3.1.2 椭圆的简单几何性质教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

选择性必修第一册 人教A版 高二 数学 3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学设计-2026-2027学年

教学设计

授课内容	3.1.2 椭圆的简单几何性质
授课对象	高二年级学生
教 学 目 标	1.使学生从椭圆标准方程出发，掌握椭圆的范围、对称性、顶点及离心率的定义，能由方程求出长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。2.引导学生经历用代数方程研究几何性质的过程，体会数形结合与解析几何的基本思想。3.培养学生运用方程工具刻画图形扁平程度的能力，提升直观想象与数学抽象素养。
教学重点	椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。
教学难点	用方程（代数方法）研究几何性质及离心率对椭圆扁平程度的刻画。
教学方法	启发引导与探究讨论相结合，借助几何直观与代数推导展开教学。
教学课时	1课时

教学方法

本节课采用启发引导与探究讨论相结合的方式展开教学。椭圆的几何性质是解析几何的核心内容之一，教学中应突出数形结合思想，引导学生从椭圆标准方程 （）出发，通过代数变形与不等式分析推导出范围、对称性、顶点等性质，再借助几何直观加以验证。对于离心率，通过对比不同 值对应的椭圆形状，帮助学生建立代数量与几何特征之间的联系。课堂中安排学生分组讨论与自主探究环节，鼓励学生从方程中提取信息，经历完整的代数推导与几何解释过程。

板书设计

一、椭圆的范围
由 得 ，。
椭圆位于直线 和 围成的矩形框里。

二、椭圆的对称性
关于 轴对称、关于 轴对称、关于原点对称。
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的中心。
 

三、椭圆的顶点
，，，。
长轴 ，长为 ；短轴 ，长为 。
为长半轴长， 为短半轴长。

四、椭圆的离心率
，。
越接近 ，椭圆越扁平； 越接近 ，椭圆越接近于圆。
当 时，，图形变为圆 。

五、例题与练习
例1：求 的几何性质。
例2：求离心率 的椭圆标准方程。
练习：已知 ，，求 。

教学过程

序号	教师活动	学生活动	设计意图	时间
1	回顾椭圆标准方程，引导学生从方程出发研究几何性质，组织学生分组探究范围、对称性、顶点与离心率，讲解例题并组织练习。	回顾旧知，在教师引导下对方程进行代数变形，分组讨论并汇报探究结果，独立完成例题与练习题，参与课堂总结。	通过代数推导与几何直观的结合，帮助学生掌握椭圆的几何性质，体会数形结合思想，提升数学抽象与直观想象素养。	40分钟

1. 复习引入
教师活动：回顾椭圆的标准方程 （）及参数 、、 的关系 ，提出问题：如何不画图而仅从方程出发了解椭圆的形状特征？
学生活动：回忆椭圆标准方程及其参数关系，思考从方程中提取几何信息的方法。
设计意图：从已有知识出发，提出本节课的核心任务，激发学生用代数方法研究几何性质的意识。

2. 探究范围
教师活动：引导学生观察方程 ，由于 ，所以 ，从而 ，即 ；同理 ，所以 ，即 。这说明椭圆位于直线 和

围成的矩形框里。追问：这个矩形框的四个顶点坐标分别是什么？
学生活动：跟随教师的引导进行代数变形，得出 和 ，回答矩形框的四个顶点为 。
设计意图：通过不等式分析确定椭圆的范围，让学生体会代数方法如何刻画几何边界。

3. 探究对称性
教师活动：引导学生在方程中以 代 ，方程 与原方程相同，说明椭圆关于 轴对称；以 代 ，方程不变，说明椭圆关于 轴对称；同时以 代 、以 代 ，方程仍不变，说明椭圆关于原点对称。总结：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。追问：椭圆还有没有其他对称轴？
学生活动：动手进行代换验证，确认三条对称性，回答椭圆只有 轴和 轴两条对称轴，没有其他对称轴。
设计意图：用代数方法验证对称性，深化学生对方程不变性与图形对称性关系的理解。

4. 探究顶点与长短轴
教师活动：引导学生令 ，得 ；令 ，得 。椭圆与对称轴的四个交点 ，，， 叫做椭圆的顶点。线段 叫做椭圆的长轴，长为 ；线段 叫做椭圆的短轴，长为 。 叫做椭圆的长半轴长， 叫做椭圆的短半轴长。追问：为什么 ？
学生活动：计算得出四个顶点坐标，理解长轴与短轴的概念，回答因为 ，所以 。
设计意图：通过求特殊点确定顶点位置，建立长轴、短轴与参数 、 的直接联系。

5. 探究离心率
教师活动：引入离心率概念，把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 表示，即 。因为 ，所以 。引导学生分析： 越接近 ， 越接近 ，由 知 越小，因此椭圆越扁平；反之， 越接近 ， 越接近 ， 越接近 ，这时椭圆越接近于圆。特别地，当且仅当 时，，两个焦点重合，图形变为圆，方程为 。追问：离心率 能否等于 或 ？
学生活动：理解离心率的定义与取值范围，分析 变化对椭圆形状的影响，回答 不能等于 （否则 ，，退化为线段）， 不能等于 （否则 ，，图形为圆，不再是椭圆）。
设计意图：通过定量分析 对椭圆扁平程度的影响，突破本节课难点，帮助学生建立代数量与几何直观的对应关系。