27.4、27.5 二次函数与一元二次方程及简单应用 讲义 2026—2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的联系这一核心知识点，系统梳理抛物线与x轴交点的横坐标即方程的根、判别式与交点个数关系、函数值正负范围判断、交点式求解析式、图像法求近似根及简单应用，构建从课前诊断到知识梳理再到巩固提升的学习支架。 该资料以“诊断-梳理-精讲-巩固”闭环设计为特色，入门测限时检测基础，知识梳理通过互化关系培养抽象能力（数学眼光），典例中含参讨论发展推理意识（数学思维），实际应用问题体现模型意识（数学语言）。思维导图助力知识网络构建，课中辅助教学，课后通过出门测和作业帮助学生查漏补缺。

第06讲 二次函数与一元二次方程及简单应用（原卷版·学生用） 沪教版五四学制 · 2024新课标 · 九年级上册 第27章 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 8 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 1. 解方程 x² − 5x + 6 = 0，得 x₁ = ______，x₂ = ______。 2. 抛物线 y = x² + 2x − 8 与 x 轴的交点坐标是______和______。 3. 抛物线 y = x² − 6x + 9 与 x 轴有______个交点，交点坐标是______。 4. 抛物线 y = −x² + 4 与 x 轴的交点坐标是______。 5. 若抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 (−1, 0) 与 (2, 0)，则 b = ______，c = ______。 6. 关于 x 的方程 x² − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是______。 7. 抛物线 y = x² + 2x − 3 与 x 轴交于 (−3, 0)、(1, 0)，当 −3 < x < 1 时 y ______0。 8. 抛物线 y = x² − 4x + 5 与 x 轴的交点个数是______。 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解二次函数与一元二次方程的联系：抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根 ★★★ 2 会利用图像求一元二次方程的近似根，能由图像读出 y>0 / y<0 时 x 的范围 ★★★ 3 会用交点式 y=a(x−x₁)(x−x₂) 求二次函数解析式（含两根 + 第三点） ★★ 4 能运用二次函数的性质解决简单的最值与实际应用问题 ★★ ⭐ 学习重点 抛物线与 x 轴交点与方程根的互化；用图像求近似根；交点式求解析式。 🔥 学习难点 图像法精确度控制（精确到 0.1）；含参 Δ 讨论；由交点判 y 正负范围；交点式 + 第三点定 a。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 知识点 01 抛物线与 x 轴的交点 ⇔ 一元二次方程的根 抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的______坐标，就是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的______；反之亦然。 方程 ax² + bx + c = 0 的判别式 Δ = b² − 4ac：Δ > 0 时方程有______个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有______个交点；Δ = 0 时有______个实数根，抛物线与 x 轴有______个交点（顶点在 x 轴上）；Δ < 0 时方程______实数根，抛物线与 x 轴______交点。 🔑 知识点 02 由图像读函数值的正负 若抛物线 y = ax² + bx + c（a > 0）与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)（x₁ < x₂），则当 x₁ < x < x₂ 时 y ______0；当 x < x₁ 或 x > x₂ 时 y ______0。当 a < 0 时，结论______。 🔑 知识点 03 交点式求解析式 若抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)，则可设其解析式为 y = a(______)(______)，再代入图像上另一点求出 a。 🔑 知识点 04 用图像求方程的近似根 求一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的近似根（精确到 0.1），可先画对应二次函数 y = ax² + bx + c 的图像，读出抛物线与 x 轴______的横坐标；如仍不易读取，可______后取近似值。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型 1 交点与方程的根（互化） 例题 1 求抛物线 y = x² + x − 6 与 x 轴的交点坐标，并说出方程 x² + x − 6 = 0 的根。 例题 2 已知方程 x² − 2x − 8 = 0 的两根为 −2 和 4，写出抛物线 y = x² − 2x − 8 与 x 轴的交点，并求其对称轴。 变式 1 求抛物线 y = −x² + 6x − 5 与 x 轴的交点坐标。 变式 2 已知抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 (−1, 0) 与 (2, 0)，求 b、c。 变式 3 二次函数 y = ax² + bx + c 的顶点在 x 轴上，且 a = 3，顶点横坐标为 2，写出其解析式。 📌 题型 2 判别式与交点个数（含参数讨论） 例题 3 抛物线 y = x² − 3x + m 与 x 轴交点的个数随 m 变化，请就 m 的取值范围说明。 例题 4 不解方程，判断抛物线 y = x² + 2x + 2 与 x 轴的交点个数。 变式 1 抛物线 y = 4x² − 4x + 1 与 x 轴的交点有几个？写出交点坐标。 变式 2 求证：抛物线 y = x² − 2x + 5 与 x 轴没有交点，且图像全部在 x 轴上方。 变式 3 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向上，与 x 轴的两个交点分居 y 轴两侧（即一左一右），则 c______0。 📌 题型 3 由图像读 y 的正负范围 例题 5 已知二次函数 y = x² − 4x − 5 的图像如图所示。（1）当 x 为何值时 y = 0？（2）当 x 在什么范围内时 y < 0？（3）y > 0 呢？ 图2 y=x²−4x−5 的图像 例题 6 二次函数 y = −x² + 4x + 12 的图像与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧）。当 x 在什么范围内时 y > 0？y < 0 呢？ 变式 1 抛物线 y = 2x² − 4x − 6 与 x 轴交于 A(−1, 0)、B(3, 0)。当 x 取何值时 y < 0？ 变式 2 若抛物线 y = −x² + x − 2 与 x 轴没有交点，则对任意实数 x，y 的值都______0。 📌 题型 4 用图像求方程的近似根（图像法） 例题 7 利用函数图像求方程 x² − 2x − 2 = 0 的根（结果精确到 0.1）。 图3 y=x²−2x−2 的图像 变式 1 判断 x = 2.4 是不是方程 x² − 2x − 1 = 0 的近似根（精确到 0.1）。 变式 2 抛物线 y = x² − 4x + 2 与 x 轴交点的横坐标各介于哪两个连续整数之间？ 📌 题型 5 用交点式求解析式 例题 9 已知抛物线与 x 轴交于 (−2, 0) 与 (1, 0)，且过点 (0, −4)，求它的解析式。 例题 10 抛物线与 x 轴交于 (−3, 0) 与 (1, 0)，且过点 (0, 6)，求它的解析式。 变式 1 抛物线 y = x² + bx + c 经过点 (1, 0)，且对称轴为 x = 3，求 b、c 及它与 x 轴的另一个交点。 变式 2 抛物线与 x 轴交于 (1, 0) 与 (7, 0)，且顶点纵坐标为 −9，求它的解析式。 📌 题型 6 简单应用（最值与抛物线形几何） 例题 11 用总长 40 m 的篱笆围成一个矩形养鸡场（一面靠足够长的墙），设垂直于墙的一边长为 x m，面积为 S m²。（1）写出 S 关于 x 的函数解析式与 x 的取值范围；（2）x 取何值时 S 最大？最大面积是多少？ 图4 左：矩形苗圃实景　右：面积函数模型 变式 1 若例 11 中墙长只有 12 m，其他条件不变，求此时的最大面积及对应的 x。 变式 2 某拱桥可视为一段抛物线。以拱顶为原点、水平方向为 x 轴、竖直向下为 y 轴的正方向建立坐标系，桥拱方程为 y = （单位 m）。当水面距拱顶 4 m 时，水面宽度是多少 m（精确到 0.1）？若水位下降 2 m（即距拱顶 6 m），水面宽度变为多少 m（精确到 0.1）？ ✅ 出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 8 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 1. 抛物线 y = x² − 6x + 8 与 x 轴交点横坐标为 2 和 4，则方程 x² − 6x + 8 = 0 的根为______。 2. 若二次函数 y = x² + 4x + k 的图像与 x 轴只有一个交点，则 k = ______。 3. 抛物线 y = x² + 2x − 3 与 x 轴交于 A、B（A 在 B 左侧），A 点坐标为______，当 x 在______范围内时 y < 0。 4. 已知抛物线与 x 轴交于 (−2, 0)、(4, 0)，且过点 (0, −8)，则其解析式为______。 5. 二次函数 y = x² − 2x + 3 的图像与 x 轴的交点个数是______个，且对任意 x，y 的值都______0。 6. 用图像法估计：方程 x² − 2x − 1 = 0 在 2 与 3 之间的根约为______（精确到 0.1）。 7. 抛物线 y = ax² + bx + c 开口向下，与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)，且 x₁ < 0 < x₂，则当 x₁ < x < x₂ 时 y ______0。 8. 用 24 m 长的篱笆围一个矩形花圃（一面靠足够长的墙）。设垂直于墙的一边长为 x m，则当 x = ______时面积最大，最大面积为______m²。 🏠 课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 5 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 求抛物线 y = −x² + 5x − 6 与 x 轴的交点坐标，并写出对应方程 −x² + 5x − 6 = 0 的根。 2. 若抛物线 y = x² − 2x + m 与 x 轴没有交点，求 m 的取值范围。 3. 抛物线与 x 轴交于 (−3, 0) 与 (1, 0)，且过点 (0, −6)，求它的解析式。 4. 抛物线 y = x² + x − 2 与 x 轴交于 A(−2, 0)、B(1, 0)。当 x 取何值时 y ≥ 0？ 5. 某商店销售一种进价每件 20 元的商品，按 30 元/件销售时每月可卖出 200 件；销售单价每上涨 1 元，每月少卖 10 件。设每件上涨 x 元，月利润为 y 元。（1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）售价定为多少元时利润最大？最大月利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二次函数与一元二次方程及简单应用（解析版·教师用） 沪教版五四学制 · 2024新课标 · 九年级上册 第27章 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 8 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 1. 解方程 x² − 5x + 6 = 0，得 x₁ = 2，x₂ = 3。 答案：(x − 2)(x − 3) = 0，x₁ = 2、x₂ = 3。 2. 抛物线 y = x² + 2x − 8 与 x 轴的交点坐标是(−4, 0)和(2, 0)。 答案：令 y = 0：x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2) = 0，x = −4 或 2。 3. 抛物线 y = x² − 6x + 9 与 x 轴有1个交点，交点坐标是(3, 0)。 答案：y = (x − 3)²，Δ = 0，有 1 个交点 (3, 0)。 4. 抛物线 y = −x² + 4 与 x 轴的交点坐标是(−2, 0)、(2, 0)。 答案：令 y = 0：x² = 4，x = ±2。 5. 若抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 (−1, 0) 与 (2, 0)，则 b = −1，c = −2。 答案：y = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2，b = −1、c = −2。 6. 关于 x 的方程 x² − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是m < 1。 答案：Δ = 4 − 4m > 0 ⇒ m < 1。 7. 抛物线 y = x² + 2x − 3 与 x 轴交于 (−3, 0)、(1, 0)，当 −3 < x < 1 时 y <0。 答案：开口向上，两根之间 y < 0。 8. 抛物线 y = x² − 4x + 5 与 x 轴的交点个数是0 个。 答案：Δ = 16 − 20 = −4 < 0，没有交点。 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解二次函数与一元二次方程的联系：抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根 ★★★ 2 会利用图像求一元二次方程的近似根，能由图像读出 y>0 / y<0 时 x 的范围 ★★★ 3 会用交点式 y=a(x−x₁)(x−x₂) 求二次函数解析式（含两根 + 第三点） ★★ 4 能运用二次函数的性质解决简单的最值与实际应用问题 ★★ ⭐ 学习重点 抛物线与 x 轴交点与方程根的互化；用图像求近似根；交点式求解析式。 🔥 学习难点 图像法精确度控制（精确到 0.1）；含参 Δ 讨论；由交点判 y 正负范围；交点式 + 第三点定 a。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 知识点 01 抛物线与 x 轴的交点 ⇔ 一元二次方程的根 抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的______坐标，就是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的______；反之亦然。 （答案：横；根 方程 ax² + bx + c = 0 的判别式 Δ = b² − 4ac：Δ > 0 时方程有______个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有______个交点；Δ = 0 时有______个实数根，抛物线与 x 轴有______个交点（顶点在 x 轴上）；Δ < 0 时方程______实数根，抛物线与 x 轴______交点。 （答案：两；两；两相等；一；没有；没有 🔑 知识点 02 由图像读函数值的正负 若抛物线 y = ax² + bx + c（a > 0）与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)（x₁ < x₂），则当 x₁ < x < x₂ 时 y ______0；当 x < x₁ 或 x > x₂ 时 y ______0。当 a < 0 时，结论______。 （答案：<；>；相反 🔑 知识点 03 交点式求解析式 若抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)，则可设其解析式为 y = a(______)(______)，再代入图像上另一点求出 a。 （答案：x−x₁；x−x₂ 🔑 知识点 04 用图像求方程的近似根 求一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的近似根（精确到 0.1），可先画对应二次函数 y = ax² + bx + c 的图像，读出抛物线与 x 轴______的横坐标；如仍不易读取，可______后取近似值。 （答案：交点；列表描点逐步逼近 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型 1 交点与方程的根（互化） 例题 1 求抛物线 y = x² + x − 6 与 x 轴的交点坐标，并说出方程 x² + x − 6 = 0 的根。 解析：令 y = 0：x² + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = −3 或 2。抛物线与 x 轴的交点为 (−3, 0) 与 (2, 0)；方程的两个根为 x₁ = −3、x₂ = 2。 例题 2 已知方程 x² − 2x − 8 = 0 的两根为 −2 和 4，写出抛物线 y = x² − 2x − 8 与 x 轴的交点，并求其对称轴。 解析：两交点为 (−2, 0) 与 (4, 0)；对称轴为两交点横坐标的中点 x = = 1。 变式 1 求抛物线 y = −x² + 6x − 5 与 x 轴的交点坐标。 解析：−x² + 6x − 5 = 0 → x² − 6x + 5 = 0 → (x − 1)(x − 5) = 0 → x = 1 或 5。交点 (1, 0) 与 (5, 0)。 变式 2 已知抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 (−1, 0) 与 (2, 0)，求 b、c。 解析：设交点式 y = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2，所以 b = −1、c = −2。 变式 3 二次函数 y = ax² + bx + c 的顶点在 x 轴上，且 a = 3，顶点横坐标为 2，写出其解析式。 解析：顶点在 (2, 0)，故 y = 3(x − 2)² = 3x² − 12x + 12。 📌 题型 2 判别式与交点个数（含参数讨论） 例题 3 抛物线 y = x² − 3x + m 与 x 轴交点的个数随 m 变化，请就 m 的取值范围说明。 解析：Δ = (−3)² − 4m = 9 − 4m。当 m < 时 Δ > 0，有两个交点；m = 时 Δ = 0，有一个交点；m > 时 Δ < 0，没有交点。 例题 4 不解方程，判断抛物线 y = x² + 2x + 2 与 x 轴的交点个数。 解析：Δ = 4 − 8 = −4 < 0，抛物线与 x 轴没有交点（且 a > 0 恒在 x 轴上方）。 变式 1 抛物线 y = 4x² − 4x + 1 与 x 轴的交点有几个？写出交点坐标。 解析：Δ = 16 − 16 = 0，有 1 个交点。令 y = 0：4(x − )² = 0 → x = ，交点 (, 0)。 变式 2 求证：抛物线 y = x² − 2x + 5 与 x 轴没有交点，且图像全部在 x 轴上方。 解析：Δ = 4 − 20 = −16 < 0，故与 x 轴没有交点；又 a = 1 > 0 开口向上，所以图像全部在 x 轴上方。 变式 3 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向上，与 x 轴的两个交点分居 y 轴两侧（即一左一右），则 c______0。 解析：两交点分居 y 轴两侧 ⇒ 一个为正、一个为负；开口向上且在 x 轴下方穿过 0 ⇒ 代入 x = 0，y(0) = c < 0，所以 c < 0。 📌 题型 3 由图像读 y 的正负范围 例题 5 已知二次函数 y = x² − 4x − 5 的图像如图所示。（1）当 x 为何值时 y = 0？（2）当 x 在什么范围内时 y < 0？（3）y > 0 呢？ 解析：（1）y = 0 时 x = −1 或 5；（2）由图 −1 < x < 5 时 y < 0；（3）x < −1 或 x > 5 时 y > 0。 图2 y=x²−4x−5 的图像 例题 6 二次函数 y = −x² + 4x + 12 的图像与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧）。当 x 在什么范围内时 y > 0？y < 0 呢？ 解析：y = −(x − 6)(x + 2)，交 (−2, 0)、(6, 0)。开口向下，y > 0 时 −2 < x < 6；y < 0 时 x < −2 或 x > 6。 变式 1 抛物线 y = 2x² − 4x − 6 与 x 轴交于 A(−1, 0)、B(3, 0)。当 x 取何值时 y < 0？ 解析：开口向上，交点 −1 与 3 之间在 x 轴下方，所以当 −1 < x < 3 时 y < 0。 变式 2 若抛物线 y = −x² + x − 2 与 x 轴没有交点，则对任意实数 x，y 的值都______0。 解析：a = −1 < 0 开口向下且无交点 ⇒ 图像在 x 轴下方，y 恒 < 0。 📌 题型 4 用图像求方程的近似根（图像法） 例题 7 利用函数图像求方程 x² − 2x − 2 = 0 的根（结果精确到 0.1）。 解析：由 y = x² − 2x − 2 的图像，抛物线与 x 轴两交点横坐标约为 −0.7 与 2.7，故原方程的两近似根为 x₁ ≈ −0.7、x₂ ≈ 2.7。检验：x = 2.7 时 7.29 − 5.4 − 2 ≈ −0.11，x = 2.73 时 7.45 − 5.46 − 2 ≈ −0.01。 图3 y=x²−2x−2 的图像 变式 1 判断 x = 2.4 是不是方程 x² − 2x − 1 = 0 的近似根（精确到 0.1）。 解析：代入：2.4² − 2×2.4 − 1 = 5.76 − 4.8 − 1 = −0.04，与 0 非常接近，所以 x = 2.4 是该方程在 0.1 精度下的一个近似根（实际 ≈ 2.414）。 变式 2 抛物线 y = x² − 4x + 2 与 x 轴交点的横坐标各介于哪两个连续整数之间？ 解析：y(0) = 2 > 0，y(1) = −1 < 0，故一根在 0 与 1 之间；y(3) = −1 < 0，y(4) = 2 > 0，故另一根在 3 与 4 之间。 📌 题型 5 用交点式求解析式 例题 9 已知抛物线与 x 轴交于 (−2, 0) 与 (1, 0)，且过点 (0, −4)，求它的解析式。 解析：设 y = a(x + 2)(x − 1)。代入 (0, −4)：a × 2 × (−1) = −2a = −4 ⇒ a = 2。解析式为 y = 2(x + 2)(x − 1) = 2x² + 2x − 4。 例题 10 抛物线与 x 轴交于 (−3, 0) 与 (1, 0)，且过点 (0, 6)，求它的解析式。 解析：设 y = a(x + 3)(x − 1)。代入 (0, 6)：a × 3 × (−1) = −3a = 6 ⇒ a = −2。解析式为 y = −2(x + 3)(x − 1) = −2x² − 4x + 6。 变式 1 抛物线 y = x² + bx + c 经过点 (1, 0)，且对称轴为 x = 3，求 b、c 及它与 x 轴的另一个交点。 解析：对称轴为 x = 3，一根 x = 1 ⇒ 另一根 2×3 − 1 = 5。y = (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5，故 b = −6、c = 5，另一交点 (5, 0)。 变式 2 抛物线与 x 轴交于 (1, 0) 与 (7, 0)，且顶点纵坐标为 −9，求它的解析式。 解析：设 y = a(x − 1)(x − 7)。顶点 x = 4，y(4) = a × 3 × (−3) = −9a = −9 ⇒ a = 1。解析式 y = (x − 1)(x − 7) = x² − 8x + 7。 📌 题型 6 简单应用（最值与抛物线形几何） 例题 11 用总长 40 m 的篱笆围成一个矩形养鸡场（一面靠足够长的墙），设垂直于墙的一边长为 x m，面积为 S m²。（1）写出 S 关于 x 的函数解析式与 x 的取值范围；（2）x 取何值时 S 最大？最大面积是多少？ 解析：（1）平行于墙的一边长 = 40 − 2x m，故 S = x(40 − 2x) = −2x² + 40x（0 < x < 20）。 （2）配方 S = −2(x − 10)² + 200，所以当 x = 10 m 时 S 取最大值 200 m²。 图4 左：矩形苗圃实景　右：面积函数模型 变式 1 若例 11 中墙长只有 12 m，其他条件不变，求此时的最大面积及对应的 x。 解析：平行于墙的一边长 40 − 2x ≤ 12 ⇒ x ≥ 14。S = −2(x − 10)² + 200 在 x ≥ 14 上单调递减，故 x = 14 m 时 S 最大，S = 14 × 12 = 168 m²。 变式 2 某拱桥可视为一段抛物线。以拱顶为原点、水平方向为 x 轴、竖直向下为 y 轴的正方向建立坐标系，桥拱方程为 y = （单位 m）。当水面距拱顶 4 m 时，水面宽度是多少 m（精确到 0.1）？若水位下降 2 m（即距拱顶 6 m），水面宽度变为多少 m（精确到 0.1）？ 解析：水面距拱顶 4 m 时 y = −4 ⇒ x² = 32 ⇒ x = ±4√2，水面宽 8√2 ≈ 11.3 m。 水位下降 2 m 后 y = −6 ⇒ x² = 48 ⇒ x = ±4√3，水面宽 8√3 ≈ 13.9 m。 ✅ 出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 8 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 1. 抛物线 y = x² − 6x + 8 与 x 轴交点横坐标为 2 和 4，则方程 x² − 6x + 8 = 0 的根为x₁ = 2，x₂ = 4。 答案：交点横坐标即为方程的根。 2. 若二次函数 y = x² + 4x + k 的图像与 x 轴只有一个交点，则 k = 4。 答案：Δ = 16 − 4k = 0 ⇒ k = 4。 3. 抛物线 y = x² + 2x − 3 与 x 轴交于 A、B（A 在 B 左侧），A 点坐标为(−3, 0)，当 x 在−3 < x < 1范围内时 y < 0。 答案：A(−3, 0)、B(1, 0)，开口向上，−3 < x < 1 时 y < 0。 4. 已知抛物线与 x 轴交于 (−2, 0)、(4, 0)，且过点 (0, −8)，则其解析式为y = x² − 2x − 8。 答案：设 y = a(x + 2)(x − 4)，代入 (0, −8)：−8a = −8 ⇒ a = 1，y = x² − 2x − 8。 5. 二次函数 y = x² − 2x + 3 的图像与 x 轴的交点个数是0个，且对任意 x，y 的值都>0。 答案：Δ = 4 − 12 = −8 < 0 无交点；a > 0 恒 > 0。 6. 用图像法估计：方程 x² − 2x − 1 = 0 在 2 与 3 之间的根约为2.4（精确到 0.1）。 答案：根 1 + √2 ≈ 2.414，精确到 0.1 取 2.4。 7. 抛物线 y = ax² + bx + c 开口向下，与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)，且 x₁ < 0 < x₂，则当 x₁ < x < x₂ 时 y >0。 答案：开口向下且两交点之间在 x 轴上方 ⇒ y > 0。 8. 用 24 m 长的篱笆围一个矩形花圃（一面靠足够长的墙）。设垂直于墙的一边长为 x m，则当 x = 6时面积最大，最大面积为72m²。 答案：S = x(24 − 2x) = −2x² + 24x = −2(x − 6)² + 72，x = 6 时 S 最大 72。 🏠 课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 5 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 求抛物线 y = −x² + 5x − 6 与 x 轴的交点坐标，并写出对应方程 −x² + 5x − 6 = 0 的根。 答案：−x² + 5x − 6 = 0 ⇒ x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 或 3。交点 (2, 0) 与 (3, 0)，方程的两根为 x₁ = 2、x₂ = 3。 2. 若抛物线 y = x² − 2x + m 与 x 轴没有交点，求 m 的取值范围。 答案：Δ = 4 − 4m < 0 ⇒ m > 1。 3. 抛物线与 x 轴交于 (−3, 0) 与 (1, 0)，且过点 (0, −6)，求它的解析式。 答案：设 y = a(x + 3)(x − 1)，代入 (0, −6)：a × 3 × (−1) = −3a = −6 ⇒ a = 2。解析式 y = 2(x + 3)(x − 1) = 2x² + 4x − 6。 4. 抛物线 y = x² + x − 2 与 x 轴交于 A(−2, 0)、B(1, 0)。当 x 取何值时 y ≥ 0？ 答案：开口向上，y ≥ 0 时 x ≤ −2 或 x ≥ 1。 5. 某商店销售一种进价每件 20 元的商品，按 30 元/件销售时每月可卖出 200 件；销售单价每上涨 1 元，每月少卖 10 件。设每件上涨 x 元，月利润为 y 元。（1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）售价定为多少元时利润最大？最大月利润是多少元？ 答案：（1）y = (30 + x − 20)(200 − 10x) = (10 + x)(200 − 10x) = −10x² + 100x + 2000。 （2）配方 y = −10(x − 5)² + 2250，所以当 x = 5（即售价 35 元）时利润最大，最大月利润 2250 元。 学科网（北京）股份有限公司 $