河北省安平中学2025-2026学年高三年级上学期暑假作业测试数学试题

**基本信息** 高三开学数学测试，涵盖向量、概率、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题结合，检测暑假学习效果，衔接高三复习，体现数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（数据意识）的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|7/56|向量共线、独立事件概率、解三角形|基础巩固，如向量共线考查运算能力| |多选|2/12|复数性质、三角形边角关系|辨析性强，如三角形性质判断体现推理意识| |填空|3/21|上四分位数、正四棱台体积、函数最值|结合实际（轻轨数据）与空间计算，渗透数据观念| |解答题|3/61|圆内接四边形、频率分布统计、四棱锥（证明/二面角/线面角）|分层设问，如四棱台体积与立体几何综合题，考查空间观念与模型意识|

2026-2027学年第一学期高三暑假作业测试 数学试题答案 1.A 2.B 事件，相互独立，， ，; . 3.A．【详解】在中，已知，，，利用正弦定理得：，解得：，， ，则：， 故选：A． 4.C【详解 5.C 【详解】已知，则，展开得，整理得. .由于不共线，因此夹角为. 6.D【详解】对于A,因为，为的一个方向向量，所以点到直线的距离，故A选项错误； 对于B， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故B错误. 对于C,平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，四边形为平行四边形，，又， ，，，因为在空间四边形中，与成角，或，又，当时，，，即此时两点间的距离为；当时，，，即此时两点间的距离为；综上所述：两点间的距离为或，C选项错误； 对于选项D，因为向量，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，所以向量在向量上的投影长为：.，D选项正确；故选D 7. A【详解】设是的中点，连接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以，由得. 在中，，在中，， 在中，由余弦定理得：，所以，由于，所以 两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，故选：A. 8. BCD【详解】已知复数，先化简： . A：的虚部为，不是，A错误. B：的共轭复数，B正确. C：对应复平面内点，在第一象限，C正确. D：，，，所以，D正确. 9.BCD【详解】对于A：当时，，此时是直角三角形；当时，，此时不是直角三角形，故A错误； 对于B：因为，则，即，所以，又，所以，即为钝角， 故为钝角三角形，即B正确； 对于C：设，， 所以，， 故，即，又，， 所以，故C正确； 对于D：由于在上为减函数且，知，故是的充要条件，即D正确；故选： BCD. 10.【详解】先排序：，因为， 所以这组数据的第百分位数为第两个数的平均数，即为 11. 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积， 其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，，侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形，由勾股定理得：，代入棱台体积公式，即. 12.【答案】【详解】不妨设， 则，则， 因为， 所以 ， 当时，有最小值，最小值为. 13.【详解】（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以. 由余弦定理得，， ，所以. 1. 因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以. 14. （1）依题意，，，. （2）样本成绩在和的学生的人数之比为， 因此抽取5人中成绩在的有4人，记这4人为，成绩在的有1人，记为， 从这5人中任选2人，有，共10个结果， 其中这2人成绩均在内有，共6个， 所以这2人成绩均在内的概率为. 15. （1）如图，因为，点 为 的中点，所以，所以，又因为 是等边三角形， 所以，所以，所以，因为平面 ，所以 平面 ； 【小问2详解】取的中点为，因为 是等边三角形，所以， 取，因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面，所以平面，又因为平面，所以，∴二面角的平面角是，因为 是等边三角形，，所以， 所以，则，所以二面角 为． 【小问3详解】设点到平面的距离为，所以，所以，又因为，所以 ，所以， 设直线 与平面 所成角为，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三暑假作业测试 数学试题 一、单项选择题(本大题共7小题,每小题8分,共56分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，，若与共线，则= A． B． C． D．3 2.已知两个随机事件A，B相互独立，，则 A．0.98 B．0.88 C．0.76 D．0.68 3.在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于 A． B． C． D． 4.如图，在平行六面体中，，，，则 A．4 B．6 C．8 D．12 5. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为 A. B. C. D. 6. 给出下列命题，其中正确的是 A．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．向量在向量上的投影向量的模长为 7. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是 A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分) 8. 已知复数，则下列结论正确的有 A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 9. 在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的有 A．若，则一定是直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，则 D．是的充要条件 三、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分) 10. 温州轻轨S2号线从汀田站到机场共8个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的上四分位数为_______． 11. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 12. 已知，，，则的最小值为_______． 四、解答题(本大题共3小题,共61分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 13. （20分）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. (1)求AC； (2)求. 14. （20分）某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [60,70） 16 0.2 [70,80） 50 n [80,90） 10 p [90,100] 4 0.05 合计 80 1 (1)求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值； (2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩在的概率. 15. （21分）如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， . （1）求证: 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $