26.1 二次函数的概念 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数概念第1课时，核心内容包括理解二次函数定义、列关系式及确定自变量取值范围。课堂导入通过知识链接回顾一次函数、矩形边长关系等旧知，搭建新旧知识支架，引导学生从已学函数自然过渡到二次函数学习。 资料以自主探究结合合作交流为特色，通过典型例题训练二次函数识别、含参数判定及实际情境建模，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识，助力学生用数学思维分析问题，提升课堂效率与自主学习能力。

第二十六章　二次函数　26.1 二次函数的概念（第1课时） 【学习目标】 ① 理解二次函数的概念，能识别形如 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的二次函数； ② 掌握根据实际情境列出二次函数关系式的方法； ③ 会求二次函数自变量的取值范围（整式、分母不为零、根号内非负、结合实际意义）。 【学习重难点】 重点：二次函数的概念识别；由实际问题列出二次函数关系式。 难点：含参数二次函数中“二次项系数不为0”的判定；结合具体情境确定自变量取值范围。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 用 10 m 长的绳子围成一个矩形，一边长为 y，另一边长为 x，则 y 与 x 的关系式为 y＝________（即 y＝5－x）。 2. 一般地，在一个变化过程中，如果有________个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有________的值与其对应，那么 x 是自变量，y 是 x 的函数。 3. 一次函数：形如 y＝________（k，b 是常数，且 k________0）的函数；当 b＝0 时，即 y＝________，叫正比例函数。 4. 正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y＝________（即 y＝6x²）。 5. n 个球队参加比赛，每两队之间赛一场，比赛场次数 m 与球队数 n 的关系式为 m＝________（即 m＝½n²－½n）。 【自主探究】 探究1　二次函数的概念 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　）。 　　A. y＝－4x＋5　B. y＝x(x－3)　C. y＝(x＋4)²－x²　D. y＝1/ 　　（提示：先把各选项化为最简形式，再看是否为____次____式，且二次项系数____0。化简后 C 为________，故不是二次函数；正确选项为________。） 【变式1】在下列函数关系中，不是二次函数的是（　　）。 　　A. y＝6x²　B. y＝1－　C. y＝x(x－2)　D. y＝2x²＋x³ 　　（D 的最高次项是________，是三次函数，故不是二次函数；答案为________。） 一般地，形如 y＝________（a，b，c 是常数，a________0）的函数叫做二次函数。其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的________、________和________。 探究2　函数自变量的取值范围 【例3】(1) 函数 y＝3＋x－2中，自变量 x 的取值范围是________； 　　(2) 函数 y＝中，自变量 x 的取值范围是（　　）。A. x≥1　B. x≥0　C. x≤0　D. x≤1 　　（根式要求被开方数________0，故 x－1≥0，即 x≥1，答案为________。） 【变式3】(1) 函数 y＝x² 的自变量 x 的取值范围是________； 　　(2) 函数 y＝的自变量 x 的取值范围是________。 　　（分母含根号要求根号内________且分母________0，综合得 x－1>0，即________。） 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 【例2】若函数 y＝（m－1）－3x＋4是二次函数，则 m≠________，n＝________。 　　（二次函数要求含 x² 项且二次项系数不为0：故 n＝________且 m－1________0，即 m≠________。） 【变式2】已知函数 y＝（m＋3）＋1是二次函数，则 m 的取值范围为（　　）。A. m>－3　B. m<－3　C. m≠－3　D. 任意实数 　　（只需二次项系数 m＋3________0，即 m≠－3，答案为________。） 【例4】用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙长 18 m）的矩形菜园，设边 AB 长为 x m，面积为 S m²。 　　(1) S 关于 x 的函数解析式为 S＝________（即 S＝－2x²＋30x），x 的取值范围是________； 　　(2) 当面积为 72 m² 时，AB 的长为________ m。 　　（提示：BC＝30－2x；由墙长 18 得 30－2x≤________且 >0，x≥________，故 6≤x<15；解方程得 x＝3 或 12，结合范围取________。） 【当堂检测】 1. 下列函数中，是 y 关于 x 的二次函数的是（　　）。A. y＝x³＋2x²＋3　B. y＝－1/　C. y＝x²＋x　D. y＝mx²＋x＋1 2. 函数 y＝的自变量 x 的取值范围是（　　）。A. x≠3　B. x≥3　C. x≥－1且x≠3　D. x≥－1 3. 若函数 y＝mx(x－1)－x² 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围是（　　）。A. m≠0　B. m≠－1　C. m≠1　D. m≠±1 4. 二次函数 y＝x²＋4x－3 中，当 x＝－1 时，y 的值是________。 5. 已知函数 y＝（m－1）＋4x－5是二次函数，则 m＝________。 6. 某种产品现在年产量 20 t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加 x 倍，则两年后年产量 y（t）与 x 的关系为 y＝________（即 y＝20x²＋40x＋20）。 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝10 cm，点 M 以 2 cm/s 从 B 向 C 运动，同时点 N 以 4 cm/s 从 C 向 A 运动。设第 t s 时四边形 ANMB 面积为 S cm²，则 S 与 t 的关系式为 S＝________（即 S＝4t²－20t＋100），自变量 t 的取值范围是________。 【学习小结】 1. 判断二次函数的步骤：①化简；②看自变量所在代数式是否为____式；③是否符合 y＝ax²＋bx＋c 且 a________0。 2. 列二次函数关系式的步骤：①审题找出____关系；②设出两个表示变量的字母；③列出函数式并化简。 3. 求自变量取值范围：①分母________0；②二次根号内式子________0；③实际问题中结合具体情境（如边长>0、平行于墙的边________墙长等）。 【拓展延伸】 思考：二次函数 y＝ax²＋bx＋c 与一次函数 y＝kx＋b 在“自变量最高次数”和“系数限制”上有何区别？若 y＝(k²－1)x²＋(k－1)x 是二次函数，求 k 的值；若它是一次函数，k 又应为多少？ 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. 5－x（或 10/2－x）。 2. 两；唯一。 3. kx＋b；≠；kx。 4. 6x²。 5. －n。 二、自主探究 探究1 例1：二；整；≠；8x＋16；B。 　　 变式1：x³；D。 　　 二次函数定义：ax²＋bx＋c；≠；二次项系数、一次项系数、常数项。 探究2 例3：(1) 全体实数；(2) A（x≥1）。 　　 变式3：(1) 全体实数；(2) 被开方数≥；分母≠；>；x>1。 三、合作交流 例2：n＝2 且 m－1≠0，故 m≠1。 变式2：C（m≠－3）。 例4：(1) S＝x(30－2x)＝－2x²＋30x，6≤x<15；(2) AB＝12 m（x＝3或12，结合范围取12）。 四、当堂检测 1. C（y＝x²＋x）。 2. C（x≥－1且x≠3）。 3. C（m≠1）。 4. －6（x＝－1时 y＝1－4－3＝－6）。 5. －1（由 m²＋1＝2 得 m＝±1，且 m－1≠0 即 m≠1，故 m＝－1）。 6. y＝20(1＋x)²＝20x²＋40x＋20。 7. S＝½×20×10－½×4t×(10－2t)＝4t²－20t＋100，0<t<5。 五、学习小结 1. 整；≠。 2. 等量。 3. ≠；≥；≤。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $