26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，引导学生掌握抛物线的画法、开口方向、对称轴、顶点及增减性与最值。通过“知识链接”回顾旧知，如一次函数图象与性质、点到坐标轴距离，搭建新旧知识桥梁，为新知学习提供支架。 资料以“自主探究-合作交流-当堂检测”为主线，通过列表描点画图象培养几何直观，例题变式题发展推理意识，综合问题提升应用意识。注重实践操作与图象分析结合，帮助学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达，有效提升学习效率与核心素养。

第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象与性质（第2课时）——二次函数 y＝ax² 的图象和性质 【学习目标】 ① 会用列表、描点、连线的方法画出二次函数 y＝ax² 的图象，认识它是抛物线； ② 掌握 y＝ax² 的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及增减性与最值； ③ 能运用图象与性质比较函数值大小、求自变量的取值范围。 【学习重难点】 重点：y＝ax² 的图象特征与性质；a 的符号对开口方向与增减性的影响。 难点：结合图象分析增减性与最值；运用点到坐标轴的距离解决综合问题。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 画函数图象的一般步骤是：列表、________、连线。 2. 一次函数的图象是一条________；正比例函数图象经过________点。 3. 当 k>0 时，一次函数 y＝kx＋b 中 y 随 x 的增大而________；当 k<0 时 y 随 x 的增大而________。 4. 平面直角坐标系中，点(x，y)到 x 轴的距离是________，到 y 轴的距离是________。 5. 二次函数 y＝ax² 中，若 a>0，则抛物线开口向________；若 a<0，则开口向________。 【自主探究】 探究1　画图象、填表与三要素 在下表中填入 x＝－2，－1，0，1，2 时各函数的 y 值： 　　y＝x²：________，________，0，________，________； 　　y＝2x²：________，________，0，________，________； 　　y＝－x²：________，________，0，________，________； 　　y＝－2x²：________，________，0，________，________。 结论：二次函数 y＝a的图象是一条________线；开口方向由________的符号决定（a>0 向________，a<0 向________）；对称轴都是________轴；顶点都是（________，________）。 探究2　增减性与最值（结合图象填表） 　　a>0：当 x<0 时，y 随 x 的增大而________；当 x＝________时，y 取得最________值＝________；当 x>0 时，y 随 x 的增大而________。 　　a<0：当 x<0 时，y 随 x 的增大而________；当 x＝________时，y 取得最________值＝________；当 x>0 时，y 随 x 的增大而________。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 【例1】二次函数 y＝a的图象如图所示，则： 　　(1) a________0；(2) 开口向________；(3) 对称轴是________； 　　(4) 顶点坐标是（________，________）；(5) 当 x＝________时，y 的最________值＝________； 　　(6) 当 x<0 时，y 随 x 的增大而________。 【变式1】关于函数 y＝－的说法：①顶点(0,0)；②有最小值；③y 随 x 增大而增大；④点(2,－2)在图象上；⑤任一实数 y 都有两个 x 对应。其中正确的序号是________。 【例2】已知点(－1, y₁)，(－3, y₂)都在 y＝x² 的图象上，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系是 y₁________y₂。 【变式2】点 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)在 y＝－上，且 x₁>x₂>0，则 y₁________y₂。 【例3】已知 y＝－x²。(1) 当 1<x<2 时，y 的取值范围是________；(2) 当 －1≤x≤2 时，y 的最大值为________，最小值为________。 【变式3】已知 y＝x²。(1) 当 －2<x≤－1 时，y 的取值范围是________；(2) 当 －2≤x<3 时，y 的取值范围是________。 【当堂检测】 1. 已知二次函数 y＝(m－1)x² 的图象开口向下，则 m 的取值范围是 m________1。 2. 如图为 y＝mx² 的图象，则 m________0，抛物线开口________；对称轴是________；顶点坐标是（________，________）；在对称轴左侧 y 随 x 增大而________，右侧________；当________时，y 有最________值＝________。 3. 关于 y＝x²、y＝2x²、y＝的图象，下列说法不正确的是（　　）。A. 开口方向相同　B. 对称轴相同　C. 顶点相同　D. 形状相同 4. 关于函数 y＝－的图象，①是抛物线；②开口向下；③对称轴是 y 轴；④顶点(0,0)。其中正确的个数是（　　）。A. 1　B. 2　C. 3　D. 4 5. 已知函数 y＝－x² 的图象上有三点 A(－3,y₁)、B(－1,y₂)、C(2,y₃)，则 y₁,y₂,y₃ 的大小关系为（　　）。A. y₁>y₂>y₃　B. y₂>y₃>y₁　C. y₃>y₂>y₁　D. y₃>y₁>y₂ 6. 函数 y＝ax² 与 y＝－x－a 的图象可能是（　　）。（提示：由 a 的符号判断抛物线开口方向，由 y＝－x－a 的截距判断直线位置） 7. 如图，点 P 为抛物线 y＝x² 上任意一点，A(4,0)。(1) 若 OP＝AP，则点 P 的坐标为（________，________）；(2) 若 △POA 面积为 6，则点 P 的坐标为（________，________）或（________，________）。 【学习小结】 1. 研究二次函数图象与性质，要抓住三个要素：________、________、________。 2. 抛物线 y＝ax² 的对称轴左右两边增减性________（相同/相反），所以增减性问题要结合________来分析。 3. a 的符号决定开口________，|a| 决定开口的________（|a| 越大，开口越________）。 【拓展延伸】 思考：① y＝ax² 与 y＝bx²（a、b 同号）的形状是否相同？② 把 y＝x² 横向拉宽得到 y＝，说明 |a| 越________开口越宽。请结合列表数值说明理由。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. 描点。 2. 直线；原。 3. 增大；减小。 4. |y|；|x|。 5. 上；下。 二、自主探究 探究1 填表：y＝x²：4，1，0，1，4；y＝2x²：8，2，0，2，8；y＝－x²：－4，－1，0，－1，－4；y＝－2x²：－8，－2，0，－2，－8。 　　 结论：抛物；a；上；下；y；(0,0)。 探究2 a>0：减小；0；小；0；增大。a<0：增大；0；大；0；减小。 三、合作交流 例1：(1) >；(2) 上；(3) y轴；(4) (0,0)；(5) 0，小，0；(6) 减小。 变式1：①④（②应为最大值；③开口向下，x>0时减小；⑤y>0时无解）。 例2：y₁<y₂（x=－1→1，x=－3→9）。 变式2：y₁<y₂（a<0，x>0时y随x增大而减小，x₁>x₂⇒y₁<y₂）。 例3：(1) －4<y<－1；(2) 最大值0，最小值－4。 变式3：(1) 1≤y<4；(2) 0≤y<9。 四、当堂检测 1. m<1（m－1<0）。 2. m<0；向下；y轴；(0,0)；增大；减小；x＝0；大；0。 3. D（a不同则开口大小即形状不同）。 4. D（4个都正确）。 5. B（y₂=－1>y₃=－4>y₁=－9）。 6. C（a>0时抛物线向上、直线 y=－x－a 过(0,－a)且下降；a<0时抛物线向下、直线上升；综合选C）。 7. (1) P(2,4)（OP²=AP²⇒p²=(p－4)²⇒p=2）；(2) P(,3)或P(－,3)（面积=½×4×p²=6⇒p²=3）。 五、学习小结 1. 开口方向；对称轴；顶点坐标。 2. 相反；图象。 3. 方向；宽窄；窄。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $