甘肃兰州西北中学2025-2026学年高三第一学期第一次月考数学试题

2025～2026学年度第一学期第一次月考 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图像大致为 A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 6. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，部分选对得部分分，选错得0分．） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，，则 10. 已知是公比 的正项等比数列 的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 11. 设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为6 C. 存在直线，使得、两点关于对称 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若，则________． 13. 若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 14. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 四、解答题（共77分） 15. 如图，在三棱锥 中，平面 ，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角 的大小． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 17. 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分． （1）求随机变量分布列和数学期望； （2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求． 18. 已知在数列中，． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的前项和； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求面积的最大值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且 ，证明： . 2025～2026学年度第一学期第一次月考 一、单选题（每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（每小题6分，共18分，部分选对得部分分，选错得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【16题答案】 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【17题答案】 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2 （2） 【18题答案】 【答案】（1）由题意，，即 为等差数列：首项，公差； （2） 【19题答案】 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为； （2）证明：[方法一]：等价转化 由 得 ，即 ． 由，得． 由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ， ①令 ， 则 ， 当 时， ，在区间 内为减函数， ， 从而 ，所以 ， 由（1）得即．① 令 ，则 ， 当 时， ， 在区间 内为增函数， ， 从而 ，所以 ． 又由 ，可得 ， 所以 ．② 由①②得 ． [方法二]【最优解】： 变形为，所以． 令 ．则上式变为 ， 于是命题转换为证明： ． 令 ，则有 ，不妨设． 由（1）知 ，先证 ． 要证： ． 令 ， 则 ， 在区间 内单调递增，所以 ，即 ． 再证 ． 因为 ，所以需证 ． 令 ， 所以 ，故 在区间 内单调递增． 所以 ．故 ，即 ． 综合可知 ． [方法三]：比值代换 证明 同证法2．以下证明 ． 不妨设，则， 由 得 ，， 要证 ，只需证 ，两边取对数得 ， 即 ， 即证． 记 ，则. 记 ，则 ， 所以， 在区间内单调递减． ，则 ， 所以 在区间内单调递减． 由 得 ，所以 ， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以 ． 由（Ⅰ）知， ，只需证 ． 证明 同证法2． 再证明 ．令． 令 ，则 ． 所以 ， 在区间 内单调递增． 因为 ，所以，即 又因为 ，所以， 即 ． 因为，所以 ，即 ． 综上，有 结论得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $