第二章 一元二次方程 单元卷 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学第二章一元二次方程单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖方程定义、解法、应用等核心知识，适配单元复习，体现数学思维与推理意识、模型应用与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、配方法、增长率问题、古算趣题|结合赵爽几何解法考查几何直观，新定义运算培养创新思维| |填空题|6/18|根与系数关系、判别式、矩形面积问题、动点问题|杨辉算题渗透文化传承，动点问题发展数学眼光| |解答题|8/72|三种解法综合、根的判别式应用、销售利润、配方求最值|阅读材料题强化数学语言表达，旅游收费问题体现模型意识|

第二章 一元二次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 2、关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 3、根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 4、 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. -1 B. 5 C. 7 D. -3 5、用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6、新定义运算：，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7、据统计，星月时代广场2026年六月份鞋帽专柜的营业额为100万元，八月份鞋帽专柜的营业额为150万元，设六到八月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8、古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A． B． C． D． 9、我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 10、如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为_____． 12、关于的方程有一个根是，则另一个根是_______． 13、已知和是方程的两个解，则的值为_____． 14、若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______． 15、我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 16、如图，在中，∠B=90°，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过_____ 秒钟，使的面积等于． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 18、已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 19、关于x的一元二次方程有两个实数根，若，求值． 20、设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0. （1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值. 21、为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 22、今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 23、形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 24、阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，（a、b、c为常数），不是一元二次方程，不符合题意； B、，整理得：，是一元二次方程，符合题意； C、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，不是整式方程，不符合题意； 2、关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 【答案】B 【详解】由，得 ， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5，2，， 3、根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ∵当时，，当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值使得， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 4、 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. -1 B. 5 C. 7 D. -3 【答案】C 【详解】∵m是方程的一个根 ∴， 5、用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解： 6、新定义运算：，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ 方程即为 方程的根的情况是：有两个相等的实数根 7、据统计，星月时代广场2026年六月份鞋帽专柜的营业额为100万元，八月份鞋帽专柜的营业额为150万元，设六到八月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：依题意得：100（1＋x）2＝150． 8、古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 9、我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 10、如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，将小路平移至矩形的边上， 设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为， 由题意建立等量关系得： 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程 ∴ 由可得，解得 又∵，即 ∴ 故答案为：． 12、关于的方程有一个根是，则另一个根是_______． 【答案】 【详解】解：设方程另一个根为， ， 故答案为： ． 13、已知和是方程的两个解，则的值为_____． 【答案】2026 【详解】解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 故答案为：2026 14、若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k≤3且k≠1 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+2=0有实数根， ∴k-10且Δ=42-4（k-1）×2≥0， 解得：k≤3且k≠1． 故答案为：k≤3且k≠1． 15、我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 16、如图，在中，∠B=90°，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过_____ 秒钟，使的面积等于． 【答案】秒或秒 【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得， ， ，， ∴经过秒或秒时，的面积等于， 故答案为：秒或秒． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ，即， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ，即， 或， ． 【小问3详解】 解：方程中的， 所以方程根的判别式为， 所以方程的解为， 即． 18、已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵方程， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：∵ ∴， ∴或， ，， ∵该方程的两个实数根都是正数， ． 19、关于x的一元二次方程有两个实数根，若，求值． 【答案】2 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：值是． 20、设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0. （1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值. 【答案】（1）△ABC为等边三角形；（2）m=-12． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ①， 又∵的根为， ∴②， 把②代入①得， ∴， ∴△ABC为等边三角形； ，是方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴，． 当时，原方程的解为（不符合题意，舍去）， ∴． 21、为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 【答案】该班共有人参加这次春游活动 【详解】解：人的费用为元元， 参加这次春游活动的人数超过人， 设该班参加这次春游活动的人数为名． 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 时，，不合题意，舍去； 时，． 答：该班共有人参加这次春游活动 22、今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 23、形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【解析】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 24、阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $