福建省百校联考2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

福建9月高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 痛 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 坦 的指定位置。 解 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 长 咖 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 兵 1.已知集合A={xx2<1},B={x0<2x<4},则A∩B= A.(-1,1) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,2) 2.复数=十的实部为 A号 c 3.某研究所研究耕种深度x(单位：c)与一种农作物每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据 o 资料如下表： 0 耕种深度x/cm 3 4 6 每公顷产量y/t 5 6 6 发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为y=0.6x十a,据此计算样本点(7,9) 抱 处的残差为 A.-0.8 B.-0.7 C.0.6 D.0.8 4.将英文单词“mommy?”的字母组合，能得到不同字母排法的种数为 拟 A.20 B.25 C.30 D.35 当 5.已知点P是抛物线C:y2=4x上任意一点，F是抛物线C的焦点，点Q(8,5),则|PF|十|PQ的 最小值为 A.8 B.9 C.10 D.11 【高三数学第1页（共4页）】 FJ 1-er,x<0 6.已知函数f(x)= ,对Hx∈R,不等式f(m一x2)+f(mx)<0恒成立，则实数m ex-1,x≥0 的取值范围为 A.(-4,0) B.(-2,0) C.(-∞，-4)U(0,+∞) D.(-∞，-1)U(0,+∞) 7.已知数列{an}是首项和公比均为3的等比数列，在数列{am}的任意相邻两项a。与a+1(其中 k∈N*)之间插入2个1，使它们和原数列的项构成一个新数列{bn〉，则数列{bn}的前50项 和S50= A.402 B.404 C.408 D.412 8已知双确线C兰 =1(a>0,b>0)的左焦点为F1,点P为双曲线C上位于第一象限内的 一点，直线PF与双曲线C的左支相交于点Q,F:Q=a且F夜=}F市，则双曲线C的离 心率为 A. B.√3 C.v30 D.33 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a6c,C-号c=7,6=a十1，则 A.△ABC的外接圆的半径为了勹 B.a=1 C.△ABC的面积为√3 D.sinB=2sinA 10.下列说法正确的是 A.数据1,3,4,7,9,12,14,21的25%分位数为3 B.若随机变量X服从正态分布N(4,o2),且P(2<X<4)=0.23,则P(X>6)=0.27 C者随机变量X服从二项分布B(12,号)，Y=3X+1,则2号-待 D.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占40%，乙厂产品占60%，甲厂产品的合格率是 80%,乙厂产品的合格率是60%.在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的 概率为0.64 【高三数学第2页（共4页）】 FJ 11.已知函数f(x)=lnx+ 161十号，则下列说法正确的是 25(1-x2) A.函数f(x)的减区间为（号，2） B若函数go)=f)-t有3个零点，则1n2-日<K名-ln2 C.f(x)+f(）=0 D.函数f(x)有3个零点x1,1,x2,0<x1<1<x2且x1x2=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a,b的夹角为号，a=2,a⊥(a-2b),则1a-3b1-= 13.已知直线1：y=m(x+1),圆M:(x-1)2+(y十1)2=1，若圆M被直线1分成的两段圆弧弧 长之比为3：1，则m= 14.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAB是等边三角形，则直线PC与底面 ABCD所成的角的正切值的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=(x2-2x十a)e2的极小值点为x=1. (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程. 16.(本小题满分15分) 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AD的中点，F是棱CD的中点，G 是棱DD1的中点 (1)证明：B1D⊥平面EFG; (2)求平面GEF与平面EFC1的夹角的余弦值. D C G B C 【高三数学第3页（共4页）】 FJ 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2V3sin受cos受-2sin(受+平)os(受+平)，若函数y=f(x)在区间 [一4π，十∞)上的所有零点从小到大依次为x1,x2,…,xm,…,设数列{xm}的前n项和为Sm. 年 1求函数fx)在区间[一吾，]上的值域： (2)求Sm的最小值； 1 (3)记am= (+1(+m） ,证明：a十a十a十…+a,< 2. 帐 18.（本小题满分17分) 小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结 束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均 结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为p(0<<1),记X为小王 游 同学测试结束时投篮的次数. (1)求X的分布列及数学期望； 1 (2)若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于5办一D,求p的取值范围。 当 19.(本小题满分17分) 别 圆C:十1(Q>6>0)的右焦点为F(1,0),长轴长为4，左、右顶点分别 过焦点F的直线与椭圆C相交于P,Q两点，且点P位于第一象限.直线AP和AQ分别与 直线x=2相交于M,N两点. (1)求椭圆C的标准方程； 脚 (2)求FM·F的值； (3)若线段BM的中点为T,证明：FT是∠BFP的角平分线. 些 【高三数学第4页（共4页）】 FJ福建9月高三数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 4 6 答案 C B D A B A 题号 7 8 9 10 11 答案 C D BD BC ACD 1.C【解析】由A=(-1,1),B=(0,2),可得A∩B=(0,1),故选C. 2B【解】由一得十得》=。专一号可得复数：的实部为-号故连队 3.D【解析】由元=子×(3+4十6+7)=5，y=号×(6十6+8+9)=7，有7=0.6×5+a,可得a=4,有 y=0.6x十4，当x=7时，y=8.2,所以样本点(7,9)处的残差为9一8.2=0.8，故选D. 4.A【解析】所得不同字母排法的种数为CA=20,故选A. 5.B【解析】由F(1,0),设点P到抛物线C的准线l:x=-1的距离为d,有|PF|+|PQ|=d+|PQ≥9，等 号在PQ⊥l时成立，可得|PF1+|PQ的最小值为9，故选B. 6.A【解析】当x>0时，一x<0,有f(一x)=1一e=-f(x);当x<0时，一x>0,有f(-x)=ex-1=一f(x. 又由f(0)=0,可得函数f(x)为奇函数.又由x≥0，函数f(x)单调递增，且函数f(x)为奇函数，可得函数 f(x)在R上单调递增.不等式f(m-x2)十f(mx)<0可化为f(m-x2)<-f(mx),可化为f(m-x2)< f(-mx),可化为m一x2<-mx,即对Hx∈R,x2一mx一m>0恒成立，可得△=m2+4m<0,解得 一4<m<0,故选A. 7.C【解析】因为21=2,22=4,23=8,24=16,25=32，a1=3,a2=9,a3=27,a4=81,a5=243,由题意前5项共 插入2+22+23+24=30项，则数列{b.}的前50项的和S50=a1+1×2+a2+1×4+a3+1×8+a4+ 1X16+a,十1×15=3×1-3)+45=408，故选C. 1-3 8.D【解析】如图，记双曲线C的右焦点为F,0为坐标原点，连PF,QF,由下Q=a且Fà=Fd,可得 1QP|=3a,lPF2|=2a,|QF2l|=3a.设|FiFz|=2c,又由∠PQF2十∠F1QF2=π，得cos∠PQF2十cos∠F1QF2=0,所 以购+路址+心+g一仁-0，可得后c=e,可得双曲线C的离心率为e-台=故选D 18a2 6a2 F2 x 日BD【解析】对于A选项，可得△ABC外接圆的半径为C二 =√2T,故A选项错误； 2X3 3 对于B选项，由余弦定理，有a2十(a十1)2十a(a十1)=7，解得a=1,故B选项正确； 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 FJ 对于C选项，又由6=2，可得△ABC的面积为号×1X2×号-，故C选项错误； 2 对于D选项，由a=1,b=2,可得sinB=2sinA,故D选项正确.故选BD. 10.BC【解析】对于A选项，由8X25%=2,可得数据的25%分位数为3士=3.5，放A选项错误： 对于B选项，P(X>6)=0.5-P(4<X<6)=0.5-P(2<X<4)=0.5-0.23=0.27,故B选项正确； 对于C选项，由E(0=12×号=4，Dx0=12×号×号-号有En=13,D(n)=24,可得2号-器， 故C选项正确； 对于D选项，这个灯泡是合格品的概率为40%×80%十60%×60%=0.68，故D选项错误.故选BC 1.ACD【解折】对于A选瑰，由了)=士4=2》十2，令fa)<0,有 4x(1十x2)2 <x<2,可得函数f(x)的减区间为（分，2），故A选项正确； 1 对于B选项，由函数f()的减区间为（合，2），增区间为(0，），(2，十∞），又由了（分）=8-2， f2)=n2-当z一0时，f()→-0，当x+时，f(x)→+o.若函数g(x)有3个零点，有 In2- 号<<号-lh2,放B选项错误 对于c选项，由f()=n上+】 25(1-) -lnx十 16(1+3)） =[+2]=-0，有 f(x)+f(）=0,故C选项正确； 对于D选项，由f1)=0,函数f(x)的减区间为（合，2），增区间为(0,2)，(2，+∞).当x→0时， f(x)→一∞；当x→+o∞时，f(x)→+o.可得函数f(x)有3个零点，x1,1,x2,且0<x1<1<x2.又由 f)=f)=0及)=-(）有)=)=0，又由>1，有=子可得=1，放D 选项正确.故选ACD. 12.2√7(5分，结果正确均得分) 【解析】由aL(a-2b),有a·(a-2b)=a2-2a·b=4-2a·b=0,可得ab=2,有b1=ab 2x =2,可得|a-3b|=√(a-3b)z=√a2-6a·b+9bz=√4-12+36=2√7. 13.-1或-(5分，结果正确均得分) 【解析】设直线1与圆M交于A,B两点，圆心为M(1,一1)，半径r=1,因为圆M被直线l截得两段弧长之 比为3：1，而弧长之比等于对应圆心角之比.所以两段弧所对的圆心角之比为3：1，故较小弧所对的圆心 角为3十×2=受.设N为弦AB的中点，则MN⊥AB,并且在等腰三角形MAB中，MN平分圆心角，所以 ∠AMN-名∠AMB-子在直角三角形MAN中，MN=子=IX号-号，这说明圆心M1,-I到 直线1的距离为号.直线1：y=m(红十1D可化为mx一y十m=0,由点到直线的距离公式，得2m号-号， √m2+12 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 FJ 解得m=-1或-子 14.1(5分，结果正确均得分) 【解析】设AB=2,①当二面角P-AB-C为直角时，取棱AB的中点为E,连PE,EC,因为△PAB是等边三 角形，可得PE⊥AB,可得PE⊥平面ABCD,可得∠PCE是直线PC与平面ABCD所成的角.又由 PE=.cE=5.可每∠c8-器-得-厚， ②当二面角P-AB-C为锐角时，如图，取棱AB的中点为E,棱CD的中点为F,连PE,EF,过点P作 PO⊥EF.由PE⊥AB,EF⊥AB,可得AB⊥平面PEF,可得PO⊥平面ABCD,可得∠PCO是直线PC与平 面ABCD所成的角.设EO=x(0<x<√3)，有OP=√3-x2,OC=√(2-x)2+1=√x2-4x十5，有 V√@国 tan∠Pc0=√3-z 4 x2-4x+5 √1 11. √2-)+2 又因为2-0十2≥2√2-×=2（当且仅当2-x=2即x=1时取等号），有a∠P00<1,可 得此时tan∠PCO的最大值为1； P E C ③当二面角P-AB-C为钝角时，如图，取棱AB的中点为E,棱CD的中点为F,连PE,EF,过点P作 PO⊥EF.由PE⊥AB,EF⊥AB,可得AB⊥平面PEF,可得PO⊥平面ABCD,可得∠PCO是直线PC与平 面ABCD所成的角.设EO=x(0<x<√3)，有OP=√3-x,OC=√(2十x)2+1=√x2+4x+5,有 tan∠Pco= V3- 3-x2 W/x2+4x+5 √x2-4x+5<1. 由①②③可知直线PC与底面ABCD所成的角的正切值的最大值为1. 15.【答案】(1)a=1(2)x+y-1=0 【命题意图】考查导数性质. 【试题分析】(1)由f(x)=(x2-2x十a十2x-2)e=(x2十a-2)e.…(2分) 又由函数f(x)的极小值点为x=1,有f(1)=(a一1)e=0,可得a=1.…(4分) 有f'(x)=(x2-1)e. 令f(x)>0,可得x>1或x<-1,令f(x)<0,得一1<x<1,可得函数f(x)的增区间为（一∞，一1）， (1,十o∞)，减区间为(-1,1)，可得函数f(x)的极小值点为x=1,故有a=1.…(7分) (2)由f(x)=(x2一2x十1)e2,有f(0)=1.… (9分) 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 FJ 又由f(0)=-1.………(11分) 可得函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y一1=一(x一0)，整理为x十y一1=0. 故函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为x十y一1=0.………(13分) 16.【答案11详见解析(2②)号 【命题意图】考查空间向量与立体几何， 【试题分析】(1)以D为坐标原点，向量D才，D心，D可的方向分别为x,y,之轴的正方向建立如图所示空间直 角坐标系.………………（们分） 各点坐标如下：D(0,0,0),E(1,0,0),F(0,1,0),G(0,0,1),B1(2,2,2),C1(0,2,2).…(3分) 所以DB=(2,2,2),Ej-(-1,1,0),EG=(-1,0,1).…(4分) 又DB·Ef=0,DB.ECG=0.… (5分) 可得DB1⊥EF,DB1⊥EG.……（6分) 又由DB1⊥EF,DB1⊥EG,EF∩EG=E,EF,EGC平面EFG, 所以BDL平面EFG.…（7分) (2)由B1D⊥平面EFG,可得平面EFG的一个法向量为m=(2,2,2).… (9分) 设平面EFC1的一个法向量为n=(x,y,x),由E驴=(-1,1,0)，FC=(0,1,2).…(10分) 有 Ei·n=-x+y=0 取x=2,y=2,z=一1，可得平面EFC1的一个法向量为n=(2,2,一1).… FC·n=y+2z=0 又由m·n=6,|m=2√3，ln=3,有cos<m,n> 6 =3 2√3×3 3 可得平面GEF与平面EFC,的夹角的余弦值为 3 …………(15分) D C A G B C y 17.【答案】(1)[-√3,2](2)-28m 3 (3)详见解析 【命题意图】考查数列与三角函数综合. 【试题分析aD由)=x一2停n音+号os专)（停os音-一号血受） =3sinx-(cos2号-sin2号）=3sinx-cosx=2sin(x-吾)） (3分) 当一吾≤≤语时，有-晋<x-吾<号，可得-≤n(x-吾）≤1，可得-5<2sn(x-吾）<2， 故函数f)在区间[-吾，]上的值域为[-5,21.… (5分) 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 FJ (2)令f(x)=0,有x-答=及x(∈2)，可得x=π十石（∈Z.… (6分) 取kx+否≥-4x(∈2)，可得k≥一要，又由∈Z,可得k>-4(∈2D. 25 当=一4时，x=一 23π 6· (7分) 可得数列{xn}是首项为x1=一 ,公差为x的等差数列，可得工= 28r+x(m-1）=元m-29x 6 (8分) 令么<0，可得a<得，又由aEN:,可得n=-1或2或3或4. (9分) 可得5.的最小值为S4=(1+2+3+4)元-29π×4=-28 6 31 (10分) (3)证明：由x,十18x=m-29m+13m=m-号=x(201D 3 6 3 2 (11分) 有an= 1 (13分) 2 2 有a十a2十a十…十a.= [(1-吉)+（号吉）++(20点2m+)】-是(1-中〉 2 (2m+1D所以a+a2+a+…+a,< 2 2 (15分) 18.【答案】(1)详见解析 2(21 【命题意图】考查概率与随机变量综合. 【试题分析】(1)X的所有可能取值为：2,3,4,5.…(1分) 有P(X=2)=p2.…… (2分) P(X=3)=(1-p)×p2=p2-p3. (3分) P(X=4)=p2(1-p)2十(1-p)p2=p2-p3.… (5分) P(X=5)=1-p2-(p2-p3)-（p2-p3)=1-3p2+2p3. (6分) 可得X的分布列为： X 2 3 4 5 P p2 p2一p3 p2-p3 1-3p2+2p (7分) 可得E(X)=2p2+3(p2-p3)+4(p2-p3)+5(1-3p2+2p3)=3p3-6p2+5.…(8分) (2)设事件A:小王同学通过测试，事件B:小王同学恰好投篮2次。 因为投篮5次通过的概率为(1一p2)(1一p)p2=p2一p3-p十p. (10分) 则P(A)=p2十(p2-p3)+(p2-p3)十(p2-p3-p+p5)=4p2-3p3-p十p.…(12分) P(AB)=p2.… (13分) 则在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率为P(BA)=4p-3D-P+力一4-3p-p+D· 力2 …（15分) 又由-3p-+合>5p-P,可化为20一拉-8+4<0，可化为（少-40(20-1）<0，又由0<p1,解 1 得2<p<1. 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 FJ 故p的取值范围为（受，1）。 (17分) 19.【答案11)号+ 号=1(2)-3(3)详见解析 【命题意图】考查椭圆综合. 2a=4 【试题分析】(1)设F(c,0),由题意有 c= (1分) b2=a2-c2 可得a=2,b=√3. (2分) 故循圆C的标准方程为号+苦-1 (3分) (2)设P,Q两点的坐标分别为(，y1),(x2,y2),直线PQ的方程为my=x一1. 联立方程 云+兰=1，消去x后整理为(3m2+4)y+6my-9=0 my=x-1 6m 9 可得y十y2= 3m2+4'4%=- 3m2+4 (5分) 直线AP的方程为y=产2红+2，令=2，可得)2写可得点M的坐标为(2，+） 同理可得点N的坐标为(2，) (7分) 由i-(-() 16yM2 有M.N=1+m+3m+-1+ 1612 m2h2+3m(h+2)+9 -16× 9 =1+ `3m2+4 =一3 9m2 18m2 3m+43m+4+9 所以Fi.F市的值为-3.… (9分) 8由B2,0,M2,)可得72) …………………………… (10分) 12- 由直线PF的方程为x一my一1=0，点T到直线PF的距离为d= |3-my W√1+m √1+m2|my1+3| …………（们2分) 又由0x1<2,有my1+3=x1+2>0,3-my1=4-x1>0,有d= 3-my1 。……(13分) √1+m(my+3) 有-(+ 2 (3-my)2 4y ）=1+m)(m1+3)(my+3)2 (3-m2-(4m+4)5_-(3+4)听+6my-9 (1+m)(m十3)2 (1+m)(m+3)2 ………………………………………(们5分) 又由(3m2+4)+6my-9=0,有d-(2y) my十3/ =0,可得d=2y my1+3" …………………（16分) 可得|BT=d,又由BM⊥x轴，故FT是∠BFP的角平分线.………………(17分) 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 FJ