专题03 等式、不等式性质与各种不等式解法讲义【8大考点】-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理等式与不等式性质及解法，将8大考点按“性质判断-比较大小-范围求解-证明-各类不等式解法”的逻辑层次呈现，清晰展示知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如考点二作差作商法比较大小的解答题培养数学思维，考点五至八针对不同不等式解法的选择填空题强化数学语言表达。基础题巩固性质应用，综合题提升逻辑推理能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可针对性突破。

专题03 等式、不等式性质与各种不等式解法高频考点精练 8大考点汇总 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 考点二　作差、作商法比较大小 考点三　利用不等式求取值范围 考点四　由不等式的性质证明不等式 考点五　解不含参一元二次不等式 考点六　解分式不等式 考点七　解高次不等式 考点八　解含绝对值的不等式 题型突破 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 2．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 3．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 4．（2026高二下·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 考点二　作差、作商法比较大小 5．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【分析】（1）利用差比较法判断两者的大小关系. （2）利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式性质判断A；利用作差法比较判断BD；举反例判断C. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，当时， ，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以， 所以，故D正确． 故选：AD． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法得出，然后对与的大小进行分类讨论，进而可得出与的大小关系； （2）将、进行分子有理化，结合作商法可得出、的大小关系. 【详解】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 【点睛】本题考查利用作差法和作商法比较大小，属于基础题. 8．（25-26高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）； （2），，又， 又， ， . 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2）略 考点三　利用不等式求取值范围 9．（25-26高一上·广东·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，，所以， 即，故A正确； 因为，所以，即，故B不正确； 因为，则，又因为，所以，所以，故C不正确； 因为，则，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 10．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示，再根据不等式的性质求解可得. 【详解】设，即， 则，解得. 由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. 故选：B. 11．（25-26高三上·云南楚雄·期中）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD 12．（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）(2)（3）由不等式的性质即可求解； 【详解】（1）， （2） （3）由条件， ， 又 考点四　由不等式的性质证明不等式 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】 证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】略 14．（25-26高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2) 因为， 又，，则，， 所以，得到. 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）略 15．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【答案】（1）； （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 【分析】（1）展开后作差比较大小； （2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明. 【详解】（1）因为， 所以. （2）略 16．（25-26高一上·上海·期中）已知，，，请用反证法证明：与不能同时成立． 【答案】证明：假设与同时成立， 则由，可得， 又，所以可得， 同理，由可得， 所以由不等式的性质可得， 这与矛盾，故假设不成立， 所以与不能同时成立. 【分析】利用反证法，根据一元二次不等式的解，可推出与已知矛盾. 【详解】略 考点五　解不含参一元二次不等式 17．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一元一次不等式的解法进行求解； （2）由一元二次不等式的解法进行求解； （3）由一元二次不等式的解法进行求解. 【详解】（1）由得，即，所以解集为； （2）由得，解得， 由二次函数的图像可得，不等式的解集为； （3）由得，解得， 由二次函数的图像可得，不等式的解集为. 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得不等式的解集. 【详解】∵， ∴原不等式的解集为. 19．（25-26高二下·福建福州·期末）（多选）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 20．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 故 考点六　解分式不等式 21．（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 22．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即，解得， 则，由，得， 所以. 23．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式可得集合与，即可得交集. 【详解】由已知，， 所以. 24．（25-26高一下·云南·开学考试）命题“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，解得， 故不等式的解集为， 因此，不等式“”的一个充分不必要条件是该不等式解集的真子集，只有C满足． 考点七　解高次不等式 25．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法以及一元二次不等式求解方法解不等式即可. 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 26．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集为___________（用区间的形式表示）. 【答案】 【分析】移项通分，转化为一元高次不等式即可求解. 【详解】移项得， 即， 解得， 故答案为：. 27．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集为__________. 【答案】或 【分析】首先将分式不等式等价转换为，且，利用数轴“穿针引线”法即可求解. 【详解】原不等式等价于，且 分别令各个因式为0，可得根依次为，2， 利用数轴“穿针引线”法可得不等式的解集为或． 故答案为：或. 28．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）不等式的解集为 ____________ 【答案】或或 【分析】将分式不等式化为，应用穿根法求解集即可. 【详解】由题设得， 所以或或，故解集为或或. 故答案为：或或 考点八　解含绝对值的不等式 29．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 30．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令， 当时，； 当时，，得，所以； 当时，不成立． 故原不等式的解集为. 31．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 【答案】 【详解】，解得. 对于 ， （方法一）当 时， ，得； 当时， ，得. 故 的解集为. （方法二），得. （方法三）显然，两边平方，得. 故填； 32．（25-26高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为______． 【答案】或 【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，等式恒成立，故符合题意， 当时，方程为，等式恒成立，故符合题意， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或. 故答案为；或 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等式、不等式性质与各种不等式解法高频考点精练 8大考点汇总 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 考点二　作差、作商法比较大小 考点三　利用不等式求取值范围 考点四　由不等式的性质证明不等式 考点五　解不含参一元二次不等式 考点六　解分式不等式 考点七　解高次不等式 考点八　解含绝对值的不等式 题型突破 考点一　由已知条件判断不等式是否正确 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二下·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 考点二　作差、作商法比较大小 5．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 6．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 8．（25-26高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 考点三　利用不等式求取值范围 9．（25-26高一上·广东·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·云南楚雄·期中）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 考点四　由不等式的性质证明不等式 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 14．（25-26高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 15．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 16．（25-26高一上·上海·期中）已知，，，请用反证法证明：与不能同时成立． 考点五　解不含参一元二次不等式 17．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) (3) 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 19．（25-26高二下·福建福州·期末）（多选）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点六　解分式不等式 21．（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·云南·开学考试）命题“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 考点七　解高次不等式 25．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 26．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集为___________（用区间的形式表示）. 27．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集为__________. 28．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）不等式的解集为 ____________ 考点八　解含绝对值的不等式 29．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 30．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． 31．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 32．（25-26高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为______． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $