直线与圆锥曲线讲义（基础篇）-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与圆锥曲线位置关系这一高考核心考点，涵盖位置判断、弦长公式、中点弦结论等核心知识，按“基础判断—弦长计算—中点弦应用”逻辑架构梳理，通过知识点精析、五题型分类（位置关系、中点弦等）、例题变式及分层练习（A级基础、B级提升），帮助学生构建系统解题框架。 讲义以高考真题为载体，采用“题型归类+方法提炼”策略，如中点弦问题结合点差法培养数学思维，弦长与面积问题强化数学语言表达，分层练习适配不同学情，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

直线与圆锥曲线的位置关系 知识点一、直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 知识点二、弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝＝|x1－x2|＝， 或|AB|＝|y1－y2|＝. 知识点三、中点弦结论 1．已知M，N是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－. 2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝. 3．若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点：kMN＝(开口向右)，kMN＝－(开口向左)，kMN＝(开口向上)，kMN＝－(开口向下)． 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 例1．已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】A【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点. ①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意； ②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点. 若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意. 综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条. 变式1．(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．有3个公共点 答案　AB解析　直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切． 变式2．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B【解析】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消得，，当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意； 当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条． 题型二：中点弦问题 方向1：求中点弦所在直线方程问题； 例2-1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32. (1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程． 解　(1)因为离心率e＝＝，所以a＝c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4，故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意得，直线l的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＋＝0，所以＝－·.因为AB的中点坐标为(－2,1)， 所以＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. 变式．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 . 【答案】【解析】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，则，可得，即，即又，所以. 方向2：对称问题 例2-2．已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为． (1)求椭圆E的方程；(2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，， 设，，的中点，，①－② ， ，，则椭圆E的方程：； （2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为， ，，PQ中点，， ，，，即， 由N在l上，，此时，故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为． 变式．已知椭圆的离心率为e，且过点和．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求． 【解析】（1）由题意知：，∴ ，∴，所以椭圆； （2） 设直线，联立， 整理得： ，则中点，满足直线方程，解得,所以AB： 联立 整理得：，由韦达定理知 由弦长公式得：． 方向3：斜率之积问题 例2-3．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】设点，则，因为，可得，又因为，所以. 变式．已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（    ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 【答案】D【解析】A.AB的最小值为通径为，故A正确；B.由双曲线的定义得，得，所以三角形的周长，故B正确； C.设，，则，两式相减得，则，则，则，故C正确； D若直线AB的斜率为，所以∴∴∴，所以选D不正确. 题型三：弦长问题 例3．已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ． 【解析】设直线，直线与圆相切，， 将直线方程与椭圆方程联立，得，所以，因为， 所以，由对称性，不妨取， 变式．已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ． 【答案】【解析】设，线段的中点为， 由，两式相减可得，即，又由，则，设直线的方程为，可得，所以，所以，所以，解得，因为，所以，可得，解得，所以直线的方程为. 题型四：面积问题 例4．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程． 解　(1)由得所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，设直线l的方程为x＝my－1， M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 即y1＋y2＝，y1y2＝.又S△BMN＝|BF1|·|y1|＋|BF1|·|y2|＝|BF1|·|y1－y2|＝|BF1|·＝＝，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 变式．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程；(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积. 【解析】（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：所以的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以，点到直线的距离，所以. 题型五：定点定值问题 例5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M? 解　(1)由题意知解得b＝c＝，又a2＝b2＋c2，则a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)， 此时A，B，由·＝0得·＝0， 解得t＝或t＝2(舍)，即t＝.若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝.由题意知·＝0，即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0， 易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋ (4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，故解得t＝或t＝2(舍)， 综上，当t＝时，以AB为直径的圆恒过点M. 变式：已知直线l：y＝kx＋3与双曲线C：－＝1的右支交于不同的两点A和B，与y轴交于点P，且直线l上存在一点D满足＝(D不与P重合)． (1)求实数k的取值范围；(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值． (1)解　将直线方程y＝kx＋3代入双曲线方程－＝1，化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0， Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B， 则应满足解得－<k<－.所以实数k的取值范围为. (2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则由(1)知，x1＋x2＝，x1x2＝－. 由＝，得＝，所以x0＝＝＝－，所以y0＝kx0＋3＝－＋3＝－，所以点D的纵坐标为定值－. 【A级 基础巩固练】 1．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　 A． B． C． D． 【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以． 2．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　) A．(4,9] B．[4，＋∞) C．[4,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞) 答案　C解析　直线kx－y＋2＝0过定点(0,2)，所以＋≤1，解得m≥4.①由于方程＋＝1表示椭圆，所以m>0且m≠9.②由①②得m的取值范围是[4,9)∪(9，＋∞)． 3．过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】D【解析】设，由于在椭圆上， 所以，两式相减并化简得，即. 4.直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　C解析　由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条， 则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，代入抛物线方程解得p＝1. 5．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　A解析　∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＝－＝－，∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为，将代入直线y＝－x－，得m＝－2. 6.已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案　B解析　由题设，＝，即＝1－＝1－＝，可得a2＝6>2， 过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，则P为线段AB的中点， 所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，又＋＝1，＋＝1，则＋＝0，即＝－，所以＝－＝－1，故直线AB的方程为y－＝－，即x＋y－2＝0，所以|OM|的最小值为＝. 7．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【解析】设，则，两式相减得， 由线段的中点坐标为，即，. 8.过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 【答案】【解析】椭圆即，设弦的两端点分别为,，,，则，则，，两式作差可得：， ．直线过点，这条弦所在直线的方程是，即． 9．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ． 【答案】【解析】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即， 所以，即. 10．双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点． （1）求双曲线C的方程．（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由． 【解析】（1）椭圆：，所以双曲线. 所以双曲线的方程为. （2）设，，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为. 【B级 能力提升练】 11.（多选）关于双曲线C：－＝1，下列说法正确的是(　　) A．该双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线 B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条 C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈ D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点 答案　ACD解析　双曲线C：－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，双曲线－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，整理后都是y＝±x，故A正确；由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，故C正确；由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确． 12.已知点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则 . 【答案】/【解析】由题意知的方程为，代入的方程，得， 设，则；因为，且，所以，整理得，所以，结合，解得. 13．已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若|AB|＝，则椭圆T的方程为________． 答案　＋＝1解析　∵a＝2b，则c＝b，∴椭圆T：＋＝1，左焦点F(－b,0)， 直线AB：y＝x＋b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y得5x2＋8bx＋8b2＝0，∴x1＋x2＝－b，x1x2＝，|AB|＝＝，可得b2＝2，∴椭圆T：＋＝1. 14．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点. (1)若，求的面积； (2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点为，时，直线， 联立，可得，设，，，，则，． ，点到直线的距离距离， 的面积． （2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，∴可设直线的方程为， 联立，整理可得，由，可得， 设，，，，则， 故的中点为，∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上， ∴，得，∵，∴．综上，的取值范围为． 15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 【解析】（1）由题意，设的方程为，因为圆经过抛物线的焦点， 所以，解得，所以的方程为. （2）如图所示，设，则，联立方程组整理得，所以，且， 所以.由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，将代入上式整理得，同理可得抛物线的过点的切线方程为由解得，所以，所以到直线的距离，所以的面积，当时，， 所以面积的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆锥曲线的位置关系 知识点一、直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 知识点二、弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝＝|x1－x2|＝， 或|AB|＝|y1－y2|＝. 知识点三、中点弦结论 1．椭圆的中点弦结论： 2．双曲线的中点弦结论： 3．抛物线的中点弦结论： 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 例1．已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 变式1．(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．有3个公共点 变式2．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型二：中点弦问题 方向1：求中点弦所在直线方程问题； 例2-1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程． 变式．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 . 方向2：对称问题 例2-2．已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为． (1)求椭圆E的方程；(2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由． 变式．已知椭圆的离心率为e，且过点和． (1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求． 方向3：斜率之积问题 例2-3．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 变式．已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（    ） A． 弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 题型三：弦长问题 例3．已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ． 变式．已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ． 题型四：面积问题 例4． 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程． 变式．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1) 求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积. 题型五：定点定值问题 例5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M? 变式：已知直线l：y＝kx＋3与双曲线C：－＝1的右支交于不同的两点A和B，与y轴交于点P，且直线l上存在一点D满足＝(D不与P重合)． (1)求实数k的取值范围；(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值． 【A级 基础巩固练】 1．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　 A． B． C． D． 2．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　) A．(4,9] B．[4，＋∞) C．[4,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞) 3．过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（    ）. A． B．2 C． D． 4.直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　) A. B. C．1 D．2 5．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 6.已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 7．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 8.过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 9．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ． 10．双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点． （1）求双曲线C的方程． （2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由． 【B级 能力提升练】 11.（多选）关于双曲线C：－＝1，下列说法正确的是(　　) A．该双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线 B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条 C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈ D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点 12.已知点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则 . 13．已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若|AB|＝，则椭圆T的方程为________． 14．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点. (1)若，求的面积； (2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围. 15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $