26.4实际问题与二次函数（第3课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数（第3课时）”，核心是应用二次函数解决拱桥问题。通过复习解决实际问题的一般步骤导入，搭建旧知与新知的桥梁，为探究拱桥问题提供学习支架。 资料亮点在于合作探究中“追问其他解法”培养数学思维，典例结合投篮、小船过桥等情境发展模型意识，中考演练与当堂检测提升应用能力，助力学生用数学眼光观察现实，用数学语言表达问题。

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第3课时）（导学案） 一、学习目标 1.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 2.能应用二次函数的性质解决拱桥问题。 学习重点： 应用二次函数的性质解决拱桥问题。 学习难点： 根据实际情况建立适当的平面直角坐标系。 二、学习过程 （一）复习引入 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m.突降暴雨后水面上升1 m，此时水面宽为多少? 追问 你还有其他解法吗？ 归纳总结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （三）典例分析x2−x−56=0 例1 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=x2+3.85的一部分，若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l. 例2 对于探究2，在突降暴雨致水位上升1 m后，有一艘装满物资的小船准备从桥下通过.这艘小船宽4 m，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高2 m.这艘小船能从这座拱桥下通过吗? 中考演练（2022四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降______米，水面宽8米． 学习笔记 （四）巩固练习 1. 如图1是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，如图2所示，则抛物线的二次函数是（    ） A．y=− x2 B．y=− x2 C．y=−4x2 D．y=−2x2 第1题图 第2题图 2. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=− x2，当水面离桥顶的高度为 m时，水面的宽度为（      ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 3. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y=− x2+bx，根据以上信息可知主桥拱最高点P与其在水中的倒影点P′之间的距离为 米． 第3题图 第4题图 4. 某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在 米内，才能确保隧道内行车安全． （五）当堂检测 如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽AB=20 m；当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为12m，高2.6m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． （六）课堂小结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题26.4：第9题. B组题：习题26.4：第10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第3课时）（导学案） 一、学习目标 1.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 2.能应用二次函数的性质解决拱桥问题。 学习重点： 应用二次函数的性质解决拱桥问题。 学习难点： 根据实际情况建立适当的平面直角坐标系。 二、学习过程 （一）复习引入 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m.突降暴雨后水面上升1 m，此时水面宽为多少? 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直 角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2. 由抛物线经过点(5，-4)， 可得 -4=a×5². 解得 a=- . 因此，这条抛物线对应的二次函数为y=- x². 当水面上升1 m时，水面的纵坐标为-3. 由函数解析式得 - x²=-3， 解得 x=±， ∵-(-)=5， ∴水面的宽度为5 m. 追问 你还有其他解法吗？ 解法2 解法3 解法4 解法5 归纳总结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： 1.建立平面直角坐标系；2.确定图象上点的坐标；3.待定系数法求解析式. 注意 坐标系不同，解析式也不同哦！ （三）典例分析x2−x−56=0 例1 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=x2+3.85的一部分，若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l. 解：记篮筐所在位置为点A. 当y=3.05时，由函数解析式得 − x2+3.85=3.05， 解得 x=±2， ∴xA=2，∴l=xA+3.2=2+3.2=5.2， ∴运动员到篮筐正下方的距离l为5.2 m. 例2 对于探究2，在突降暴雨致水位上升1 m后，有一艘装满物资的小船准备从桥下通过.这艘小船宽4 m，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高2 m.这艘小船能从这座拱桥下通过吗? 解：由题意得：点A的坐标为(2，-1). 当x=2时，由抛物线解析式得 y=- x²=- . ∴yA=-1，yB=- . ∵yA<yB， ∴这艘小船能从这座拱桥下通过. 中考演练（2022四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降______米，水面宽8米． 分析 以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得：抛物线顶点坐标为(0，2)，点B坐标为(3，0). 设函数解析式为y=ax2+2， 则 9a+2=0，解得 a=− ， ∴抛物线解析式为：y=− x2+2. 把x=4代入解析式，得y=− ×42+2=− ； ∴水面下降米. （四）巩固练习 1. 如图1是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，如图2所示，则抛物线的二次函数是（  B  ） A．y=− x2 B．y=− x2 C．y=−4x2 D．y=−2x2 第1题图 第2题图 2. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=− x2，当水面离桥顶的高度为 m时，水面的宽度为（   B  ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 3. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y=− x2+bx，根据以上信息可知主桥拱最高点P与其在水中的倒影点P′之间的距离为 20 米． 第3题图 第4题图 4. 某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在 __米内，才能确保隧道内行车安全． （五）当堂检测 如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽AB=20 m；当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为12m，高2.6m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 解：(1)由题意得，设抛物线的解析式为y=ax2 (a<0)， ∵正常水位时，水面宽AB=20 m， ∴B(10，y1)，代入得：y1=a×102=100a， ∵水位上升3 m后，水面宽CD=10 m， ∴D(5，y2)，|y1−y2|=3，代入得：y2=a×52=25a， ∴|100a−25a|=3，解得|a|=， ∵a<0，∴抛物线的函数表达式为y=− x2. (2)当x=10时，y1= − ×102=−4，即正常水位在y=−4处， ∵水面宽8米， ∴当x=4时，y=− ×42= − ， ∴水位上升高度为− −(−4)= m； (3)由题意得，正常水位下，船宽12 m，即船的左右边缘在x=±6处， ∴当x=6时，y=− ×62=−1.44， ∴桥在x=6处的高度为：−1.44−(−4)=2.56 m， ∵2.56<2.6， ∴船不能安全通过此桥． （六）课堂小结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题26.4：第9题. B组题：习题26.4：第10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $