26.4 第3课时 抛物线形实际问题 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数的抛物线形实际问题，引导学生掌握建立坐标系、用待定系数法求解析式及代入求解的方法。通过“知识链接”回顾顶点式、抛物线与x轴交点等旧知，搭建学习支架，衔接运动轨迹、拱桥等实际问题的新知探究。 资料以“自主探究”结合铅球运动、拱桥宽度等实例，通过例题与变式引导学生实践建系与求解析式，“合作交流”归纳解题步骤培养推理意识，“当堂检测”分层设计巩固模型观念，助力学生用数学眼光观察现实问题，提升解决实际问题的能力。

第二十六章　二次函数　26.4 实际问题与二次函数(3)——抛物线形实际问题 【学习目标】 ① 能根据抛物线形的实际问题（运动轨迹、拱桥、喷水池等）建立适当的坐标系； ② 会用待定系数法（顶点式或一般式）求出二次函数解析式； ③ 能结合解析式求最值或代入求解，回答实际问题。 【学习重难点】 重点：建立坐标系、设出解析式，用待定系数法求系数并代入求解。 难点：根据几何条件合理建系并选择函数形式，准确代入求最值或交点。 【知识链接】（旧知回顾） 已知抛物线的顶点（h，k）与抛物线上另一点，通常用____式 y＝a（x－h＋k 求解析式；抛物线与 x 轴交点即令____＝0 解方程求 x；解决抛物线形实际问题时，建立坐标系的方法____（填“唯一”或“不唯一”）。 【自主探究】 探究1　运动中的抛物线 【例1】铅球出手后的运动轨迹是一条抛物线。测得最高点坐标为（4，5），出手点高度为 1.8 m。求铅球的成绩（水平距离）。 　　(1) 设抛物线解析式为 y＝a(x－4)²＋________； 　　(2) 出手点处 x＝________，y＝________，代入得 ________＝16a＋5，解得 a＝________； 　　(3) 令 y＝0，解得 x＝________（舍去负值），成绩为 ________ m。 【变式1】足球被踢出后轨迹为抛物线，最高点（2，3），且过点 A（8，0）（球门高 2.4 m）。判断球能否射进门？ 　　设 y＝a(x－2)²＋________，代入 A（8，0）得 0＝36a＋3，a＝________；当 x＝0 时 y＝________ ≈ 2.67 m，因为 ________ 2.4 m，所以____（能/不能）进门。 探究2　拱桥与喷水池中的抛物线 【例2】某拱桥的示意图是抛物线。当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m。若水面下降 2 m，求此时水面的宽度。 　　(1) 以拱顶为原点、对称轴为 y 轴建立坐标系，设抛物线 y＝a； 　　(2) 水面宽 4 m、距拱顶 2 m 时，点（2，________）在抛物线上，代入得 a＝________，解析式 y＝－0.5； 　　(3) 水面下降 2 m 即 y＝________（即－4），解得 x＝±2，故水面宽为 ________ m。 【变式2】桥拱呈抛物线 OBA，跨度 OA＝8 m，拱顶 B 距水面 4 m（B（4，4））。一工人身高 1.68 m，在距 O 点 1 m 处通行，是否会碰头？ 　　(1) 设 y＝a（x－4＋4，代入 O（0，0）得 0＝16a＋4，a＝________，解析式 y＝________＋2x； 　　(2) 当 x＝1 时 y＝________＝1.75 m，因为 1.75 ________ 1.68，所以____（会/不会）碰头。 【合作交流】（归纳解题步骤） 解决抛物线形实际问题的一般步骤： 　　① 建立适当的____坐标系； 　　② 设出函数解析式（顶点式 / 一般式），利用____法求出待定系数； 　　③ 利用解析式求顶点（最值），或代入 x 求 y、代入 y 求____。 【当堂检测】 1. 小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h＝－3t²＋12t，配方得 h＝________，最大高度为 ________ m。 2. 飞机着陆后滑行距离 y（m）与时间 t（s）满足 y＝－1.5t²＋60t，停下时 t＝________ s，滑行距离为 ________ m。 3. 喷水池直径 26 m，距中心 5 m 处喷头最高 8 m。设 y＝a（x－5＋8，代入（13，0）得 a＝________，装饰物在中心（x＝0）处高 y＝________ m。 【学习小结】 1. 抛物线形实际问题核心是：____ → 设解析式 → 求系数 → 代入求解； 2. 建立坐标系的方法____（唯一 / 不唯一），但得到的几何结论____（相同 / 不同）。 【拓展延伸】 同一拱形可以建立不同的平面直角坐标系，所得函数解析式____（相同 / 不同），但几何结论____（相同 / 不同）。请尝试对【例2】换一种建系方式，验证结论是否一致。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 顶点；y；不唯一。 二、自主探究 探究1 例1：(1) 5；(2) x＝0，y＝1.8，1.8＝16a＋5，a＝－1/5；(3) 令 y＝0 得 x＝9（舍去－1），成绩 9 m。解析式 y＝－（x－4＋5。 变式1：设 y＝a(x－2)²＋3，代入 A(8,0)：0＝36a＋3，a＝－1/12；x＝0 时 y＝8/3≈2.67 m，8/3＞2.4，不能进门。 探究2 例2：(1) 设 y＝a；(2) 点(2,－2)代入，a＝－0.5，y＝－0.5；(3) 水面下降 2 m 即 y＝－4，x＝±2，水面宽 4 m。 变式2：(1) 设 y＝a（x－4＋4，0＝16a＋4，a＝－1/4，y＝－＋2x；(2) x＝1 时 y＝－1/4＋2＝1.75 m，1.75＞1.68，不会碰头。 三、合作交流 ① 平面直角；② 待定系数；③ x（或自变量）。 四、当堂检测 1. h＝－3(t－2)²＋12，最大高度 12 m。 2. t＝－60÷[2×(－1.5)]＝20 s，滑行距离 600 m。 3. 代入(13,0)：0＝64a＋8，a＝－1/8，y＝－（x－5＋8；中心 x＝0 时 y＝－1/8×25＋8＝ m。 五、学习小结 1. 建系求解析式，再代入求解；2. 建系方法不唯一，但结果（几何结论）相同。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $