2.3　圆与圆的位置关系课时练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“圆与圆的位置关系”，通过三级分层设计实现从基础概念到创新应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级（9题）|位置关系判定、公切线条数、公共弦方程|基础选择填空为主，直接应用圆心距与半径关系公式| |B级（5题）|切线方程、多圆综合、动态位置关系|含多选题与解答题，结合几何直观考查综合运算| |C级（2题）|多圆公切线、圆系方程与切线综合|创新题型，需构建数学模型解决复杂情境问题|

2.3　圆与圆的位置关系 A级　必备知识基础练 1.圆(x－2)2＋(y－2)2=1与圆(x＋1)2＋(y＋2)2=25的位置关系是(　　) A．相切　　 B．相交 C．内含　　 D．外离 2.若两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5=0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3=0有3条公切线，则a=(　　) A．－1或－2 B．－1或－5 C．－2或2 D．－5或2 3.圆x2＋y2＋4x－6y=0和圆x2＋y2－6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A.3x＋5y＋9=0 B.3x－5y－9=0 C.3x－5y＋9=0 D.3x＋5y－9=0 4.已知圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2=r2(r＞0)与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2=16有公共点，则r的取值范围为(　　) A．(0，1]　　 B．[1，5] C．[1，9]　　 D．[5，9] 5.(2025南京高二月考)圆x2＋y2－4=0与圆x2＋y2－4x＋4y－12=0的公共弦长为(　　) A．　　 B．2 C．3　　 D．4 6.(2025徐州高二质检)与圆O1：x2＋y2=1和O2：(x－3)2＋y2=1都相切的一条直线的方程为　　　　　　　　　　　． 7.(2025宿迁高二质检)过圆x2＋y2－2y－4=0与x2＋y2－4x＋2y=0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1=0上的圆的方程是　 　． 8.已知圆C的圆心为，若圆C与圆x2＋y2－3x=0的公共弦所在直线经过点，则圆C的方程为　　　　　　　　　　． 9.圆O1的方程为(x＋2)2＋(y－3)2=1，圆O2的圆心为O2(1，7)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB=，求圆O2的方程． B级　关键能力提升练 10.已知圆M：x2＋y2－2ax=0(a＞0)的圆心到直线2x＋y=2的距离是，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋1)2=1的位置关系是(　　) A．外离　　 B．相交 C．内含　　 D．内切 11.过点P(2，3)向圆C：x2＋y2=1作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(　　) A．2x－3y－1=0　　 B．2x＋3y－1=0 C．3x＋2y－1=0　　 D．3x－2y－1=0 12.(多选题)若点P在圆C1：x2＋y2=1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋4y＋9=0上，则(　　) A．|PQ|的最小值为－3 B．|PQ|的最大值为 C．两个圆心所在直线的斜率为－ D．两个圆公共弦所在直线的方程为6x－4y－10=0 13.已知点P在圆O：x2＋y2=4上，点A(－3，0)，B(0，4)，满足AP⊥BP的点P有　　　　个． 14.在平面直角坐标系中，圆O：x2＋y2=4与圆 C：(x－3)2＋(y－1)2=8相交于P，Q两点． (1)求线段PQ的长； (2)记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上运动，求当△MNC面积最大时直线MN的方程． C级　学科素养创新练 15.与两圆(x－1)2＋y2=1，x2＋y2－10x＋6y＋18=0均相切的一条直线的方程为　 　． 16.已知两圆C1：x2＋y2=4，C2：(x－1)2＋(y－2)2=r2(r＞0)，直线l：x＋2y=0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值； (2)当r=1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程． 答案： 1.B 2.D　解析　将两圆方程分别整理为(x－a)2＋(y＋2)2=9和(x＋1)2＋(y－a)2=4，则两圆的圆心分别为(a，－2)和(－1，a)，半径分别为3和2. 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，所以两圆的圆心距d==3＋2，解得a=－5或a=2，故选D． 3.D　解析　圆x2＋y2＋4x－6y=0的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2=13，圆心为M(－2，3)，圆x2＋y2－6x=0的标准方程为(x－3)2＋y2=9，圆心为N(3，0)，由于两圆关于直线MN对称，所以A，B两点也关于直线MN对称，所以AB的垂直平分线为直线MN，直线MN的斜率为kMN==－，则直线MN的方程为y=－(x－3)，即3x＋5y－9=0.故选D． 4.C　解析　由题知C1(1，－2)，r1=r，C2(4，2)，r2=4，|C1C2|==5. 因为圆C1和C2有公共点，所以|r－4|≤|C1C2|≤r＋4，解得1≤r≤9.故选C． 5.B　解析　将圆x2＋y2－4=0与圆x2＋y2－4x＋4y－12=0的方程作差可得x－y＋2=0，所以两圆相交弦所在直线的方程为x－y＋2=0.圆x2＋y2－4=0的圆心为原点C，半径为r=2，原点C到直线x－y＋2=0的距离为d==，所以两圆的公共弦长为2=2．故选B． 6.y=±(x－)或y=±1中任何一个答案均可　解析　圆x2＋y2=1的圆心为C1(0，0)，半径为r1=1，圆O2：(x－3)2＋y2=1的圆心为C2(3，0)，半径为r2=1，则|C1C2|=3＞r1＋r2，所以两圆外离． 由两圆的圆心都在x轴上，知公切线的斜率一定存在，设公切线方程为y=kx＋b，即kx－y＋b=0，则有 解得或或或 所以公切线方程为y=±(x－)或y=±1. 7.x2＋y2－3x＋y－1=0　解析　设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)=0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ=0，即x2＋y2－x＋y－=0，所以圆心坐标为(，)，把圆心坐标(，)代入2x＋4y－1=0，可得λ=，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1=0. 故答案为x2＋y2－3x＋y－1=0. 8. (x－2)2＋(y－1)2=4　解析　设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2=r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2=0，两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2=0.因为该直线过点(5，－2)，所以r2=4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2=4． 9.解　(1)圆O1的方程为(x＋2)2＋(y－3)2=1，圆心O1(－2，3)，半径为1，圆O2的圆心O2(1，7)． 圆心距为=5，若圆O2与圆O1外切，则所求圆O2的半径为4，所以圆O2的方程为(x－1)2＋(y－7)2=16. (2)圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB=，所以圆心O1到弦AB的距离为=．当圆心O2到弦AB的距离为5－=时，圆O2的半径为=5.圆O2的方程为(x－1)2＋(y－7)2=25.当圆心O2到弦AB的距离为5＋=时，圆O2的半径为=3． 圆O2的方程为(x－1)2＋(y－7)2=27. 综上，圆O2的方程为(x－1)2＋(y－7)2=25或(x－1)2＋(y－7)2=27. 10.C　解析　圆M：x2＋y2－2ax=0(a＞0)，即(x－a)2＋y2=a2(a＞0)，其圆心、半径分别为M(a，0)，r1=a，圆N：(x－2)2＋(y＋1)2=1，其圆心、半径分别为N(2，－1)，r2=1.因为M(a，0)到直线2x＋y=2的距离d==，所以a=或a=－(舍去)，从而M(，0)，所以|MN|==．因为|MN|=＜|r1－r2|=，所以圆M与圆N的位置关系是内含．故选C． 11.B　解析　由题意可知，P(2，3)，C(0，0)，弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2=1的公共弦，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y－)2=．根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为(x－1)2＋(y－)2－－(x2＋y2－1)=0，整理可得2x＋3y－1=0. 12.AC　解析　根据题意，圆C1：x2＋y2=1，其圆心C1(0，0)，半径R=1，圆C2：x2＋y2－6x＋4y＋9=0，即(x－3)2＋(y＋2)2=4，其圆心C2(3，－2)，半径r=2，则圆心距|C1C2|==＞R＋r=3，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；|PQ|的最小值为|C1C2|－R－r=－3，最大值为|C1C2|＋R＋r=＋3，故A正确，B不正确；对于C，圆心C1(0，0)，圆心C2(3，－2)，则两个圆心所在直线的斜率k==－，故C正确． 13.2　解析　方法一　由AP⊥BP，知点P在以AB为直径的圆上，故点P的轨迹是圆心为(－，2)，半径为的圆(不含A，B两点)，则两圆的圆心距为，半径和为＋2=，半径差为－2=，有＜＜，所以两圆相交，满足这样的点P有2个． 方法二　设点P(x，y)，则x2＋y2=4，且=(x＋3，y)，=(x，y－4)．由AP⊥BP，得•=x(x＋3)＋y(y－4)=x2＋y2＋3x－4y=0，即(x＋)2＋(y－2)2=， 故点P的轨迹是圆心为(－，2)，半径为的圆(不含A，B两点)，则两圆的圆心距为，半径和为＋2=，半径差为－2=．因为＜＜，所以两圆相交，满足这样的点P有2个． 14.解　(1)由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ所在直线的方程为3x＋y－3=0. 点(0，0)到直线PQ的距离d=，|PQ|=2=． (2)由题可知M(2，0)，C(3，1)，点N在圆C上，所以|MC|=，|NC|=2，所以S△MNC=|MC|•|NC|•sin∠MCN=2sin∠MCN． 当∠MCN=90°时，S△MNC取得最大值，此时MC⊥NC．又kCM=1，则直线NC的方程为y=－x＋4.由得N(1，3)或N(5，－1)．当点N(1，3)时，kMN=－3，此时直线MN的方程为3x＋y－6=0；当点N(5，－1)时，kMN=－，此时直线MN的方程为x＋3y－2=0.所以直线MN的方程为3x＋y－6=0或x＋3y－2=0. 15.y=1(答案不唯一)　解析　由(x－1)2＋y2=1，知圆心为(1，0)，半径为1.由x2＋y2－10x＋6y＋18=0，得(x－5)2＋(y＋3)2=16，知圆心为(5，－3)，半径为4，所以圆心距为=5=1＋4，故两圆外切，如图所示． 由题易知公切线的斜率存在，设公切线的方程为y=kx＋m，则解得或或所以公切线的方程为y=1或4x－3y－9=0或24x＋7y＋1=0. 16.解　(1)由圆C1：x2＋y2=4，知圆心C1(0，0)，半径r1=2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2=r2(r＞0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2=0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2=0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C1(0，0)，即r2=9(r＞0)，解得r=3. (2)设过圆C1与圆C2交点的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)=0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)=0，所以(x－)2＋(y－)2=，由圆心到直线x＋2y=0的距离等于圆的半径，可得=，解得λ=1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y=0. 学科网（北京）股份有限公司 $