（　　 ） A．方向沿轴负方向 B．大小为 C．方向与轴负方向成斜向上 D．大小为 【答案】AB 【详解】三个点电荷在点的电场强度大小分别为，， 方向如图所示 方向 方向 可得（方向沿轴负方向）， 根据矢量的合成可知O点处的电场强度大小为，沿轴负方向。 故选AB。 13．（多选）如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1，在A1和C1处放置电荷量分别为+q、-q的点电荷。下列两点电场强度大小相等的是（　　） A．、两点 B．、两点 C．、两点 D．、两点 【答案】AB 【详解】A．由等量异种电荷的电场分布可知，A、C两点场强大小相同，方向不同，A正确； B．B、D两点在等量异种电荷连线的中垂面上，结合对称性可知，BD两点的场强大小和方向都相同，B正确； C．A、B1两点场强大小和方向均不同，则场强不同，C错误； D．C、D1两点场强大小和方向均不同，则场强不同，D错误。 故选AB。 14．如图所示，等边三角形由三根绝缘均匀带电棒组成，带电量分别为、和，其中一根带电量为的带电棒在三角形中心点产生的场强为，则点的合场强为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等边三角形的特点，结合点电荷场强公式 根据场强叠加和对称性知，三根绝缘均匀带电棒在O点产生的场强分别为、和，如图所示 由场强的叠加可知，O点的合场强大小为 故选D。 15．手机屏幕的核心可简化为两个平行导体板。当手指靠近时，导体板与指尖间的电场线分布如图所示。下列说法不正确的是（　　 ） A．图中任意两条电场线都不可能相交 B．电场线终止于指尖，故指尖感应出负电荷 C．在A点放入一试探电荷，其体积可以很大 D．同一带电粒子在A点受到的电场力大于在B点受到的电场力 【答案】C 【详解】A．电场中某点的电场强度方向是唯一的，若两条电场线相交，则交点处电场强度方向不唯一，这与电场强度的性质矛盾，所以任意两条电场线都不可能相交，故A正确； B．电场线从正电荷出发，终止于负电荷，电场线终止于指尖，所以指尖感应出负电荷，故B正确； C．试探电荷的体积应足够小，才能等效为点电荷，准确对应电场中某一确定位置的场强，从而准确研究电场的性质，若体积很大，就不能看作试探电荷，故C错误； D．电场线的疏密表示电场强度的大小，A点电场线比B点密，所以A点电场强度大于B点电场强度，根据可知同一带电粒子在A点受到的电场力大于在B点受到的电场力，故D正确。 本题选不正确项，故选C。 16．用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点的电场强弱和方向。图甲是等量异种点电荷形成的电场的电场线，图乙是该静电场中的一些点，O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D分别相对O点左右对称。则下列说法正确的是（     ） A．B、C两点电场强度大小相等，方向相同 B．A、D两点电场强度大小相等，方向相反 C．E、O、F三点相比较，O点电场强度最小 D．B、O、C三点相比较，O点电场强度最大 【答案】A 【详解】A．根据对称性可知，B、C两点电场强度大小相等，方向相同，均水平向右，故A正确； B．根据对称性可知，A、D两点电场强度大小相等，方向相同，均水平向左，故B错误； CD．根据电场线的疏密程度表示场强大小，由图可知B、O、C三点，O点电场线最稀疏，则O点场强最小；在中垂线上，O点电场强度最大，所以E、O、F三点比较，O点场强最大，故CD错误。 故选A。 二、填空题 17．N(N＞1)个电荷量均为q(q＞0)的小球，均匀分布在半径为R的圆周上，如图所示．若移去位于圆周上P点(图中未标出)的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k) 答案　　沿OP指向P 解析　P点的带电小球在圆心O处的电场强度大小为E1＝k，方向沿PO指向O；N个小球在O点处电场强度叠加后，合场强为零；移去P点的小球后，则剩余N－1个小球在圆心O处的电场强度与P点的小球在圆心O处的电场强度等大反向，即E＝E1＝，方向沿OP指向P. 三、计算、问答题 18．用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C．现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与铅垂线成30°夹角．求这个匀强电场的电场强度． 答案　2.9×106 N/C 解析　小球受到重力mg、静电力F，轻绳拉力FT的作用处于平衡状态，它的受力情况如图所示，则 ＝＝tan 30° E＝tan 30°＝× N/C≈2.9×106 N/C 19．如图所示，一水平放置的圆环带有正电荷，电荷均匀分布。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有两个点，之间的距离为，、之间的距离为。在处有一带电量为的点电荷。现将一质量为，带电量为的小球置于处，小球恰能静止。静电力常量为，重力加速度为，求： (1)B处点电荷在A处产生的电场强度的大小和方向； (2)圆环在处产生的电场强度的大小。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) 【详解】（1）点电荷场强公式 其中 得B处点电荷在A处产生的场强为 方向竖直向下。 （2）小球在A处静止，由平衡条件可知 解得 20．如图所示，有一半径为R的圆轨道，其所在平面有水平向左的匀强电场，电场强度大小E＝，一质量为m、电荷量为q(q<0)的小球沿轨道内侧在竖直平面内运动，小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，A、B为轨道水平直径的两端，C是轨道最低点，小球经过B点时对轨道的压力为11mg，已知重力加速度大小为g。求： (1)带电小球在B点的速度大小； (2)带电小球在C点时对轨道的压力大小； (3)此过程中带电小球在圆轨道上运动的最小动能。 [解析]　(1)由题意知N1＝11mg，Eq＝2mg，则小球在B点有N1－Eq＝m，解得vB＝3。 (2)对小球从C到B点由动能定理有EqR－mgR＝mv－mv，可得vC＝，小球在C点有N2－mg＝m，解得N2＝8mg，根据牛顿第三定律可知，小球在C点时对轨道的压力大小为8mg。 (3)小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在等效最高点D点(如图所示)时速度最小，在D点重力和电场力的合力方向指向圆心，设此时D点与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝2，小球从C→D由动能定理结合几何关系有－mgR·－EqR·＝EkD－mv，解得带电小球在圆轨道上运动的最小动能EkD＝mgR。 [答案]　(1)3　(2)8mg (3)mgR 21．如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将A、B两带电小球悬挂于O点，电荷量分别为+9q、+q（电量为已知量），质量分别记为m1和m2（ 质量未知）静止时A、B两球处于同一水平线上，其中O点到B球的距离OB=L，∠AOB=90°，∠OAB=30°，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B间的库仑力大小； (2)A、B两球的质量m1和m2之比； (3)O点的电场强度。 【答案】(1) (2)1:3 (3)，方向与AO连线成角，满足 【详解】（1）由几何关系可知，、间距为 根据库仑定律，、之间的库仑力大小为 （2）对、受力分析如图所示： 对球有 对球有 解得 （3）两个带电小球、在点产生的电场强度大小分别为， O点的电场强度大小为 方向与AO连线成角，满足 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $