3.1.2 椭圆的简单几何性质教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的简单几何性质，从椭圆标准方程出发，通过回顾旧知中标准方程及参数关系，提出“如何从方程研究几何性质”的问题，搭建从代数到几何的学习支架，引导学生探究范围、对称性、顶点及离心率。 特色在于采用启发探究与代数推导结合的教学方法，如离心率环节通过分析e值变化与椭圆扁平程度的关系，培养学生直观想象与数学抽象素养。例题设计分层，从直接套用型到含参变式，助力学生掌握用方程刻画几何性质，提升逻辑推理能力，同时为教师提供清晰教学流程与分层练习参考。

选择性必修第一册 人教A版 高二 数学 3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学设计-2026-2027学年 教学设计 授课内容 3.1.2 椭圆的简单几何性质 授课对象 高二年级学生 教 学 目 标 1.使学生从椭圆标准方程出发，掌握椭圆的范围、对称性、顶点及离心率的定义，能由方程求出长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。2.引导学生经历用代数方程研究几何性质的过程，体会数形结合与解析几何的基本思想。3.培养学生运用方程工具刻画图形扁平程度的能力，提升直观想象与数学抽象素养。 教学重点 椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。 教学难点 用方程（代数方法）研究几何性质及离心率对椭圆扁平程度的刻画。 教学方法 启发引导与探究讨论相结合，借助几何直观与代数推导展开教学。 教学课时 1课时 教学方法 本节课采用启发引导与探究讨论相结合的方式展开教学。椭圆的几何性质是解析几何的核心内容之一，教学中应突出数形结合思想，引导学生从椭圆标准方程 （）出发，通过代数变形与不等式分析推导出范围、对称性、顶点等性质，再借助几何直观加以验证。对于离心率，通过对比不同 值对应的椭圆形状，帮助学生建立代数量与几何特征之间的联系。课堂中安排学生分组讨论与自主探究环节，鼓励学生从方程中提取信息，经历完整的代数推导与几何解释过程。 板书设计 一、椭圆的范围 由 得 ，。 椭圆位于直线 和 围成的矩形框里。 二、椭圆的对称性 关于 轴对称、关于 轴对称、关于原点对称。 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的中心。 三、椭圆的顶点 ，，，。 长轴 ，长为 ；短轴 ，长为 。 为长半轴长， 为短半轴长。 四、椭圆的离心率 ，。 越接近 ，椭圆越扁平； 越接近 ，椭圆越接近于圆。 当 时，，图形变为圆 。 五、例题与练习 例1：求 的几何性质。 例2：求离心率 的椭圆标准方程。 练习：已知 ，，求 。 教学过程 序号 教师活动 学生活动 设计意图 时间 1 回顾椭圆标准方程，引导学生从方程出发研究几何性质，组织学生分组探究范围、对称性、顶点与离心率，讲解例题并组织练习。 回顾旧知，在教师引导下对方程进行代数变形，分组讨论并汇报探究结果，独立完成例题与练习题，参与课堂总结。 通过代数推导与几何直观的结合，帮助学生掌握椭圆的几何性质，体会数形结合思想，提升数学抽象与直观想象素养。 40分钟 1. 复习引入 教师活动：回顾椭圆的标准方程 （）及参数 、、 的关系 ，提出问题：如何不画图而仅从方程出发了解椭圆的形状特征？ 学生活动：回忆椭圆标准方程及其参数关系，思考从方程中提取几何信息的方法。 设计意图：从已有知识出发，提出本节课的核心任务，激发学生用代数方法研究几何性质的意识。 2. 探究范围 教师活动：引导学生观察方程 ，由于 ，所以 ，从而 ，即 ；同理 ，所以 ，即 。这说明椭圆位于直线 和 围成的矩形框里。追问：这个矩形框的四个顶点坐标分别是什么？ 学生活动：跟随教师的引导进行代数变形，得出 和 ，回答矩形框的四个顶点为 。 设计意图：通过不等式分析确定椭圆的范围，让学生体会代数方法如何刻画几何边界。 3. 探究对称性 教师活动：引导学生在方程中以 代 ，方程 与原方程相同，说明椭圆关于 轴对称；以 代 ，方程不变，说明椭圆关于 轴对称；同时以 代 、以 代 ，方程仍不变，说明椭圆关于原点对称。总结：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。追问：椭圆还有没有其他对称轴？ 学生活动：动手进行代换验证，确认三条对称性，回答椭圆只有 轴和 轴两条对称轴，没有其他对称轴。 设计意图：用代数方法验证对称性，深化学生对方程不变性与图形对称性关系的理解。 4. 探究顶点与长短轴 教师活动：引导学生令 ，得 ；令 ，得 。椭圆与对称轴的四个交点 ，，， 叫做椭圆的顶点。线段 叫做椭圆的长轴，长为 ；线段 叫做椭圆的短轴，长为 。 叫做椭圆的长半轴长， 叫做椭圆的短半轴长。追问：为什么 ？ 学生活动：计算得出四个顶点坐标，理解长轴与短轴的概念，回答因为 ，所以 。 设计意图：通过求特殊点确定顶点位置，建立长轴、短轴与参数 、 的直接联系。 5. 探究离心率 教师活动：引入离心率概念，把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 表示，即 。因为 ，所以 。引导学生分析： 越接近 ， 越接近 ，由 知 越小，因此椭圆越扁平；反之， 越接近 ， 越接近 ， 越接近 ，这时椭圆越接近于圆。特别地，当且仅当 时，，两个焦点重合，图形变为圆，方程为 。追问：离心率 能否等于 或 ？ 学生活动：理解离心率的定义与取值范围，分析 变化对椭圆形状的影响，回答 不能等于 （否则 ，，退化为线段）， 不能等于 （否则 ，，图形为圆，不再是椭圆）。 设计意图：通过定量分析 对椭圆扁平程度的影响，突破本节课难点，帮助学生建立代数量与几何直观的对应关系。 6. 例题讲解 例1 求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标。 教师活动：引导学生将方程化为标准形式，再提取参数 、、，逐一求出各项几何性质。 学生活动：跟随教师分析，将方程两边同除以 ，化为标准方程 。由此 ，；，。由 ，得 。长轴长 ，短轴长 。离心率 。焦点坐标为 。四个顶点坐标为 ，，，。 设计意图：通过直接套用型例题，帮助学生巩固由方程求各项几何性质的基本方法。 例2 已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，且过点 ，求椭圆的标准方程。 教师活动：引导学生设出标准方程，利用离心率和所过点建立方程组求解。 学生活动：设椭圆标准方程为 （）。由 ，得 ，即 ，化简得 。将点 代入方程：，即 。将 代入：，即 ，，得 。从而 。椭圆标准方程为 。 设计意图：通过含离心率条件的变式例题，训练学生综合运用离心率定义与待定系数法求椭圆方程。 7. 巩固练习 练习1 已知椭圆的长半轴长 ，离心率 ，焦点在 轴上，求短半轴长 和焦距 。 教师活动：组织学生独立完成，巡视指导。 学生活动：由 ，，得 。由 ，焦距 。答案：，。 设计意图：巩固离心率与参数 、、 的关系。 练习2 椭圆 （）的离心率为多少？ 教师活动：提醒学生注意 时焦点在 轴上，，。 学生活动：由 ，得 ，，。离心率 。答案：。 设计意图：训练含参情形下离心率的计算，深化对参数角色的理解。 8. 课堂小结 教师活动：引导学生回顾本节课从方程出发推导出的四类几何性质：范围（，）、对称性（关于坐标轴和原点对称）、顶点（、、、）、离心率（，）。强调数形结合思想在解析几何中的核心地位。 学生活动：梳理本节课的知识脉络，回顾各项性质的代数推导过程与几何含义。 设计意图：系统化整理本节课所学内容，帮助学生形成完整的知识结构。 9. 布置作业 教师活动：布置课后作业题。 学生活动：记录作业并课后完成。 作业题1 求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标。 答案：，，。长轴长 ，短轴长 。离心率 。焦点坐标为 。顶点坐标为 ，，，。 作业题2 已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率 ，求椭圆标准方程。 答案：由 ，得 。由 ，得 。。椭圆标准方程为 。 设计意图：课后巩固本节课所学，检验学生对椭圆几何性质与离心率的掌握程度。 教学反思 教师应根据本班的实际情况，反思本节课教学效果。本节课从椭圆标准方程出发，依次推导了范围、对称性、顶点和离心率四类几何性质，整体逻辑清晰，学生参与度较高。在范围与对称性环节，学生能较好地完成代数变形，但在理解方程不变性与图形对称性的对应关系时，部分学生仍需借助图象辅助理解。在离心率环节，学生对 越接近 椭圆越扁平的结论能够接受，但对 随 变化的定量分析略显吃力，后续教学应增加对比不同 值的图象演示，帮助学生更直观地建立代数量与几何形状的联系。例题与练习环节，学生对直接套用型题目掌握较好，含参练习题2的推导有一定难度，部分学生需要教师点拨才能完成，今后应增加含参题目的分层训练。 学科网（北京）股份有限公司 $