专题27.4 二次函数与一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，系统梳理抛物线与坐标轴交点坐标的求法、交点个数的判定（基于判别式△），以及利用函数图像估算方程根和求不等式解集，构建从具体计算到图像应用的递进学习支架。 该资料通过知识点分层与题型分类（如判定交点个数、求交点坐标等）设计，结合“即学即练”与变式训练，以几何直观帮助学生通过图像理解代数关系，培养抽象能力与推理意识。课中助力教师高效授课，课后学生可通过练习题巩固，查漏补缺。

专题27.4 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 2. 掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 3. 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根，求不等式的解集； 教学重难点 重点： 1.掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 难点： 1. 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 知识点01 抛物线与x轴的交点 1. 求抛物线与坐标轴的交点坐标 ①求抛物线与y轴的交点坐标 令x=0，y=c⇒抛物线与y轴交点为（0，c） ②求抛物线与x轴的交点坐标 令y=0，=0求得方程两根为⇒抛物线与x轴交点为A（）、B（0） 2. 抛物线与x轴的交点的个数 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:A（）、B（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 3. 抛物线与x轴的交点的距离 抛物线y=与x轴有两个交点为A（）、B（0），则AB=|-|= 4. 抛物线的交点式—— 5. 抛物线与一次函数图像的交点坐标 抛物线y=与一次函数y=kx+b有两个交点为A（）、B（） 其中为一元二次方程=kx+b的两个根. 【易错点睛】 “抛物线与坐标的交点个数”与“抛物线与x轴交点个数”不能混淆； 【即学即练】 1. 将二次函数的图象向上平移a个单位长度，当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为________． 知识点02 利用二次函数图像解一元二次方程与一元二次不等式 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 （以a>0为例） 一元二次方程 =0 为一元二次方程的两个根 一元二次方程有两个重根 一元二次方程 没有实数根 一元二次不等式 >0 不等式的解集为x< 不等式的解集为 x 不等式的解集为 x为任意数 一元二次不等式 <0 不等式的解集为 不等式的解集为 空集 不等式的解集为 空集 题型01 判定抛物线与x轴交点的个数 【典例1】关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．与坐标轴只有两个交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【变式1】抛物线与轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【变式3】若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 【变式4】二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 题型02 求抛物线与x轴的交点坐标 【典例1】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 【变式1】抛物线与轴的交点坐标是____． 【变式2】二次函数图象与轴的交点坐标为_________． 【变式3】．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【变式4】已知二次函数． (1)当二次函数图象截x轴的线段被y轴平分时． ①求b的值； ②已知二次函数与二次函数的形状相同，且最低点为，求二次函数的图象截x轴的线段长度； (2)已知直线在二次函数图象的顶点上方，求二次函数的顶点到直线距离的最小值； 题型03 抛物线与一次函数图像的交点坐标 【典例1】已知一次函数的图象经过点．    (1)求的值； (2)求一次函数与二次函数的图象的交点坐标． 【变式1】如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)填空：______，______； (2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； 【变式2】我们约定：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数和一次函数互为“息息相关”函数，这两个交点称为两个函数的“相关点”．根据约定，解答下列问题： (1)判断函数与是否是互为“息息相关”函数，如果是，求出其“相关点”． (2)函数（为常数且的图象与轴交于点，其“息息相关”函数与轴的另一交点为点，若，求的值； 【变式3】如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．    (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 【变式4】如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 题型04 求抛物线与直线之间截线的长度 【典例1】已知，如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点O作直线l与此二次函数的图像在第一象限相交于D、E两点（点E在点D的右边）．    (1)若点，求二次函数的解析式及其顶点的坐标； (2)求线段的长； (3)在（1）的条件下，若，求直线l的解析式； 【变式1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． 若抛物线经过点，求实数、b的值； 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 题型05 利用抛物线求一元二次方程的根（或求近似根） 【典例1】 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【变式1】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ）　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【变式3】方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4】函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 题型06 利用抛物线解一元二次不等式 【典例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式3】二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式4】如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 1．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴上 B．当时，函数值y随x的增大而减小 C．若，则函数一定有最大值是9 D．抛物线与x轴的交点坐标是和 4．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（   ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．抛物线与x轴两交点之间的距离为 D．若当时， 5．m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 6．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则关于x的方程的解为____________． 7．已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 8．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 9．如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 10．二次函数的图象与直线交于点. (1)求、的值； (2)指出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出二次函数中，当时，的取值范围. 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 4．二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 5．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 6．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． (1)求抛物线的解析式； (2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 8．二次函数图象上部分点的横坐标．纵坐标的对应值如表： … 0 1 … … 5 0 0 … (1)求该二次函数解析式； (2)若将此二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，求的值． 9．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； 10．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 11．已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 12．已知平面直角坐标系，抛物线交轴正半轴于点，将它向上平移个单位后新的抛物线交轴正半轴于点、（在左侧），交轴于点． (1)如图1，如果，求平移后抛物线的表达式； (2)如图2，在（1）的条件下连接交抛物线对称轴于点，直线交原抛物线于点， 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.4 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 2. 掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 3. 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根，求不等式的解集； 教学重难点 重点： 1.掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 难点： 1. 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 知识点01 抛物线与x轴的交点 1. 求抛物线与坐标轴的交点坐标 ①求抛物线与y轴的交点坐标 令x=0，y=c⇒抛物线与y轴交点为（0，c） ②求抛物线与x轴的交点坐标 令y=0，=0求得方程两根为⇒抛物线与x轴交点为A（）、B（0） 2. 抛物线与x轴的交点的个数 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:A（）、B（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 3. 抛物线与x轴的交点的距离 抛物线y=与x轴有两个交点为A（）、B（0），则AB=|-|= 4. 抛物线的交点式—— 5. 抛物线与一次函数图像的交点坐标 抛物线y=与一次函数y=kx+b有两个交点为A（）、B（） 其中为一元二次方程=kx+b的两个根. 【易错点睛】 “抛物线与坐标的交点个数”与“抛物线与x轴交点个数”不能混淆； 【即学即练】 1. 将二次函数的图象向上平移a个单位长度，当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为________． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程， 将二次函数的图像向上平移a个单位长度得，再根据抛物线与y有一个交点，可知抛物线与x轴只有一个交点，即可得；当抛物线与x轴有两个交点，且有一个交点为原点符合题意，分别求出答案即可. 【详解】解：∵将二次函数的图像向上平移a个单位长度得， ∴抛物线的开口向上， 当抛物线与y有一个交点，则抛物线与x轴只有一个交点， 即， 解得； 当抛物线与x轴有两个交点，且有一个交点为原点时， ∴， 解得. 当抛物线与两坐标轴有且只有2个交点时，a的值为3或7. 故答案为：3或7. 知识点02 利用二次函数图像解一元二次方程与一元二次不等式 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 （以a>0为例） 一元二次方程 =0 为一元二次方程的两个根 一元二次方程有两个重根 一元二次方程 没有实数根 一元二次不等式 >0 不等式的解集为x< 不等式的解集为 x 不等式的解集为 x为任意数 一元二次不等式 <0 不等式的解集为 不等式的解集为 空集 不等式的解集为 空集 题型01 判定抛物线与x轴交点的个数 【典例1】关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．与坐标轴只有两个交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．通过将抛物线化为顶点式，判断其开口方向、对称轴、增减性及与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∵△=0， ∴二次项系数图像与轴有一个交点； 令，得， ∴二次项系数图像与轴有一个交点， ∴与坐标轴有两个交点，B正确； 对称轴为，C正确； ∵开口向上，对称轴， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 故选：D． 【变式1】抛物线与轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．通过计算一元二次方程的判别式，判断抛物线与x轴的交点个数，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的实数根， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故抛物线与x轴有2个交点， 故选：C． 【变式2】若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 【变式3】若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得． 故答案是：． 【变式4】二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵ ∴，②说法不正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴，即，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，⑤说法不正确； 故答案为①③④． 题型02 求抛物线与x轴的交点坐标 【典例1】二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 设另一个交点的坐标为，先求出二次函数的对称轴，再根据对称性即可得． 【详解】解：设另一个交点的坐标为， ∵二次函数的对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， 则另一个交点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】抛物线与轴的交点坐标是____． 【答案】， 【分析】令，解关于的一元二次方程，即可得到答案； 【详解】解：令，则： 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标是，； 故答案为：， ． 【变式2】二次函数图象与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【分析】令，解方程即可求解． 【详解】解：令，得， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【变式3】．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）当时，，解得，，即可作答． （3）运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为； （3）解：∵中的 ∴开口向上， 由（2）得抛物线与x轴的交点坐标分别为； 当时，x的取值范围为． 【变式4】已知二次函数． (1)当二次函数图象截x轴的线段被y轴平分时． ①求b的值； ②已知二次函数与二次函数的形状相同，且最低点为，求二次函数的图象截x轴的线段长度； (2)已知直线在二次函数图象的顶点上方，求二次函数的顶点到直线距离的最小值； 【答案】(1)①0；② (2)2 【分析】（1）①根据题意得：，即可求解；②根据二次函数与二次函数的形状相同，可得a=1，再把最低点代入，可得抛物线解析式为，从而得到二次函数与x轴交于点和，即可求解； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，可得二次函数的顶点到直线距离为，即可求解； 【详解】（1）解：①∵二次函数图象截x轴的线段被y轴平分， ∴二次函数图象的对称轴为y轴，即， ∴b=0； ②∵二次函数与二次函数的形状相同， ∴a=1， ∵最低点为， ∴抛物线解析式为， 令y2=0，则， 解得：， 即二次函数与x轴交于点和， ∴二次函数的图象截x轴的线段长度； （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵直线在二次函数图象的顶点上方， ∴二次函数的顶点到直线距离为， ∴当b=-2时，二次函数的顶点到直线距离最小，最小值为2； 题型03 抛物线与一次函数图像的交点坐标 【典例1】已知一次函数的图象经过点．    (1)求的值； (2)求一次函数与二次函数的图象的交点坐标． 【答案】(1)4 (2)和 【分析】（1）把代入得，进行计算即可得到答案； （2）联立，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：； （2）解：联立得：， 整理得：， 解得：，， 方程组的解为：或， 交点坐标为：和． 【变式1】如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)填空：______，______； (2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一次函数的解析式转化为：，得到直线恒过点，根据抛物线也过点，即可得证； 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：． 故答案为：； （2）解法一：由（1）知：， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 又∵当时，， ∴抛物线也过点； ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； 解法二：由题意得 所以， 整理得，0 因为无论m为何值，都大于等于零。 ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； 【变式2】我们约定：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数和一次函数互为“息息相关”函数，这两个交点称为两个函数的“相关点”．根据约定，解答下列问题： (1)判断函数与是否是互为“息息相关”函数，如果是，求出其“相关点”． (2)函数（为常数且的图象与轴交于点，其“息息相关”函数与轴的另一交点为点，若，求的值； 【答案】(1)与是互为息息相关函数；与； (2)，； 【分析】（）分别求出两个函数与，轴交点坐标即可求解； （）函数的图象与轴交于点，则点，由，则点或，再分类求解即可； 【详解】（1）∵函数与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 函数与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， ∴与是互为“息息相关”函数， “相关点”为与； （2）令，得， 解得：，则， 令，得， ∴函数（为常数且）的图象与轴交于点， ∵其“息息相关”函数过点， ∴，且， ∴，即， ，设，则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，代入， ∴或； 【变式3】如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．    (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）把代入，求出自变量的值，即可得出点B的坐标； （2）根据点A和点B的坐标，求出，再用待定系数法求出一次函数的表达式，进而求出点C的坐标，最后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∵A在B的左侧， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数表达式为， 联立一次函数和二次函数表达式得： ，解得：或， ∴， ∴． 【变式4】如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． 【详解】（1）解：将，代入，得 解得，，故抛物线表达式为． （2）解：联立，得， 因直线与抛物线只有一个交点，故， 整理得， 解得． 题型04 求抛物线与直线之间截线的长度 【典例1】已知，如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点O作直线l与此二次函数的图像在第一象限相交于D、E两点（点E在点D的右边）．    (1)若点，求二次函数的解析式及其顶点的坐标； (2)求线段的长； (3)在（1）的条件下，若，求直线l的解析式； 【分析】（1）将点代入得到，求出a的值，即可求出二次函数解析式，然后将解析式配方成顶点式即可求出顶点坐标； （2）令，得到，求得，得到点A和点B的坐标，即可求出线段的长； （3）作轴于点N，作轴于点M，设直线l的解析式为，将直线与抛物线联立整理得，，，因为进而得到，然后代入求出，然后代入即可求解． 【详解】（1）将代入得，， ∴解得， ∴二次函数， ∴， ∴顶点坐标为； （2）当时，， ∴解得， ∴，， ∴； （3）如图所示，作轴于点N，作轴于点M，    设直线l的解析式为， ∴联立直线与抛物线得，，即， ∴整理得， ∴，， ∵，， 易知，即， ∴将代入得，， ∴解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴解得， ∴直线l的解析式． 【变式1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：解法一：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 解法二：根据题意，得 则AB= 故， 故选：C． 【变式2】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 【变式3】已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． 若抛物线经过点，求实数、b的值； 【答案】,b=-2,或b=6 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． 将点代入即可求解．分别求出，结合即可求出b． 【详解】解：将点代入得， 解得：． 当时，， 解得：， =； 当时，，解得：， ， ， ， ， 解之得，b=-2,或b=6. 【点睛】求AB、CD的距离也可以使用根与系数的关系。 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)的面积为1 (3)或 【分析】对于，将点A和点B坐标代入求解即可； 对于，当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称，可得点，进而即可得解； 对于，过点B作轴交抛物线于点E，则，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，即时，②当点P在点C和点E之间时，即时，③当点P在点E下方时，即时，据此求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解得 该抛物线的解析式为； （2）解：由知，， 点C的坐标为， 当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称， 点， ，点C到PB的距离为1， ， 的面积为1； （3）解：过点B作轴交抛物线于点E，如图所示： 此时点E与点B关于对称轴直线对称，， ①当点P在点B和点C之间时，即时， ，， ， ， 解得不合题意； ②当点P在点C和点E之间时，即时， ，， 符合题意， ； ③当点P在点E下方时，即时，， ， ， ， 或， 解得或或， ， ； 综上所述，m的取值范围为或 题型05 利用抛物线求一元二次方程的根（或求近似根） 【典例1】 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 【变式1】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ）　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标， 结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式2】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【变式3】方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】逐项分析即可． 【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确； C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 【变式4】函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 题型06 利用抛物线解一元二次不等式 【典例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【变式1】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【变式2】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式3】二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 【变式4】如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 1．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 2．二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】由交点式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴即可． 【详解】解：， 令，即， 解得： 函数图象与轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，掌握由交点式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键． 3．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴上 B．当时，函数值y随x的增大而减小 C．若，则函数一定有最大值是9 D．抛物线与x轴的交点坐标是和 【答案】B 【分析】利用抛物线的图象与性质、抛物线与坐标轴的交点可分别对各个选项作出判断，从而确定答案． 【详解】解：A、由于，所以抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴上，故本选项不符合题意． B、由于的开口方向向下，对称轴是直线，所以当时，函数值y随x的增大而减小，故本选项符合题意． C、由于的顶点坐标是，且开口方向向下，所以当时，函数一定有最大值是9，故本选项不符合题意． D、由于，所以抛物线与x轴的交点坐标是和，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点等知识，熟练掌握这些知识是关键． 4．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（   ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．抛物线与x轴两交点之间的距离为 D．若当时， 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．利用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：由表格知二次函数的图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 当时，，解得，， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值为， 当时，， 抛物线与x轴两交点之间的距离为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 5．m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键．m是抛物线与x轴交点的横坐标，即m是方程的根，由方程可直接得出的值． 【详解】解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根，即， ∴． 故答案为：2． 6．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则关于x的方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数与x轴交点的横坐标的值等于对应的一元二次方程的解；根据抛物线的对称轴，求出抛物线与x轴另一个交点，即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴另一个交点为， ∵方程的解为． 故答案为：． 7．已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据方程的两个根得到抛物线与轴的两个交点坐标，利用交点式，写出二次函数的解析式即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为1、， ∴的图象与与轴的两个交点坐标为，， ∴函数解析式可以为：． 故答案为：． 8．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 9．如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 【分析】本题考查求二次函数解析式，函数图象与x轴交点坐标的求法，函数图象的平移，关键是用待定系数法求函数表达式，再求与x轴的交点坐标，根据平移特点表示出平移后的坐标． （1）将点代入二次函数，求出b的值，进而表示出该二次函数的表达式； （2）令求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移特点写出平移后与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 原抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 二次函数图象沿x轴向右平移1个单位， 平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 10．二次函数的图象与直线交于点. (1)求、的值； (2)指出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出二次函数中，当时，的取值范围. 【答案】(1)， (2)顶点坐标，对称轴为直线 (3)或 【分析】本题考查了求一次函数，求二次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出的值，再把代入求出，即可作答． （2）理解，则顶点坐标，对称轴为直线； （3）由（2）得，令，则，解得，根据的开口方向向上，得出当时，的取值范围为或，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入，得， 则， 把代入， 得 解得； （2）解：由（1）得，则， ∴顶点坐标，对称轴为直线； （3）解：由（2）得， 其开口方向向上， 令，则， ∴， 解得， ∵的开口方向向上， ∴当时，的取值范围为或． 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 3．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 4．二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，   方程的负数解的取值范围是， 故选：B． 5．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 6．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， ， 故答案为：0． 7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． (1)求抛物线的解析式； (2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数最小值点在顶点处，结合顶点横坐标公式求出，再代入已知点求出，得到抛物线解析式； （2）利用交点横坐标满足抛物线方程，通过代数变形和整式乘法公式计算所求代数式的值即可. 【详解】（1）解：在抛物线中，， 故函数最小值在顶点处取得， 由题意得顶点横坐标为， ∴，即， 解得； 把点代入解析式得； 故抛物线解析式为； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，显然， 等式两边同时除以得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 8．二次函数图象上部分点的横坐标．纵坐标的对应值如表： … 0 1 … … 5 0 0 … (1)求该二次函数解析式； (2)若将此二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的平移问题，二次函数与x轴的交点问题，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）平移后的函数解析式为，平移后的函数图象与轴只有一个公共点，那么关于x的方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：设该二次函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴该二次函数解析式为； （2）解：将二次函数图象向上平移个单位后的函数解析式为， ∵将二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 9．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）先求出，再求得点到的距离为5，从而可求得的面积； （3）先得出抛物线的开口方向向下，最大值为5，再分别求出当、时的函数值，从而可确定的取值范围； 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； （2）∵令，即， 解得， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴点到的距离为5， ∴的面积是； （3）∵二次函数，二次项系数为，顶点坐标为， ∴抛物线的开口方向向下，最大值为5， 把代入， 得， 把代入， 得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； 10．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 【答案】(1)C (2)①；②，“二倍点”的坐标为 【分析】（1）根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案； （2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； （2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 11．已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 12．已知平面直角坐标系，抛物线交轴正半轴于点，将它向上平移个单位后新的抛物线交轴正半轴于点、（在左侧），交轴于点． (1)如图1，如果，求平移后抛物线的表达式； (2)如图2，在（1）的条件下连接交抛物线对称轴于点，直线交原抛物线于点， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对称轴及可得两点的坐标，进而可得解析式； （2） 先求DC的解析式，再求E点坐标，进而求得OE的解析式，从而求出F点坐标。 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∴平移后抛物线的解析式为：； （2）解：设直线CD的解析式为：+b， 则可得 解之得k=-1,b=3 所以，y=-x+3 但x=2时，y=1, 所以E（2，1） 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， 解得， 或（舍）， ∴. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $