25.3 第4课时 循环问题 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的循环问题应用，通过“知识链接”回顾互赠礼物、握手等旧知，搭建单循环与双循环模型的认知支架，衔接新授内容。 以实际情境（互赠名片、足球联赛等）引导学生用数学眼光抽象数量关系，自主探究推导公式培养数学思维，习题分层且强调实际意义检验，提升模型意识与应用能力。

第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第4课时）——循环问题 【学习目标】 ① 理解“双循环”（互赠、互赛两场、车票：A→B 与 B→A 算两次）与“单循环”（握手、签合同、单场比赛：A 与 B 只算一次）两种模型的差别； ② 会用 x（x－1）（双循环）或 （单循环）表示总次数，列出一元二次方程； ③ 能拓展到图形规律问题（直线交点、多边形对角线数 ），解出后结合实际意义（人数、边数为正整数）检验取舍。 【学习重难点】 重点：区分双循环与单循环，正确列出对应方程。 难点：识别实际情境属于哪类循环；直线交点、多边形对角线等一般规律公式的推导；舍去不合题意的负根与非整数根。 【知识链接】（旧知回顾） 1. (1) 3 人互赠礼物，每人要送________份，共送________份； 　　(2) 4 人互赠礼物，每人要送________份，共送________份； 　　(3) x 人互赠礼物，每人要送________份，共送________份。 2. (1) 3 人两两握手，每人要握________次，共要握________次； 　　(2) 4 人两两握手，每人要握________次，共要握________次； 　　(3) x 人两两握手，每人要握________次，共要握________次。 【自主探究】 探究1　双循环问题（互赠、互赛两场、车票） 【例1】在一次会议上，参会人员互送名片，共送出 30 张名片，求参加会议的人数。 　　解：设参加会议的人数为 x 人，则每人送________张，共送________张， 　　根据题意，得 x（x－1）＝30， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________（不合题意，舍去）。答：参加会议________人。 【变式1】足球联赛每两队之间都进行两场比赛，共比赛 90 场，共有多少个队参赛？ 　　解：设共有 x 个队参赛，则共比赛________场， 　　根据题意，得 x（x－1）＝90，整理，得 x²－x－90＝0， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________（舍去）。答：共有________个队。 探究2　单循环问题（握手、签合同、单场比赛） 【例2】某班同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握手 28 次，求参加聚会的人数。 　　解：设参加聚会的人数为 x 人，则共握手________次， 　　根据题意，得 ________＝28， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________（不合题意，舍去）。答：参加聚会________人。 【变式2】商品交易会每两家公司之间都签订一份合同，共签订 45 份合同，共有多少家公司参加？ 　　解：设有 x 家公司参加，则共签订________份合同， 　　根据题意，得 ________＝45，整理，得 x²－x－90＝0， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________（舍去）。答：共有________家公司。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 例A：组织排球邀请赛，每两个队之间比赛一场，赛程 7 天、每天 4 场，应邀请多少个队？ 　　解：设邀请 x 个队，则共比赛________场；列方程________＝4×7，解得 x＝________ 或 x＝________（舍去）。 例B：铁路沿线有 n 个停靠站（含北京、上海站），至少产生 30 种不同行程的火车票，求 n。 　　解：每站可开出________种行程票，列方程 n(n－1)＝________，解得 n＝________ 或 n＝________（舍去）。 　 【当堂检测】 1. 组织排球邀请赛，每两个队之间都要比赛一场；赛程计划 7 天、每天 4 场。比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 　　（设邀请 x 个队，则共比赛________场，列方程________＝4×7，解得 x＝________ 或 x＝________。） 2. （易错）北京与上海的铁路沿线沿途有多个火车停靠站（含两端），至少能产生 30 种不同行程的火车票，求共有多少个停靠站。 　　（设共有 n 个停靠站，每站可开出________种票，列方程 n(n－1)＝________，解得 n＝________ 或 n＝________。） 3. 同一平面内直线两两相交最多有交点： 　　(1) 四条直线两两相交最多有________个交点； 　　(2) 多少条直线两两相交最多有 28 个交点？ 4. 多边形对角线： 　　(1) 四边形有________条对角线，五边形有________条，六边形有________条，n 边形有________条； 　　(2) 若一个多边形有 20 条对角线，求它的边数； 　　(3) 是否存在一个多边形，它有 25 条对角线？ 【学习小结】 1. 双循环问题（互赠、互赛两场、车票）：总次数＝________（即 x(x－1)）。 2. 单循环问题（握手、签合同、单场比赛、直线交点）：总次数＝________（即 x(x－1)/2）。 3. n 边形对角线条数＝________（即 n(n－3)/2）。解出方程后需结合________（人数/边数为正整数）检验取舍。 【拓展延伸】 思考：双循环与单循环的数量关系相差 2 倍，本质区别是什么？若“互打电话”（A 打给 B 与 B 打给 A 算两次）和“互加好友”（A、B 互为好友只算一次）分别对应哪种模型？ 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. (1) 2，6；(2) 3，12；(3) x－1，x(x－1)。 2. (1) 2，3；(2) 3，6；(3) x－1，。 二、自主探究 探究1 例1：每人送 x－1 张，共送 x(x－1) 张；x（x－1）＝30；x₁＝6，x₂＝－5（舍）。答 6 人。 　　 变式1：共比赛 x(x－1) 场；x（x－1）＝90；x₁＝10，x₂＝－9（舍）。答 10 个队。 探究2 例2：共握手 次；＝28；x₁＝8，x₂＝－7（舍）。答 8 人。 　　 变式2：共签订 份；＝45；x₁＝10，x₂＝－9（舍）。答 10 家。 三、合作交流 例A：共比赛 场；＝4×7；x＝8 或 －7（舍）。答 8 个队。 例B：每站开出 n－1 种票；n(n－1)＝30；n＝6 或 －5（舍）。答 6 个停靠站。 四、当堂检测 1. ＝28 ⇒ x＝8 或 －7（舍）；邀请 8 个队。 2. n(n－1)＝30 ⇒ n＝6 或 －5（舍）；共有 6 个停靠站。 3. (1) 6 个（＝6）；(2) 设 n 条直线，＝28 ⇒ n＝8 或 －7（舍）；8 条直线。 4. (1) 2，5，9，；(2) ＝20 ⇒ n²－3n－40＝0 ⇒ n＝8（舍负）；边数 8。 　 (3) 假设存在，＝25 ⇒ m²－3m－50＝0 ⇒ m＝，均非正整数，∴不存在。 五、学习小结 1. 2×单循环次数（即 x(x－1)）。 2. （即 x(x－1)/2）。 3. （即 n(n－3)/2）；实际意义（正整数）。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $